3012
.pdf
энергия частицы Е=К+mc2 , где m – масса покоя частицы – с
одной стороны, Е=с |
|
|
|
|
|
|
– с другой. Из этих соотношений |
||||||||||||||||||||||||||||
получаем: p |
2 |
=К(К |
+2mc2 )/c2 , p = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/c . |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
р |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Длина |
|
|
|
волны |
|
де-Бройля ( |
релятивистской |
частицы |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+2 |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
λD= |
( |
|
ħ |
|
|
) |
= |
|
|
|
|
|
( |
ħ |
|
|
) |
. Для |
c |
|
λ |
= |
√ |
|
ħ |
|
. Отношение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λD и λ |
|||||||||||||||||||||
/λD= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Относительное |
|
отличие |
|
длин |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
λ |
|
|
|
|
1+ |
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
составляемλ 1+К= |
/2 |
|
=|1. - /λD|= |
|
|
|
|
-1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
того, |
чтобы |
|
|
= |
|
0,01, необходимо |
выполнение |
||||||||||||||||||||||||
условиеДля |
|
|
|
|
|
|
1,01, |
≤т.е. К/2mc2 |
|
0,02, |
или К |
|
0,04 |
mc2 . Для |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
≤ |
≤ |
≤ |
|||||||||||||||||||||||||
электрона |
1+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
К |
|
|
20,5 кэВ, протона К |
|
37,5 МэВ. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.94. |
≤Дебройлевская длина≤волны |
электрона, |
кинетическая |
||||||||||||||||||||||||||||||||
энергия которого К, |
равна λ=2πh/ |
|
2 |
(1+ |
|
|
) |
(см. |
задачу 5.93), |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
компотоновская же длина волны λс=2πh/mc. Равняем эти выраже-
ния и получаем: 2mK(1+K/mc2)=m2c2 =>K2+2mc2K – m2c4 =0 =>
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K=-mc2 |
+ |
√ |
+ |
К |
|
√2 |
|
||
|
|
|
|
=( -1)mc2. Для электрона |
|||||
|
|
|
|
|
=0,41 0,511 МэВ=0,21 МэВ. |
||||
5.95. Приведем соотношение |
между длиной коротковол- |
||||||||
новой границы сплошного рентгеновского спектра и кинетичес-
кой энергией К ускоренных электронов 2πc /λ |
|
=eU=K, а затем |
||||
воспользуемся формулой λD =2πc |
ħ |
/ |
( +2 |
) |
. При этом |
|
|
ħ |
k |
|
|||
61
=3,3 пм. |
1+ |
|
|
1+ λ mc/πh |
|
∙ , |
∙ |
|
|
|
λD=λk/ |
|
|
=λk/ |
|
=10,0/ |
, ∙ |
∙ , |
∙ |
∙ ∙ |
= |
|
|
|
5.96. Дифракцию электронов на узкой щели будем рас-
сматривать как дифракцию плоской волны де-Бройля, длина которой
λ=2πħ/m . Условие минимумов дифрагирующей от одной щели волны имеет вид b sinφm =mλ. В данном случае m=1, sinφ1 tgφ1
∆ / |
= |
∆ |
. Имеем равенство b |
∆ |
= |
ħ |
, из которого находим скорость |
|||||||||||||
электронов |
=4π ℓ/(mb |
|
). При заданных значениях b=1,0 мкм, |
|||||||||||||||||
ℓ=50 см и |
Δx=0,36 мм скорость υ=2,0·106 |
м/с. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ħ |
∆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5.97. Импульс каждого из ускоренных электронов Р= |
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
соответствующая длина волны де-Бройля |
λ=2π / |
|
. |
Положение |
||||||||||||||||
|
|
|
√2 |
|
|
|||||||||||||||
первых двух соседних максимумов |
дифракционной картины на экра- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
ħ √2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
не определим условие dsinφ1 =λ и dsinφ2 =2λ. При этом sinφ1 |
x1 /ℓ, |
|||||||||||||||||||
sinφ2= x2/ℓ, где x1и x2– расстояния от центра картины до |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отмеченных |
||||
максимумов. Получаем равенство d(sinφ2- sinφ1) = λ, т.е. Δx= x2–x1= = λ. Здесь Δx – расстояние между интересующими нас максиму-
мами, d – расстояние между щелями. Подставляя выражение для λ,
находим Δx= |
|
|
. Длязаданныхзначенийℓ, dиUΔx=4,9мкм. |
|||
|
|
|||||
|
√ |
|
|
|
||
5.98. Сопоставляя пучку моноэнергетических электронов |
||||||
длину волны вероятности (волны де-Бройля) λD=2π |
|
/p, восполь- |
||||
зуемся формулой Вульфа-Брэгга 2dsin =nλ |
(n=1,2…), определя- |
|||||
|
ħ |
|
||||
ющей условие дифракции монохроматического рентгеновского
62
луча при отражениях от атомных плоскостей, параллельных поверхности кристалла. Здесь d – межплоскостное расстояние -
угол скольжения, n – порядок максимума интенсивности дифра-
гирующих лучей.
В формулу Вульфа-Брэгга вместо λ будем подставлять λD .
Длиныволн де-Бройлядляэлектронов, ускоренныхпотенциалами
U1=U0 и U2=ηU0: λ1=2πħ/P1=2πħ/ 2meU , λ2=2πħ/P2=2πħ/ 2ηmeU .
Отсюда λ1/λ2= η. Согласно формуле Вульфа-Брэгга имеем: 2dsinθ=nλ, 2dsinθ=(n+1)λ2.
Получаем: (n+1)λ2=nλ1 => 1+ |
|
= λ1/λ2 => |
= η-1 => n=1/( η -1); |
||||||||||||||
2dsin |
θ |
|
( η |
|
2 2 |
θ |
= |
( |
|
) |
ħ |
2 2 |
2 |
|
|||
|
= λ1/ |
|
-1) => 2dsin |
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
Отсюда находим U0 = π |
|
/[2me( |
|
-1) |
|
d |
sin |
]. В частности, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=150В = 0,15 |
2,25 |
-1)2 ∙(0,2∙10-9 )2 sin2 300 ] = |
||||||||
|
2 |
|
2 |
∙10 |
-68 |
/[2∙0,91∙10-30 ∙1,6∙10-19 |
( |
|
|
|
|||||||
U0 = π ∙1,05 |
|
|
|
ħ |
|
|
|
η |
|
|
|
|
θ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кВ. |
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
5.99. Будем исходить из общности |
||||||||
|
|
|
|
описания дифракции рентгеновского излу- |
|||||||||||||
|
|
O |
|
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
чения и дифракции электронов на крис- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
d |
|
|
|
B |
|
||||||||||||
|
|
|
таллической |
решетке |
простого вещества |
||||||||||||
d |
|
A |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
(см. задачу 5.98), |
заменяя длину рентге- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
новского луча λ длиной волны вероятности λD ускоренных элек-
тронов. В соответствии условиям задания на рисунке показаны направления падающего и рассеянных на атомах двух плоскостей рентгеновских лучей. Из рисунка видно, что оптическая разность
63
хода рассеянных |
лучей 1 |
и 2 равна Δ=ОА+АВ=d+dcos |
= |
||||||||||||||||||||||
=d(1+cos )=2dcos2 |
|
|
. Для наблюдения максимума интенсивности |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||
дифрагирующих лучей 1 и 2 в направлении угла |
необходимо |
||||||||||||||||||||||||
выполнение |
условия |
Δ=nλ, |
т.е. 2dcos2 |
|
= nλ, где |
n |
= 1,2,… |
||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
порядок |
максимума. Длина |
волны де-Бройля λD=2π |
/ |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
√2 |
|
||||||||||||||||||||||||
Подставляя λD вместо λ в условие максимума, получаем:ħ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2dcos2 |
|
|
= |
|
|
ħ |
=> d = |
|
|
|
ħ |
|
|
. Для заданных значений К, |
, n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
межплоскостноерасстояние
d= |
, |
, |
|
, |
=0,21·10-9 м=0,21 нм. |
|
|
, |
|
5.100. Дифракцию ускоренных электронов, проходящих через металлическую фольгу, рассмотрим как дифракцию рентгеновского луча с длиной волны λ, заменяя λ на длину волны
вероятности λD=2π /P=2π / |
. Разность хода лучей 1 и 2 (см. |
||||||||||
=d(1–cos |
|
)=2dsin2 |
|
|
. Из условия диф- |
||||||
рисунок) равна Δ=ħОА–ОВħ √2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dsin2 |
|
=2πħ/√2 |
|
|||||||
ракционного максимума Δ=nλ, т.е. |
|
находим |
|||||||||
|
|||||||||||
межпласкостное расстояние d: |
d= |
|
√ |
|
ħ |
|
|
, где n– |
порядок |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
максимума, =arctg( ). Для заданных значений К = 10 кВ,
d = 3,20 см, ℓ = 10,0 см и n = 3 получаем: = tg 0,16 = 90 10 ,
64
sin = 0,159; d= |
∙ |
, |
∙ |
∙ , |
= 21,2∙10-11 м = 0,21 нм. |
|
∙ , ∙ |
∙ |
∙ |
∙ , |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
2 |
|
|
|
|
O |
A |
z |
|
|
|
|
d |
|
|
5.101. Показатель преломления n металла для ускоренных электронов определяется отношением длины волн де-Бройля λ в
вакууме к ее длине λi внутри кристалла, т.е. n = λ/λi . Допустим,
что кинетическая энергия электронов в вакууме К = eU, где U –
ускоряющая разность потенциалов. В кристалле металла кинети-
ческая энергия электрона увеличится на глубину потенциальной ямы и станет равной Кi=e(U+Ui ), где Ui – внутренний потенциал
кристалла. Поскольку длина де-Бройлевской волны λD ~ |
√ |
|
|
, показа- |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
тель преломления n = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
. Для U = 150 B и U |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n1+-1 |
|
||||||||||||||
=15 В n = 1,05. Рассмотрим( + |
условие)/ |
/η : |
|
|
|
|
|
|
i |
||||||||||||||
|
|
≤ |
|
|
|
|
2 |
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
≥ |
( ) |
|
||||
1+ |
|
(1+η) , |
η(η+2) => |
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
0,01 отношение |
|
|
50. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для η =5.102. Собственные≥значения |
энергии частицы, |
находя- |
|||||||||||||||||||||
щейся в одномерной потенциальной яме определяются выраже-
нием = |
,, |
/(2m |
|
ħ ) |
(1), где n=1,2… Поскольку уравнение |
Шредингера |
|
|
65 |
||
ħ |
|
ℓ ) |
=0 нерелятивистское и потенциальная |
||
|
|
+(2mE/ |
|
|
|
энергия частицы внутри потенциальной ямы U=0, энергия частицы для каждого n получает смысл кинетической. Длина волны де-Бройля частицы для произвольного состояния
λ=2πħ /√2 (2). Удовлетворим длину λ условию ℓ=(λ/2)n, где n=1,2…. Получим:
|
2ℓ/n=2π |
/ |
|
|
=> |
|
= |
|
ħ |
(3) |
||
|
|
|
|
|
||||||||
Верно |
|
|
ħ |
утверждение2mE |
. Подставляя выражение |
|||||||
и обратное |
|
|
|
E |
|
|
|
ℓ . |
|
|||
E=4 ħ /(2m |
), полученное из равенства (2), найдем: |
|
||||||||||
|
ħ |
= |
ħ |
=> = |
|
/2, |
т.е. ℓ = |
/2. |
||||
5.103. Не повторяя элементарную теорию Бора атома водо-
рода, приведем формулы, определяющие радиус n-й круговой орби-
ты электрона и соответствующее значение кинетической энергии:
= |
ħ |
, = |
|
|
|
|
|
. Здесь k=1/4π |
|
|
, n=1,2…. Длина волны де- |
||||||||||
|
ħ |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Бройля |
для электрона на n-й |
орбите |
атома водорода |
||||||||||||||||||
λ =2πħ/ |
2mK |
. Отношение длины орбиты электрона к длине де- |
|||||||||||||||||||
бройлевской волны |
|
|
|
= |
|
ħ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ħ |
2 |
|
= |
|
ħ |
|
∙ |
|
=n. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Итак, С =2π =n , т.е. кратность длины электронной орбиты длине соответствующей волны де-Бройля.
66
|
|
5.104. Обратимся к соотношению неопределенностей |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
импульса p= |
p |
и координаты x=r, т.е. Δp Δr |
|
. Для наименьших |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ошибок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
≥ ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
измерений величин p и r Δp Δr= |
|
. При оценке скорости |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
частицы имеем ошибку |
|
|
= |
/m Δr, Δr=∙ |
1ħмкм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1)электрон: |
|
υ |
=1,05 |
|
|
|
|
|
υ |
ħ |
∙ |
∙1∙10 |
|
|
|
|
|
|
=1,15 |
см/с; |
|||||||||||||||||||
2)протон:Δ |
|
|
1,15∙10 |
|
/1840∙10 |
|
|
|
≈ 115 м/с |
|
|
∙10 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
|
∙10 |
/(0,91 |
|
≈ 6см/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
3)частица |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
см/с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
массы m=1 мг: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
= |
|
∙ |
, |
|
∙∙ ∙ |
|
|
м/с 1 |
|
|
|
м/с=1 |
|
|
|
|
|
см/с. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
υ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
∙10 |
|
|
|
|
|
|
|
∙10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5.105. Неопределенность скорости электрона в атоме водоро- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
да, |
полагая |
размер |
|
|
атома |
|
|
ℓ=0,10 |
|
|
нм, |
|
|
|
|
υ ≈ |
|||||||||||||||||||||||
ħ |
= |
|
, |
|
|
∙ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=1,2ℓ |
∙10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/1,05 |
|
|
= |
|
||||||||
, ∙м/с. Скорость∙ , ∙ |
электрона на первой боровской орбите в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=2,2 |
|
м/с. |
|
|
|
υ |
|
|
|
/ |
∙10 |
∙1,6. |
∙10 |
|
|
|
|
∙10 |
|
|
|
||||||||||||||||||
атоме водорода |
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 55% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
∙10 |
|
|
|
|
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
5.106. Неопределенность скорости частицы |
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Для Δx=λ/2π, где λ=2π |
/ |
|
|
|
|
=2π |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2π |
|
|
/m ≈- длина∙ |
||||||||||||||||||
√2 |
|
ħ |
2 |
|
|
/2 |
ħ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
волны де-Бройля. |
|
|
|
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Неопределенность |
|
|
|
|
≈ |
|
/ |
|
= |
|
|
ħ |
= |
|
ħ |
∙ |
|
ħ |
=υ. |
|
|
|
|||||||||||||||||
Итак, Δυ≈ при неопределенности положения частицы
Δx= /2π.
67
5.107. Полагая |
|
|
|
, из соотношения неопреде- |
||||||||
ленностей |
|
|
|
находим: |
|
|
|
. |
Область |
|||
|
|
|
≈ |
≡ |
|
∙ |
) |
|||||
локализа-ции |
электрона спустя время t Δx |
|
|
|
||||||||
∙ |
≈ ħ |
|
|
≈ ħ/( |
|
∙ |
). |
|||||
Для t=1 с и |
x |
|
ширина локализации ≈ |
|
≈ ħ /( |
|||||||
Δx |
|
= 0,1нм/(0,9 |
|
|
|
= |
|
км. |
|
|||
|
≈ 1∙10 ∙1 |
|
∙10 |
∙0,1∙10 ) ≈ 10 м 10 |
|
|
||||||
5.108. Оценку энергии электрона, локализованного в области
размером ℓ=0,20 нм сделаем по соотношению неопределенностей
Δp∙Δℓ ≈ ħ, полагая Δp≈ p = mυ, Δℓ≈ ℓ.
Имеем mυℓ ≈ ħ =>υ ≈ ħ/mℓ . Кинетическая энергия электрона
K= |
|
≈ |
|
|
|
∙ |
|
ħℓ |
|
= |
ħℓ |
|
. Для ℓ=0,2 нм кинетическая энергия |
||||||||||||||||
электрона |
K= |
|
∙ , ∙ |
, |
|
|
∙ |
∙ , ∙ |
|
|
|
|
Дж = 1,5∙10 |
|
Дж = 0,94эВ ≈ 1эВ. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5.109. Скорость электрона определим значением υ= |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
с неопределенностью Δυ= |
|
/mℓ. Относительная ошибка |
представ- |
||||||||||||||||||||||||||
ħ |
|
|
|
2 / |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ℓ |
|
|
= ħ/(ℓ√2mK) |
|
|
|
||
Для ℓ≈1 мкм и K≈4эВ, ошибка |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ления скорости частицы равна Δυ/υ= |
|
ħ |
|
|
=1∙10 . |
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Δυ/υ= |
∙ |
|
|
|
∙ |
,, |
∙∙ |
∙ ∙ |
, ∙ |
|
|
|
|
|
||||||||||
5.110. При минимальной энергии частицы неопределен-
ность ее импульса Δp может принять равной импульсу, т.е. Δp=p;
неопределенность локализации Δx=ℓ. Тогда согласно соотноше-
нию Δp∙Δx ≥ ħ импульс частицы можно определить значением
p≈ ħ/ℓ.
68
Сила давления на стенку является классической характерис-
тикой взаимодействия частиц со стенкой. В рассматриваемом случае мы имеем одну частицу, которая совершая за единицу времени большое число столкновений со стенкой. Такая классическая точка зрения поможет найти силу давления F на потенциальную стенку.
Промежуток времени между двумя последовательными столкнове-
ниями (период) T =2 ℓ/υ |
=2ℓ/(p/m)=2mℓ |
∙ |
ħℓ |
=2m |
ℓ |
/ ħ ; |
|||
следовательно, частота столкновения |
|
и |
|
ħℓ |
. Энергия |
||||
частицы в потенциальной |
яме |
E=const |
|
имеем |
смысл |
||||
|
Ɣ = 1/ |
= |
|
|
|
||||
кинетической энергии поскольку внутри ямы потенциальная энергия частицы со стенкой абсолютно упругое. При столкновении, частица передает стенке импульс 2p.
Следовательно, сила давления F=2p =2 |
ħℓ |
∙ |
ħℓ |
= |
ħℓ |
. |
|
Оценку силы давления F |
можно |
получить с помощью |
|||||
ν ∙ |
|
|
|
|
|||
других моделей.
5.111. В момент прохождения электронов через выходное отверстие электронной пушки размером d, равном диаметру следа на экране лучевойтрубки, имеютнеопределенностьпоперечнойлокали-
зации |
= |
и соответственно этому появляется неопределенность |
||
импульса |
|
|
Вследствие дифракции существует |
|
|
|
что электроны далее будут двигаться в пределах |
||
вероятность того≈,ħ/ |
= ħ/ . |
|
||
угла 2φ, где φ – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших порядков можно пренебречь).
69
Следовательно, неопределенность попадания электронов на экран
лучевой трубки Δx |
|
|
|
. |
Теперь представим sinφ |
|
|
|
Из |
||||||||||
Поскольку p= |
|
|
|
|
≈ |
|
|
/ , |
или Δx |
≈ ℓ |
/ |
|
|
≈ ℓħ/ |
|||||
сравнения |
получаем≈ ℓΔx/ℓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ |
/ . . |
||||||||
ℓ=20 см, |
|
√2 |
= |
√2 |
|
, |
Δx |
≈ ℓħ/√2 |
|
|
. Для d=0,5мм, |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
U=10 кВ неопределенность координаты электрона на |
||||||||||||||||||
экране Δx≈ 0,2∙1∙10 |
/ |
2∙0,9∙10 |
|
∙1,6∙10 |
∙10∙10 |
≈ 10 |
м. |
||||||||||||
5.112. Потенциальная |
|
энергия частицы |
U=k |
|
|
; сила, |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
действующая на частицу F=-dU/dx=-kx, круговая частота колеба-
ний |
ω= |
|
|
|
|
; |
|
полная энергия |
частицы |
Е= |
|
|
+ |
|
|
. Поскольку |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
поставлен вопрос о минимальном значении энергии E, примем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Из≈ |
|
|
|
|
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ |
|
|
≈ ħ => |
≈ |
ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ħ |
|
|||||||
Δp |
p, |
Δx |
|
|
|
. |
Тогда Δp |
|
|
|
|
|
|
|
и энергия E= |
|
|
+ |
. |
||||||||||||||||||||||
|
|
условия dE/dx=0 найдем стационарную точку |
|
, а затем |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= |
|
|
− |
|
|
ħ |
|
|
= 0, |
|
= |
√ |
ħ |
; |
( |
) = |
|
|
= |
|
|
= |
(ħ/ |
) |
= |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ħ |
|
|
/ |
|
|
= ħ |
, |
|
где |
ω= |
|
|
/ |
|
– круговая частота. Квантово- |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
механическое решение задачи дает |
= ω/2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
задачи таков же, что и |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5.113. Алгоритм решения данной ħ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5.112. |
Принимаем |
Δp |
≈ |
p, |
Δr |
≈ |
. Энергия |
|
электрона |
|
|
атома |
|||||||||||||||||||||||||||||
водорода |
|
≈ |
ħ |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
эф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Е= |
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
где k=1/4π |
. Эффективное расстояние |
|||||||||||||||||||||||
= |
|
|
|
электрона |
от |
|
ядра |
атома |
и |
минимально возможное |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
значение энергии электрона найдём из условия |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|