студ ивт 22 материалы к курсу физики / belonuchkin_ve_zaikin_da_tsipeniuk_ium_kurs_obshchei_fiziki

Основное отличие принципиальной схемы машины Клода от машины Линде состоит в том, что вместо дросселя газ после теплообменника поступает в специальный сосуд — детандер, где совершает работу по перемещению поршня. При этом возникает трудноразрешимая проблема смазки движущихся частей установки, находящихся при предельно низких температурах. В качестве выхода английский физик Дж. Рэлей (1842–1919) в 1898 г. предложил вместо перемещения поршня заставить газ вращать турбину — тогда удавалось вынести трущиеся детали в область относительно высоких температур. Машина с адиабатным расширением использовалась также в качестве первого каскада охлаждения в комбинированной схеме с использованием на последнем этапе эффекта Джоуля–Томсона. Именно такую схему применял сам Клод.

Большой вклад в решение проблемы внес П.Л. Капица. Вначале он усовершенствовал поршневой детандер (1929). Проблема трения была решена остроумным способом: между поршнем и цилиндром детандера создавался контролируемый зазор (около 0,05 мм), и просачивающийся через зазор газ служил «смазкой». Это позволило применять детандер для производства жидкого гелия. Затем, подробно проанализировав работу турбодетандера, он усовершенствовал его (1940) и создал промышленные турбодетандерные ожижители воздуха с рекордной производительностью — до 2000 литров в час. В 60-е годы, когда возникла потребность в значительных количествах жидкого гелия, Капица разработал каскадные ожижители высокой производительности.

При нормальном давлении температура кипения гелия равна 4,2 К. Если понижать давление, откачивая испаряющийся гелий, можно достичь температуры около 1 К. Использование изотопа He3 позволяет дойти примерно до 0,3К. Дальнейшее продвижение к абсолютному нулю температур возможно с помощью адиабатического размагничивания парамагнетиков, которое становится эффективным, как уже упоминалось, при исходной температуре около 1 К. Таким способом достигаются температуры 5 10 3 К.

Размагничивание системы ядерных магнитных моментов позволяет достигнуть предельно низких температур до 10 6 К. Однако такую температуру имеет после размагничивания именно система ядерных моментов, в то время как кристаллическая решетка остается при начальной температуре. Она обычно составляет около 0,01 К, так как именно с этого значения температуры становится эффективным ядерное размагничивание. После установления равновесия температура вещества оказывается равной примерно 10 4 К, и эту температуру следует считать предельно низкой из достигнутых для равновесного состояния вещества (см. также § 12.9).

324 Приложения законов термодинамики [ Гл. 3

Решение. Так как температура постоянна, из выражения для энтропии газа Ван-дер-Ваальса (3.10) имеем: 2 1 . По условию1 к 3 , откуда 13. Вновь используя условие постоянства температуры, получаем к 13. Из формулы (3.9) для внутренней энергии 1 2 8 27 , или, если использовать выражение для критической температуры (3.6): к. Тогда из первого начала получаем: к 13 1 .

2. Моль многоатомного газа Ван-дер-Ваальса 3 , находящийся в критическом состоянии, расширяется в теплоизолированный откачанный сосуд, причем занимаемый им объем увеличивается в 17 раз.

Определить изменение энтропии газа.

3.Для демонстрации критического состояния вещества в пробирку заливают такое количество жидкости (эфира), для которого объем пробирки как раз равен критическому. После демонстрации пробирка охлаждается. Оказалось,

что при некоторой температуре жидкость, плотность которой ж 1,9 к, заполняет ровно половину пробирки. Определить эту температуру.

Критическая температура эфира к 467 К.

Считать, что эфир (как газ, так и жидкость) во всем диапазоне изменения параметров подчиняется уравнению Ван-дер-Ваальса.

Ук а з а н и е . При решении этой задачи удобно использовать приведенное уравнение Ван-дер-Ваальса.

Ответ: 0,8 к 373 К.

4.В сосуд объема 22,4 дм3 поместили 1 моль кислорода и 1 моль водорода. Гремучую смесь подожгли. Какая максимальная масса воды может сконденсироваться после охлаждения продуктов реакции в этом сосуде до температуры 373 К? Каким при этом будет давление в сосуде?

Ответ: масса воды — 4,8 г; давление — 1,7 105 Па.

5. Определить удельную теплоту испарения воды 1 при температуре 1323 К, если при температуре 2 373 К ее значение известно: 2 2,26

103 Дж/г. Удельную теплоемкость воды в этом диапазоне температур считать постоянной и равной 4,20 Дж/(г К).

Решение. Подсчитаем изменение внутренней энергии вещества при пере-

ходе из состояния «вода при температуре 1» в состояние «газ при температуре2» двумя способами.

а) Сначала вода испаряется, получая тепло 1 и совершая работу 1 1

1 . Изменение ее внутренней энергии равно 1 1 . Затем водяной пар нагревается до температуры 2, и приращение внутренней энергии равно

2 1 . Всего 1 1 1 2 1 .

б) Вода нагревается до температуры 2, при этом можно считать, что все тепло 2 1 идет на увеличение ее внутренней энергии. Затем вода испаряется, и прирост внутренней энергии — 2 2 . Всего 2 2

2 2 1 .

Внутренняя энергия является функцией состояния, следовательно 1

2. Отсюда 1 2 2 1 2,38 103 Дж/г.

6.Образец парамагнитной соли при температуре 1 К находится в маг-

нитном поле с индукцией 0,1 Тл.

Какой будет температура образца после его адиабатического размагничивания, если в соответствующем диапазоне параметров свободную энергию соли

можно принять равной 4 2, где и — постоянные, причем

Г л а в а 4

ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Макроскопические параметры термодинамической системы по большей части определяются средними значениями параметров микроскопических подсистем — атомов, молекул. Температура тела определяется средней кинетической энергией составляющих его молекул, давление газа связано еще и с концентрацией молекул.

В то же время характеристики системы могут зависеть не только от среднего значения энергии молекул, но и от того, как эта энергия распределена между отдельными молекулами, какая часть молекул имеет то или иное значение энергии. Например, давление насыщенного пара зависит от того, какая часть молекул жидкости имеет энергию, достаточную для того, чтобы вылететь наружу.

Температура пламени обычной газовой горелки не превышает 103 К, т. е. средняя энергия молекул — около 0,1 эВ. Между тем пламя светится, а значит там имеется немало возбужденных молекул, при том что энергия возбуждения обычно составляет около 1 эВ.

Какую энергию в определенный момент времени будет иметь та или иная молекула — вопрос случая, предсказать это невозможно. С другой стороны, какое количество молекул должно иметь энергию, в десять раз превышающую среднее значение, насколько вероятно наличие молекул с энергией, в сто раз превышающей среднюю, — вопросы подобного типа вполне правомерны, и ответы на них дает статистическая физика (или просто

статистика).

Статистическая физика дает возможность обосновать законы термодинамики, уточняет их, очерчивает пределы их применимости. Ответы свои статистика дает на языке вероятностей: она предсказывает статистические распределения. В кубическом миллиметре газа при нормальных условиях, как это следует из распределения Максвелла, имеется 1014 молекул со скоростями от 500 до 503 м/с. Это не означает, что в любом объеме в 1 мм3 ровно 1014 таких молекул. Это лишь наиболее вероятное число. Статистика только говорит, что скорее всего в случайно

выбранном объеме будет число молекул, равное 1014 107, почти наверное 1014 3 107 и т. п.

Математический аппарат статистической физики — теория вероятности. Поэтому, прежде чем перейти к собственно статистической физике, напомним некоторые положения этой теории.

4.1. Элементарные сведения из теории вероятности

Однотипные испытания, т. е. события, с точки зрения доступной нам информации неотличимые друг от друга, могут иметь по случайным причинам, по неуловимым для нас обстоятельствам различный исход. Если на испытаний приходится событий с -м исходом, отношение называется вероятностью-го исхода.

Говоря более строго, если при бесконечном увеличении отношение стремится к определенному пределу , то этот предел называется соответствующей вероятностью. Подобного рода уточнения надо все время иметь в виду. Мы же в дальнейшем будем допускать ради сокращения текста некоторую «вольность» в формулировках, надеясь, что это не вызовет недоразумений.

Начнем с традиционного примера бросания игральной кости. Вероятность выпадения какой-либо грани, например, шестерки, определяется относительной частотой именно такого исхода бросания. Если кость «нормальная», шестерка должна выпадать с частотой 1 6, т. е. вероятность выпадения шестерки6 1 6. Это частный случай общего соотношения для равновероятных событий. Если число таких вариантов равно , вероятность каждого из них составляет 1 .

Нас может интересовать вероятность того, что осуществится хотя бы один из нескольких устраивающих нас исходов. Пусть для выигрыша нам необходимо, чтобы выпала пятерка или шестерка. Вероятность события «5 или 6» равна сумме вероятностей этих двух событий, т. е. (5 или 6) 5 6 . Вообще

или ,

если только события и несовместимы. Действительно, если выпала пятерка, значит, шестерка не выпала, и наоборот. А вот если завтра с вероятностью 50 % будет дождь и с той же вероятностью — град, это еще не означает что либо дождь, либо град выпадет. Возможно такое распределение вероятностей: по 25 % приходится на дождь без града, град без дождя, дождь с градом и тогда 25 % остается на погоду без осадков. Дождь и град совместимы, и потому теорема сложения вероятностей

в данном случае неприменима.

Для независимых событий и справедлива теорема умножения вероятностей

и

Например, вероятность того, что при бросании двух костей на одной из них выпадет шестерка, а на другой тройка, равна произведению соответствующих вероятностей, т. е. 6 и 3

6 3 .

Заметим, что точно такой же будет вероятность выпадения шестерки и тройки при двух последовательных бросаниях одной кости. Это совпадение вероятностей является отражением особого свойства систем или процессов — эргодичности. Применительно к термодинамическим системам это важнейшее свойство можно сформулировать следующим образом: среднее по времени равно среднему по ансамблю.

Поясним эту формулировку на примере, более относящемся к термодинамике, чем бросание игральных костей.

Проведем две серии опытов.

1.Определим в сосуде с газом в некоторый момент времени состояния всех молекул, т. е. их положения и скорости.

2.Выберем в этом сосуде одну молекулу и будем регулярно

определять ее состояние; произведем много таких измерений

втечение достаточно длительного времени. Длительность нужна, чтобы «наша» молекула в результате многочисленных соударений с другими молекулами, в результате долгих блужданий по сосуду полностью «забыла» свое исходное состояние, чтобы стерлась информация о ее скорости и положении в начале опыта.

Так вот, средние по времени характеристики одной молекулы, полученные во втором опыте, должны совпасть с полученными

впервом опыте средними характеристиками по ансамблю молекул.

Например, если в верхней половине сосуда находится 49 % молекул, то и наша молекула в тех же 49 % случаев должна быть обнаружена именно в верхней половине сосуда. Если среднее значение скоростей молекул — 500 м/с, то и у нашей молекулы окажется такое же среднее значение скорости. Более того, если мы, например, интересуемся вопросом, какова вероятность того, что молекула имеет скорость от 500 до 505 м/с, мы в обоих случаях должны получить одну и ту же величину — 0,83 %, если это воздух при комнатной температуре. Такая доля молекул будет иметь скорости в этих пределах в первом опыте, такая же доля измерений даст соответствующие значения скорости

молекулы во втором опыте.

Распределения. Плотность вероятности. При бросании кости возможны 6 равновероятных исходов, каждый из которых можно описать числом — количеством выпавших очков. Это

число очков является случайной величиной, а набор возможных значений с вероятностями их выпадения представляет собой распределение этой случайной величины. В данном случае распределение выглядит так:

1 2 3 4 5 6 16

Графически это распределение представлено на рис. 4.1. Положение каждой «палочки» определяется значением парамет-

ра — у нас это количество очков. Длина палочки характеризует вероятность данного значения параметра.

Но подобным образом распределение выглядит только тогда, когда каждому конкретному значению случайной величины можно приписать конечную вероятность. В нашем примере это обеспечено конечностью числа возможных значений рассматриваемой случайной величины (количества точек на обращенной кверху стороне кости).

Множество исходов, множество возможных значений величины может быть и бесконечным, но оно в этом случае должно быть счетным. Так, вероятность выпадения подряд двух одинаковых количеств очков равно 1/36, трех подряд — 1/216 и т. д. Рассмотрим в качестве случайной величины число одинаковых результатов, полученных подряд. Эта новая случайная величина имеет бесконечное количество возможных значений, но это только целочисленные значения. Каждому из этих значений можно приписать конечную вероятность. В этом случае распределение можно записать в виде формулы:

Графически это распределение представлено на рис. 4.2.

В обоих рассмотренных случаях мы имеем дело с дискретными распределениями.

Иначе обстоит дело, когда случайная величина может принимать всевозможные зна-

чения. Так, множество возможных значений величины скорости молекулы бесконечно и несчетно, оно, как говорят, имеет мощность континуума. В этом случае ни одному конкретному значению скорости нельзя приписать конечной вероятности. Можно только, как мы это уже и делали, говорить о вероятности того, что скорость лежит в неких пределах. Значение вероятности можно указать для любого, сколь угодно малого, диапазона скоростей, но для любого конкретного значения скорости она обращается в нуль. Такие распределения называются непрерывными.

Для описания непрерывных распределений вводится понятие плотности вероятности. Рассмотрим вероятность того, что значение некоторой случайной величины лежит в диапазоне0 0 , то есть удовлетворяет условию 0 0 . Плотностью вероятности называется предел отношения этой вероятности к величине , когда диапазон стремится к нулю, т. е. (опускаем индекс при ):

Тогда, если взять малый диапазон в окрестности значения , вероятность обнаружить значение случайной величины в этом диапазоне можно считать равной

(рис. 4.3).

Если диапазон считать малым нельзя, необходимо провести интегрирование плотности вероятности в соответствующих пределах:

2

1 2 1 2

1

всего называют функцией распределения (заметим, что в математике функцией распределения называется иная величина — интеграл от плотности вероятности).

Для непрерывных распределений справедливы, при соответствующих условиях, знакомые нам по дискретным распределениям теоремы сложения и умножения вероятностей. Если диапазоны значений величины не перекрываются, т. е. значения параметра в диапазоне от 1 до 1 1 несовместимы со значениями в диапазоне от 2 до 2 2, то вероятность нахождения этого параметра в одном или другом диапазоне равна сумме вероятностей:

1 1 1 или 2 2 2 1 1 2 2

(4.2) Если вероятности тех или иных значений параметров и

независимы, справедлива теорема умножения:

и одновременно , (4.3)

330 Элементы статистической физики [ Гл. 4

или просто , , где , , — соответствующие распределения, в частности

Средние значения. Дисперсия. Флуктуации. С макроскопической точки зрения наибольший интерес представляют средние значения характеристик микроскопических подсистем — атомов, молекул. Так, температура, давление определяются средними значениями квадрата скорости молекул.

Если некоторая величина может принимать различные значения , и на событий приходится случаев, когда она принимает -е значение, среднее значение величины (для него мы будем использовать два обозначения — черту сверху или угловые скобки) в случае дискретного распределения равно

При этом в первом случае ведется суммирование по всем возможным значениям , а во втором — интегрирование по всем возможным значениям .

Во многих случаях, кроме средней величины, важно также знать, насколько тесно группируются вокруг среднего различные значения величины . Интересно, насколько часто встречаются значения, мало отличающиеся от , насколько вероятно, наоборот, появление значений , заметно отличающихся от ,

вобщем, как принято говорить, насколько острым или, наоборот, размытым является распределение величины .

Полный ответ на этот вопрос дает, конечно, распределение

вцелом. Но наиболее важной обобщенной количественной характеристикой остроты или размытости распределения служит

дисперсия

называемый среднеквадратичным отклонением или среднеквадратичной (абсолютной) флуктуацией. Соответственноназывается относительной среднеквадратичной флуктуацией.

Заметим, что в тех случаях, когда это не может вызвать путаницы, и , и нередко называют просто флуктуациями.