Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3012

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.85 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

−

найдем из

целые числа, неравные нулю. Постоянную

условия нормировки

∫

∫ϐ

=1:

∫

∫ϐ sin

sin

=1 ,

∫ (1− cos

)

∫ϐ(1 −cos

)

= 1,

ϐ =1

sin

Для собственных значений энергии имеем:

Энергия частицы минимальна при

соответствующая

Вероятность

нахождения

-функция

n .= n

= 1

ϐэнергией вϐобласти 0< <

частицы с наименьшей

⁄

sin

( ∫-ϐ sin

- √ =

⁄

⁄=

ϐ ∫ ⁄

⁄3

∫

sin

∫

(1− cos

)

sin

=0,195 = 19,5%.

5.133. Выполняя действия, аналогичные рассмотренным в задачах 5.131 и 5.132 , найдем собственные значения энергии и


собственные функции уравнения Шредингера. При							=ϐ=
Е	=	ħ	(n + n + n ) ,
=		sin		sin	sin	.
=		sin		sin	sin	.

Здесь n ,n ,n = целые числа, неравные нулю. Порядок энергетического уровня определяется индексом (номером) элемента возрастающей числовой последовательности

наименьших		значений суммы		квадратов квантовых чисел
n ,n ,n	, т.е.	Σ	n + n + n	).
			= (

Для первых шести энергетических уровней достаточно рассмотреть перестановки из трех чисел 1,2,3. Укажем эти перестановки, отвечающие минимальным значениям Σ и соответствующие последовательности энергетических уровней

Е ÷Е :

а) (111) →Σ =3→Е , (112) →Σ =6→Е , (122) →Σ =9→Е , (113) →Σ =11→Е , (222) →Σ =12→Е , (123) →Σ =14→Е .

б) Разность энергий 3-го и 4-го уровней

в) Разность энергийЕ6-

ħ =

ħ .

го уровня

Кратность вырождения

уровняЕ

равна

числу

перестановок

чисел 1,2,3, т.е.

=3! =6.

5.134.

Напишем

волновое

уравнение для частицы, находящейся в

одномерном потенциальном поле,

( - U(x)) .

(1)

− ħ

потенциальная

положим,

что

функция U( )

имеет конечный скачок в точке

= 0

(см. рис.).

Представим уравнение (1) в виде

)= −

(Е- U)

(2)

а затем его проинтегрируем по физически бесконечно малому

промежутку (-δ, δ). При этом получим:
	−	= −	∫ E − U Ψdx.
В виду конечности величин E, U(x),ħ			а также(	Ψ(x),)	(3)
В виду конечности величин E, U(x),ħ			а также(	Ψ(x),)	интеграл I в

правой части равенства (3) можно представить так:

(

−

)Ψdx =

E −

Ψ(−δ) ∙2δ+O(Δx)∙2δ,

где

O(Δx)

- бесконечно малая

более высокого порядка, чем δ.

Теперь очевидно,

что

Следовательно, левая часть

равенства (3)

стремится к нулю при

→0

это будет

lim

→

= 0.

производной

волновой

означать

равенство левой и

правой

( → ±0)

функции

окрестности

точки

, т.е. непрерывность

производной

в точке разрыва

потенциальной функции.

= 0

	U
	E	U0
	E
0	l	x

5.135. Для частицы, находящейся в одномерном потенциальном поле, показанном на рисунке, напишем волновые уравнения:

= 0 для 0 < < , (1)

(

−

)

= 0 для

. (2)

Введем обозначения

и перепишем

= √2

/ħ,

(

− )/

уравнения (1), (2):

= 0.

(4)

(3)

Общие решения уравнений (3) и

(4) имеют вид:

= 0.

По

(5)

(6)

смыслу

При определении коэффициентов

свойствами непрерывности и дифференцируе-

воспользуемся= 0.

( ) = {,

(

)} в точках.

= 0 и

мости:

волновой функции,

(0) = 0

( ) = ( )

′( ) = ′( )

При этом получим систему уравнений:

= −

sin

(7)

При делении (8) на2(7)

получим

= −

(8)

(9)

cos

Для дальнейшего анализа преобразуем

уравнение (9):

= −

/ .

(

)ħ

= ±

(10)

Сделаем

обозначения:

= ±

sin ,

M '1

M 3

M 'n

M 1

M 2

3 2

(n 1 )

Тогда уравнение	(10) примет	вид	определяют	(11). Корни
трансцендентного	уравнения	(11)		собственные
			= ±

значения и собственные волновые функции частицы. Нас интересует первое.

Некоторые сведения о корнях уравнения (11) получим, обратившись к графику. На рисунке приведены графики

зависимостей	и			. Точки пересечения лучей с
синусоидой	,=с учетом,		условия			соответствуют
синусоидой	,=с учетом,		= ±		< 0,
корням уравнения (11).					< 0,
Варьирование величины γ, т.е. характеризующей l и U0
поля, изменяет углы лучей					с осью ξ и, следовательно,
число корней уравнения и		соответствующие значения энергии
число корней уравнения и		,	= ±
частицы. При этом значимыми точками пересечений							являются
			84

точки, расположенные в четных четвертях круга. Из рисунка

видно,

что

правая

предельная

точка

В′

отвечает

самом

деле:

минимумам

l U0.

→

sin

∙

(

)

т. е.

(12)

Последняя

точка пересечения луча с синусоидой для

∙

заданных l, U

и E<U

будет иметь координату

−

Отсюда0

получаем0

(2 − 1)∙ .

(

) ħ

5.136. Согласно формулам (4) и (5) задачи

5.135 волновые

1 =

∙

− 1)

(

)

функции частицы

sin

для 0<

> .

Здесь

При

условиях

√2 Е ħ

2 (U −Е) ħ U Е

Волновая функция

( )

= =

/ =

Е /

U=/2

⁄4) ħ

принимает вид

при этом U

⁄4

Пусть и

- Вероятности нахождения частицы внутри и

вне

потенциальной ямы. Тогда

= ∫ ) =

sin2

= 2

( -

) .

Поскольку

вероятность

∫

sin

∫ (

sin

(

) =

3 ⁄4).

ВероятностьP

sin

(

⁄

∫

Отношение

+2)

⁄

∫

(

⁄ .

имеем:

Из

граничного условия

P P

(

)

(

)

=sin

sin

⁄

√2

⁄=

.√2

⁄

(√2

)

⁄

этого соотношения

= 1+

и =(1+

) .

С учетом

достоверного

события

=1.

учтем

вероятность

P ⁄P

⁄2

⁄2 P

Отсюда получаем

= 2/ +4) = 0,5 и

= 1-

=0,85. P +P

5.137 ВолновоеP (3уравнение частицыP P

находящейся

заданной потенциальной яме, имеет вид

= 0, где

общее

решение которого

Вероятности нахождения частицы в каждом из состояний

равны вследствие

симметрии конечной

одномерной

ямы,

(

cos

Пси-функция

вещественная и её значения в середине и на краю ямы равны

= ½,

(

cos

= ( +2n), n= 0, 1, 2,…

(0)=2

)=2

⁄3

. По условиям

(

(0)= ½ . Отсюда

cos

(

( +2n)

.+2n)

Получаем :

(

2n)

Для основного состояния частицы (n=0)

энергия

5.138. Частица помещена в сферически-симметричную

потенциальную яму

(r)=0 при r <

и (

. В сферической

системе

координат,Uкогда

не

зависит

от

, волновое

U r

∞

= 0 ,

где

вид

(

)

уравнение

частицы

имеет

= 0 (1)r

=Е

, или

. Прибегнем к замене

(r)

представим

уравнение

через

переменную

Предварительно напишем :

(R/r) = -

R +

R -

-=0 (2)+.

R. Подставляя в уравнение, =(1), будем иметь-

Отсюда R=

+ B

(

+ B

точке r=0

функция

будет

иметь конечное значение, если

функции

−

sinαr

+В=0, т.е. B=- и

(

) =

. Модуль

постоянную

sin αr r

Нормируя волновую функцию, найдем

∫

=1 , 16

∫

sin

r dr

Нормированная( )

волновая функция имеет общий вид

(3)

условию· .

Удовлетворим

(3)

граничному

(

)=0.

Отсюда

ħ sin

(4);r

n= 1,2,… ,

= n

получим:

· sin

(5).

Для=основного состояния (n=1)· sin(

сферическом поле радиуса

Вероятность нахождения частиц в· sin

при этом

= 4

толщиной

для n=1

, плотность вероятностиr

Наиболее dP dr

· sin

от

вероятное расстояние частицы в основном состоянии

= 0

cos

центра ямы найдем из условия

(

)=0, т.е.

(1-

) =0 :

sin

rв

r ⁄2

Вероятность нахождения частицы в основном состоянии в

r r=в

= 0,5P(50%)r.

rв

∫

(

)dr

∫

⁄

(1 −cos )

области

равна (0<

) =

5.139 (см.решение задачи 5.138)

5.140. Задано сферически-симметричное поле, в котором потенциальная энергия частицы U(r)=0 при r<r и U(r)=U при r>r . Волновые уравнения частицы для указанных областей пространства имеют вид

2 Е/ħ

=0 (1)

ħ Е U

=0. (2)

Здесь

2 (U − Е)

+. Для сферически-

,, ,

симметричного

поля

пси-функция

не

зависит

от

замене

следовательно,

оператор Лапласа

). При

(r)=

(r)/r уравнения (1) и (2) получаем d

=0 (3)

=0 (4) (см. решение 5.138).

Общие

решения уравнений (3) и (4):

функции

. Соответствующие волновые

(5),

= (

(6). Из условия

конечности волновой функции

( ) в точке =0 и функции

( )

→

∞

следует

=0 и

=0.r

Тогда

r = (

−

при

)/r

sindr

Те

же

состояния частицы

/r (8), где

- вещественные

sindr

(7)

определяются

волновыми

функциями

BИз условий

постоянные.

непрерывности и гладкости функций для

)

(

sindr)

(10).

(9), r

(

(r )

(

cos

получим:

− sinr /r

+1⁄r

Совместно)

(9)

и (10) дают=:

(

cos

−sinr=/r-

)

(11)- (.

1⁄r

В sin

cos

sin

⁄

sin

равенстве (11) перейдем к непрерывной функции

sin

имеем

учетом

выражений

для

(

Е)

(12).

sin

r = ±

( ħ

)

ħ ⁄2

Корни уравнения (12) определяют энергетический спектр частицы. Основному состоянию частицы соответствует условие

r =

ħЕ

Е =

. На основании (12)

получаем энергетические уровни частицы при

ħ ⁄=2

≤

(см. задачу 5.138), т.е. при

≥

. Для

одномерном потенциальном поле

5.141. Частица в

Е r

( ) = .

Пси-функция основного

состояния

частицы

Требуется найти постоянную

и энергию

частицы.

Прежде всего,

( ) =

выражение для волновой функции подставим в уравнение

Шрёдингера

−

= 0. Производные

- функции:

= −2

= 2 (2

− 1)

′

′′

− 2

Подставляя

произ-

водные

в уравнение, получим:(4

том

Это равенство возможно для всякого

случае, если

− ∞)

в +

− 2

= 0

−

= 0

−2

= 0

и, следовательно,

[0,

)

. Отсюда имеем:

√

Обозначая

, представляем:

5.142.

Частица в потенциальном

состоянии

и( ) =

> 0

(0) = 0

энергию

. Известно, что

поле

. Найти( )

явный вид зависимости

Введём

заданную

(волновую)

функцию в уравнение

Шрёдингера

(

−

)

= 0:

(

− )

= 0

2 (2

−1) +

( − ) = 0 ( ) = +

−1).

(0)

= 0

= .

( ) =

При условии

получаем

− 1 =

5.143.(

Электрон)

атома водорода в состоянии

где

- постоянные. Найти

, энергию

электрона и

(−.

/ )

а)

Нормировка:

∞

Вычисление интеграла

методом неопределённых коэффициентов

∫

= 1, 4

∫

= 1

даёт

∞

= 1

= 1/

. Тогда

∫ б) Уравнение Шрёдингера для заданного состояния электрона

атома водорода, когда

функция не зависит от

имеет вид

, где

единицах

СИ.

Поставляя +

= 0

волновую функцию в уравнение, получим

− +

= 0

или

+ = −

∙ ( )

. Левая

( )

часть равенства

постоянная величина, правая – содержит

переменную,

любое

значение

(0,

∞

)

Это

принимающую

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 249 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.84 Mб13007.pdf
#
15.11.20222.85 Mб33008.pdf
#
15.11.20222.85 Mб43009.pdf
#
15.11.20222.85 Mб03010.pdf
#
15.11.20222.85 Mб13011.pdf
#
15.11.20222.85 Mб43012.pdf
#
15.11.20222.86 Mб23014.pdf
#
15.11.20222.87 Mб03016.pdf
#
15.11.20222.87 Mб33017.pdf
#
15.11.20222.89 Mб13019.pdf
#
15.11.20222.89 Mб13020.pdf