3012
.pdf
В Ц - системе частицы a и A, сближаясь, имеют равные по модулю и противоположно направленные импульсы. Пусть суммарная кинетическая энергия этих частиц в Ц – системе равна
. При столкновении частицы a и A останавливаются и, объединяясь, образуют промежуточное ядро с некоторыми значениями массы покоя и энергией возбуждения . Теперь положим, что энергия возбуждения такова, что может произойти распад промежуточного ядра на частицы b и B с суммарной
кинетической энергией |
′ . Тогда |
|
энергия |
реакции |
|
= |
′ |
− |
. |
|||||||||||||||||||||||
Поскольку |
, то |
= |
|
|
+ |
| | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
< 0 |
|
|
|
′ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Выразим энергию |
|
частиц a и A в Ц – системе через их |
|||||||||||||||||||||||||||||
энергию в л.с.к.: |
|
1 |
( + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= − |
ц м |
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
. . |
= −2 |
|
|
2( + ) · + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Подставим (4) в (3):= |
− |
|
|
|
|
|
= |
|
|
′ |
|
|
|
., |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Или |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
+| |
′|. |
|
|
|
|
|
(6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
При |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
системе)= 0 |
кинетическая энергия налетающей частицы a (в Ц – |
|||||||||||||||||||||||||||||||
мин |
Эта величина энергии, |
как уже |
отмечалось, |
|||||||||||||||||||||||||||||
называется =пороговой. |
энергией |
|
эндотермической |
реакции. |
||||||||||||||||||||||||||||
Обозначим её через |
пор. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
5.291. |
|
|
|
|
|
|
|
пор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Определим |
|
|
|
кинетическую энергию |
протона, |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
| |
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
расщепляющего покоящееся ядро . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Схема реакции: |
+ |
|
−> |
|
|
+ |
|
|
|
+ . |
Энергия реакции: |
|||||||||||||||||||||
|
= ∆( |
|
) +∆( |
|
|
) − 2∆( |
201) − ∆ = ∆( |
) − ∆( |
) −∆ = |
|
||||||||||||||||||||||
= 0,01410− 0,00783− 0,00867 аем = −2,234·10 |
аем = |
|||||||
= −2,234·0,931 МэВ = −2,23 МэВ. |
|
|||||||
Пороговая энергия реакции |
пор = |
|
|
| | = |
|
|
2,23 = 3,34 МэВ. |
|
|
|
|||||||
Энергия протона ≥ 3,34 МэВ. |
( , ) |
−1,65 МэВ |
|
|||||
5.292. Для реакций |
( , ) |
(1) |
||||||
и |
|
− 1,85 МэВ |
(2) |
|||||
найти возможные значения Т энергии протонов, при которых реакции (1) идет, а реакция (2) не идет.
По формуле пор = | | найдём пороговые энергии для
реакций:
2. |
= −1,65 |
МэВ, |
пор |
= |
|
1,65 = 1,88 |
МэВ.; |
1. |
|
МэВ |
пор |
|
|
|
МэВ |
|
= −1,85 |
, |
|
= |
|
1,85 = 2,06 |
|
|
|
|
|
Для значений кинетической энергии протонов в интервале от 1,88 до 2,06 МэВ реакция (1) идёт, а реакция (2) – нет.
|
5.293. Для реакции |
′′ |
( |
МэВ, ) |
|
пороговая |
кинетическая |
||||||
энергия |
нейтронов |
пор |
|
|
|
. Энергия |
этой реакции |
||||||
кая= −энергия |
= − |
|
4,0 = −3,7 |
|
|
||||||||
|
|
|
пор |
|
|
|
= 4,0 |
|
|
МэВ (пороговая кинетичес- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
бомбардирующих |
частиц указывается для |
||||||||
эндотермических реакций, энергия которых отрицательна). |
|||||||||||||
|
5.294. Вычислим пороговые энергии протонов в реакциях: |
||||||||||||
( , ) |
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
202 |
|
|
|
|
( , |
) . |
′ |
) − |
(2) |
1) для реакции (1): = ∆( |
)+∆( |
|
− ∆( ) = |
=0,01601+0,00783−0,00867−0,01693 аем =
=−1,76 10 аем = −1,76·0,931 МэВ = −1,64 МэВ;
пор = 7+1·1,64 МэВ = 1,87 МэВ.
2) для реакции (2): |
= ∆( )+∆( ) − ( ) − ∆( ) = |
7 |
=0,01601+0,00783−0,01410−0,01513 = = −5,39·10 аем = −5,39·0,931 МэВ = −5,02 МэВ;
пор = ·5,02 = 5,74 МэВ.
5.295. Определим пороговую кинетическую энергию -
частиц при осуществлении |
реакции |
( , |
) |
. |
Найдём |
скорость ядер . |
)+∆( |
) = |
|||
Энергия реакции = ∆( |
)− ∆ |
− ∆( |
|
=0,01601+0,00260−0,00867−0,01294 аем =
=−3,00·10 аем = −3,00 0,931 МэВ = −2,79 МэВ.
Пороговая энергия |
– частиц |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
пор |
|
|
∙ |
|
МэВ |
|
МэВ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку |
пор= |
можно воспользоваться классикой. |
|
||||||||
МэВ| | =, |
(11⁄7) 2,79 |
|
= 4,4 |
|
|
|
|
||||
Для |
кинетической |
энергии |
|
– |
частицы |
|
пор |
, |
|||
< 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
скорости выходных частиц n и |
в Ц – системе равны нулю. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
Это означает, что эти частицы в л.с.к. движутся со скоростью центра масс системы, т.е.
|
|
|
|
|
|
= = |
( + ) = |
+ |
· 2 ⁄ = |
||
|
203 |
|
|
|
|
При |
|
= |
= |
|
|
( |
− |
) − |
пор |
. |
(6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
подстановке числовых значений известных величин |
||||||||||||
находим: |
= |
|
·10 − |
|
· |
·6,17 = 2,2 МэВ. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
5.297. При возбуждении эндотермических реакций частицами, движущимися с релятивистскими скоростями, пороговая энергия этих частиц определяется значением
|
|
|
пор = | |
|
| |
1+ |
|
|
|
|
+ |
|
| | |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
где |
|
- массы покоя налетающей частицы “a” |
и исходного |
|||||||||||||||||||||||||||||
ядра A., В случае – кванта высокой энергии |
( |
|
|
= 0) |
формула |
|||||||||||||||||||||||||||
(1) переходим в |
|
пор = | |
| |
|
1+ |
| |
| |
. |
|
|
|
|
(2) |
|||||||||||||||||||
|
Рассмотрим реакцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Как видно, дейтрон |
|||||||||||||||
под действием |
– кванта |
распадается на нуклоны. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
+ |
|
|
−> |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
| 2 |
|
||||||||||||
в этом случае энергия эндотермической реакции |
|
энд |
св |
|||||||||||||||||||||||||||||
и пороговая энергия |
|
– |
|
кванта |
|
|
пор |
= |
св |
( |
1 |
+ |
|
св |
⁄ |
2 |
) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|.=При |
|||||||||||||||||||
этом |
|
разность |
∆ |
=2 2 |
0 |
|
− |
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
и |
|
отношение |
|||||||
∆ ⁄ = ⁄ |
|
= ( |
пор |
, |
|
св |
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
= , |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
, |
|
) |
|
= · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
св |
св 2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
10 4 |
|
|
006% |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0140 |
|
931 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.298. Введем обозначения: m, M – массы покоя протона и дейтрона (²H), Мο и Мο* - массы невозбужденного и возбужденного ядра ³Не. В л.с.к. протон имеет кинетическую энергию Т=1,5 МэВ, ядро ²H неподвижно. В Ц- системе суммарная кинетическая энергия протона и дейтрона равна
= + = |
|
. При захвате протона дейтроном образуется |
|
возбужденное ядро ³Не. В Ц – системе оно неподвижно и
205
характеризуется массой покоя Мο*. Согласно закону сохранения
энергии получаем: |
( m+M) с² + Т = М · с², |
|
|
или |
(1) |
|||||
Энергия |
|
( m+M) с²+ |
|
·T = М |
|
· с². |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
возбуждения ядра ³Не равна |
|
|
|
|
|
|
|||
W = М · с²− М с² = ( m + M – М ) с² + |
|
|
T |
(2) |
||||||
|
|
|||||||||
Первое слагаемое в правой части (2) имеет смысл энергии связи m-частицы в ядре М, т.е. Есв = ( m+M − М ) с².
Таким образом, энергия возбуждения образовавшегося ядра ³Не
равна |
W = Eсв + |
|
, |
|
Вычислим Есв:
Q = 938,26 + [ (2 + 0,01410) – (3 + 0,01603)] 931 МэВ = 5,46 МэВ.
Тогда W = 5,45 + 1,50 = 6,5 МэВ.
5.299. Под действием дейтронов различных энергий осуществляется реакция ¹³С (d, n) 14 N. Найти энергетические уровни промежуточного ядра 15N, соответствующие резонансным значениям энергииналетающихчастиц:Ti =0,6;0,9;1,55и1,8 МэВ.
Согласно формуле (3) задачи 5.298 энергия возбуждения
промежуточного |
ядра |
|
|
|
|
|
где m и M – массы |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
С, Е – энергия d – частицы в ядре 15N. |
||||||
покоя дейтрона и ядра ¹³W =свEсв + |
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Вычислим энергию связи: |
|||||||
|
|
|
Есв = |
+М(¹³С) –М(15 ) аем = |
||||||||
= (2+0,01410)+(13+0,00335)− (15+0,000111)аем = |
||||||||||||
= 17,34∙10 |
аем = 17,34∙10 |
∙0,931 МэВ = 16,17 МэВ. |
||||||||||
|
|
М |
= |
|
|
=i , |
0,867. |
|
|
|
= 16,17+0,867 в МэВ. |
|
Подставляя |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Величина |
|
значения T |
|
Итак, |
= 16,7; 16,9; 17,5и 17,7МэВ. |
|||||||
|
|
получаем |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.300. Выход ядерной реакции а + А→ b + B принято характеризовать эффективным сечением σ. Условно эффективное
206
сечение можно рассматривать как эффективную площадь ядра А, попадая в которую налетающая частица «а» вызывает требуемую реакцию. Но, из-за волновых и квантовых свойств частиц, такое толкование имеет ограниченную применимость. Сечения ядер σ в реакциях зависят от энергии налетающих частиц, типа ядерной реакции, углов разлета и ориентации спинов частиц – продуктов реакции. В реальных физических опытах не всегда удается непосредственно измерить эффективное сечение реакции. Непосредственно измеряемой величиной является выход реакции W. Выходом ядерной реакции называется доля частиц пучка , испытавших ядерное взаимодействие с частицами мишени, т.е.
= / . Следовательно, выход, а заодно и эффективное сечение σ, имеет статистический (вероятностный) смысл.
Допустим, что поток частиц «а» падаетна очень тонкую мишень (толщины δ), настолько тонкую, что ядра мишени не перекрывают друг друга. Далее условно представим ядра мишени и налетающие частицы в виде твердых шариков. Пусть при этом ядра имеют поперечное сечение , а падающие частицы – исчезающее малое сечение. Если площадь поперечного сечения пучка частиц S, а концентрация ядер n, то по геометрическому смыслу вероятность того, что отдельная падающая частица заденет какое – либо ядро мишени будет равна
=( ) = .
Пусть на мишень падает перпендикулярно к ее поверхности в единицу времени N частиц. Тогда количество частиц, претерпевающих в единицу времени столкновения с ядрами мишени будет равно
== .
Следовательно, относительное количество частиц, претерпевших столкновения с ядрами, определяется формулой
207
== .
Отсюда получаем: |
= |
|
. |
(1) |
|
Полученный результат из модели сталкивающихся частиц распространяется на процессы взаимодействия частиц с ядрами мишени.
Теперь представим толстую мишень. В этом случае поток налетающих частиц по мере прохождения её постепенно ослабевает. Подобно поглощению световых квантов в веществе
легко получить формулу: |
– |
|
(2) |
где N(x) – поток частиц на глубине x,( |
N)0=– первичный, |
поток. При |
|
толщине пластинки σ мишени (x = δ) |
|
– |
(3) |
|
потока частиц |
при |
|
Таким образом, измеряя ослабление( ) = |
|
|
|
прохождении их через мишень толщины δ, можно определить эффективное сечение исследуемой реакции по формуле:
σ= |
|
|
|
|
(4) |
|
|
||||
Эффективное сечение ядерных( ). |
процессов принято выра- |
||||
жать в единицах, получивших название барн: 1 барн = 10-24 см 2. |
|
||||||||
Обратимся к задаче. По условию |
, = |
. |
|
||||||
Концентрация атомов (ядер) в пластинке –0/мишени( ) = |
, |
||||||||
где М – атомная масса. При этом эффективное сечение=реакции/М |
|||||||||
|
|
|
= |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
|
М = 112иг/моль |
|
= 8,65 г/ см |
. |
|
|
||
Для кадмия |
|
, |
|
|
|
|
|||
|
= 5·10 см |
= 360 |
эффективное сечение |
|
|||||
= |
|
112 |
|
|
ln360 = 2,5∙10 |
см |
= |
|
|
8,65∙5∙10 ∙6,02∙10 |
|
||||||||
|
|
= 2,5∙10 |
/10 |
|
= 2,5 кб. |
|
|
|
|
5.301. В рассматриваемом случае мишенью для пучка медленных нейронов служит слой тяжелой воды D2О (D – символ
208
атома дейтерия). При этом каждый нейтрон может столкнуться с ядром дейтерия с вероятностью Р1 = σ1n1δ или с ядром кислорода О с вероятностью Р2 = σ2n2δ. Здесь σ1 и σ2 – эффективные сечения ядер D и О для нейтронов; n1 и n2 - концентрация ядер; δ – достаточно малая толщина мишени. Вероятность осуществления либо первого, либо второго события равна :
Р = Р1 + Р2 = (σ1n1 + σ2n2) δ.
Если концентрация молекул тяжелой воды n, то n1 = 2n, n2 = n. Тогда Р = (2 σ1 + σ2) nδ, что в действующем смысле можно представить в виде Р = σnδ, где σ = 2σ1 + σ2).
В задаче 5.300 была приведена формула (3), определяющая интенсивность потока первичных частиц после прохождения через пластинку мишени: N = N0 + e - σnδ ,
где N0 – число частиц (нейтронов), попадающих на мишень за одну секунду. Это позволяет нам написать: N = N0e – (2 σ1 + σ2) n δ.
Относительное ослабление пучка нейтронов при прохождении
слоя тяжелой воды в общем виде определяется выражением
η = N0 /N = e (2 σ1 + σ2) n δ
При значениях σ1 = 7,0и σ2 = 4,2б (барн), n = (1,1 / 20 )∙6,02∙1023 = 3,31∙1023 1/см3 , δ = 5,0 см ослабление пучка нейтронов составит η
= 20 раз.
5.302. С частицей «а» при попадании на мишень может произойти одно из трех событий: поглощения, рассеяния на ядрах мишени и прохождения частицы через слой вещества. Эта полная группа несовместных событий, полная вероятность которых равна единице. Вероятности поглощения и рассеяния частицы соответственно равны Ра = σаnδ и Рs = σsnδ, где n - концентрация ядер мишени, δ – толщина слоя. Вероятность событий поглощения или рассеяния частицы ядрами мишени равна P=Pa+Ps=(δa+δs)nδ. Относительный коэффициент выбывания частиц (нейтронов) за
209
счет рассеяния по отношению |
к действию обоих факторов |
(поглощения и рассеяния) равен |
ν = Ps/(Pa+ Ps) = σs/(σa + σs). |
Интенсивность пучка нейтронов за мишенью N = Nо e – (σa + σs) nδ.
При этом число выбывших частиц равно
ΔN = No – N = No (1 – e - (σa + σs) nδ). Следовательно, относительная доля нейтронов, выбывших из пучка в результате рассеяния,
равна = = 1− ( ) = 1 − ( ) , = .
Для железа n = (7,8/56)∙ 6,02∙1023 = 8,4∙1022 1/см3. При известных значениях пластинки = 2,5 б, = 11 б и толщины пластинки
δ = 0,50 см, величина ε = 0,35.
5.303. Выход ядерной реакции а+А→b+B с образованием радиоактивных ядер В можно охарактеризовать либо величиной w = N/N0, где N0 = число бомбардирующих частиц «а» и N – число образовавшихся ядер В, либо величиной k, представляющей собой отношение активности А возникшего радиоизотопа В к числу бомбардирующих частиц, т.е. К = А/ N0. Между величинами w и k имеется связь.
Поскольку измерение активности радиоизотопа после обстрела мишени занимает некоторое время t, предположим, что полупериод его распада T>>t.
Радиоактивность ядер В определим величиной
–d |
– |
– |
|
– |
|
|
|
Для малых λАи.=t e− |
dt |
≈1,( Ne |
) = λ Ne |
= λwN e |
|
. |
0. |
|
λt |
поэтому можно принять А ≈ λwN |
|
||||
|
|
|
|||||
Тогда k = A/N0 = λw. Так как λ = ln 2 /T. Отсюда полупериод рас-
пада радиоизотопа |
|
|
|
|
|
часть |
задачи. Здесь требуется найти |
||||
Рассмотрим вторую |
|||||
Т = |
2 |
||||
выход W реакции 7Li(p, n)7 Be при известных значениях тока I протонов втечениевремениt, активностииполупериодараспада7Be.
210