3012

За время облучения ядра мишени поглотили N0 = It /e протонов (е– заряд протона). Положим, что t<<T (Т – полупериод распада ядер 7 Be). Это позволит нам N0 принять за исходное число радиоактивных ядер при измерении активности после облучения мишени. Тогда отношение К=А/N0=eA/Itивыходреакции w=KT/ln2=eAT/(Itln2).

Подставляя значения исходных величин, получим w = 2*10-3.

5.304. Рассматривается ядерный процесс

Сообщаются дополнительные сведения. Требуется ответить на вопросы а) и б).

а). Вероятность захвата частицы (нейтрона) ядром мишени (197Au) в произвольный момент времени облучения P = σnδ,

где n = n(t) – концентрация исходных ядер, δ – толщина пластинки (фольги) мишени. Число захваченных частиц за промежуток времени dt из числа попадающих на мишень jSdt равно dN´ = PjSdt = jσnVdt, где V = Sδ – объем активной части пластинки, определяемой сечением пучка частиц. Приращение числа реагирующих ядер за dt равно

dN = - dN´ = - jσnVdt = - jσ (N/V)Vdt=- jσNdt.

Отсюда получаем : = - jσndt => N = N0e– jσt , N0 = | = (0).

По условию N/N0 = 1-η. Тогда : ln(1-η) = - jσt, при малом

η= 0,01, -η = - γσt => t = η / jσ. Для j = 1,0∙1010 ∙см

иσ = 98δ = 98∙10-24 см2 искомое время

б) Промежуточные ядра 198Au радиоактивны с полупериодом распада T = 2,7 сут. В процессе облучения фольги нейтронами имеет место наложение процессов образования и распада ядер 198Au.

211

Пусть к моменту времени t в мишени образовалось Ñ ядер 198Au. При этом в образце будет содержаться исходных ядер 197Au, равное N0 - Ñ. За промежуток времени dt приращение числа ядер 198Au станет равным dÑ = γσ(N0 – Ñ)dt - λ Ñdt. Отсюда имеем обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

5.305. Решение данной задачи практически повторяет процедуру пункта б) предыдущей задачи 5.304. Поэтому сразу же воспользуемся формулой (3) той задачи. Необходимо лишь учесть, что вместо N0 надо взять n и положить λ >> jσ. Тогда

Активность распада ядер 198Au через промежуток времени τ после окончания облучения

212

При t = 6,0 ч, τ = 12 ч, T = 2,7 сут. и A=1,9∙107 Бк плотность пото-

ка нейтронов γ = 6∙109 1/с∙см 2.

5.307. Представим следующую модель: в некоторой ограниченной области среды имеем равномерное распределение атомов тяжелого элемента, ядра которых могут делиться под действием внешнихнейтронов. Назовем этуобластьактивнойзоной.

При захвате нейтрона тяжелое ядро может делиться на несколько осколков, чаще всего на два. Осколки деления находятся в возбужденных состояниях. В дальнейшем энергия возбуждения осколков уменьшается в результате испускания ими нейтронов. На реакцию деления ядер в активной зоне влияет целый ряд различных факторов, в результате чего число испускаемых нейтронов в акте деления ядра изотопа бывает различным. Важнейшей величиной, характеризующей активную зону, является коэффициент размножения нейтронов k. Эта величина определяется отношением общего числа нейтронов в каком-либо поколении к породившему их общему числу нейтронов в предыдущем поколении. Положим, что в

первом поколении было N1 нейтронов, тогда во втором поколенииих будет N2 =kN1,в третьем – N3 =kN2 =k2N1 ит.д.

Такимобразом,в n-м поколениибудет Nn= kn–1 N1 нейтронов (*) При k = 1 реакция деления стационарна, т.е. число нейтронов

во всех поколениях одинаково – размножения нейтронов нет. При k>1 возникает цепная реакция. Цепная реакция деления по её осуществлениюможетбытьуправляемойилиноситьвзрывнойхарактер.

Рассмотрим пример. Процесс деления ядер некоторого изотопа начинается с N0 = 1000 нейтронов (первое поколение). Коэффициент размножения k = 1,05. Определить число нейтронов в 100-м поколении.

213

Результат сразу же следует из формулы (*):

времени делится Nn = P/E ядер урана. При этом в высвобождении мощности участвует Nn = ν Nя = νP/E нейтронов. Для P = 100 MВт, Е = 200 МВт и ν = 2,5

5.309. За время t = 1,0 мин разгона реактора при среднем времени жизни одного поколения нейтронов τ = 0,10 с сменится n = t/τ поколений. Следовательно, за время t число нейтронов увеличится в η = Nn / N1 = kn -1 раз. Для заданных t, τ и k величины n и η принимают следующие значения : n = 600;

ядер в одну секунду, т.е. числу захватываемых нейтронов за секунду. За время T (периода реактора) число поколений нейтронов будет равно n = T/τ. Из условий, что η = е и вероятность захвата нейтрона равна единице , найдем Т:

е = k(Т/ τ – 1) => 1≈ Т/ τ lnk => 1≈ (T/τ) ln (1,01) => 1≈ 0,01 Т/τ =>

Т≈100 τ = 100*0,1 = 10 с.

7.ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ

5.310. Из формул для полной энергии и импульса релятивистской частицы следует одно из выражений для кинетической энергии частицы Т = mc2 ( 1 + ( / ) - 1),

где m – масса покоя частицы. Для протона m = mp = 938,26 МэВ.

214

Для заданных значений импульса протона pi/с, где с – скорость света, найдем соответствующие кинетические энергии:

По условию среднее время жизни очень медленных π-мезонов

τ0 = 25,5 нс.

Следовательно, время τ0 можно рассматривать как собственное время существования частицы. Время жизни частицы в

5.312. Заданы кинетическая энергия Т и средний путь l, пробегаемый π–мезоном от места рождения до распада. Требуется найти собственное время жизни τ0 этих мезоном. Кинетическая энергия и путь представляются следующими выражениями:

Для π- - мезона масса покоя m ≈ 140 MэВ, при Т = 100 MэВ и

l =11м, τ0 = 26 нс.

5.313. На длине пучка мезонов протекает обычный процесс их распада по закону J = J0 e – λt, где J0 – поток частиц через начальное сечение пучка, J – через последующее сечение пучка на расстоянии l от первого. Здесь постоянная распада λ = 1/<τ>,

5.314. Остановившийся π+ - мезон распался на мюон и нейтрино ( π+ → μ+ + νμ ). Найдем кинетическую энергию Т мюона и энергию Е нейтрино ν = νμ.

Исходя из законов сохранения энергии и импульса данной системы частиц, напишем: ∆ mc2 = Тμ + Еν, (1)

где ∆ m = mπ - mμ;

Массы пиона и мюона: mπ ≈140 МэВ, mμ ≈106 МэВ. Дефект массы

216

∆m = mπ - mμ = 34 МэВ.

5.315. Найдем кинетическую энергию нейтрона, возникающего при распаде сигма-минус-гиперона (∑- → n + π- ), полагая гиперон перед распадом остановившимся.

Обратившись к законам сохранения энергии и импульса системы частиц, будем иметь:

c²(mΣ - mn - mπ) = Тn +Tπ,

где символ Т означает кинетическую энергию,

5.316. Остановившийся положительный мюон распался на позитрон и два нейтрино (μ+→ е+ + ν + ν ). Найдем максимально возможную кинетическую энергию позитрона.

Законы сохранения энергии и импульса дают:

разлет нейтрино симметричен относительно полета позитрона.

217

Пусть при этом угол разлета равен 2θ. Тогда законы сохранения

противоречит (5) (получается, что Tе < 0. Следовательно θ = θ1 = 0, cosθ = 1 и ур-ние (5) принимает вид Tе(Tе + 2mеc²) = [( mμ – mе )с²- Tе]² (6)

Из равенства (6) находим максимально возможную кинетическую энергию нейтрона: Т = ( е )с² ². (7)

Такую энергию нейтрон может получить в том случае, когда возникающие нейтрино полетят в противоположные стороны. Энергия покоя мюона и электрона равны:

Еμ = 105,66 МэВ, mе = 0,51МэВ. Тmax ≈ ·mμc² ≈ ·107 ≈ 53 МэВ.

5.317. Обозначим массу искомой частицы через mx и на основании законов сохранения энергии и импульса для системы частиц напишем: (mx -mp- mπ)c² = Tp + Tπ,

Tp(Tp + 2mpc²) = Tπ(Tπ+2mπc²)

Здесь Тi –кинетическая энергия,

Исключив Tπ , сначала получим равенство

[(mx -mp- mπ)с² - Тp ]² + 2[(mx -mp- mπ)с²-Tp] mπc² = T²p+ 2mpc² Тp, а затем уравнение x²+2mπc²x-b =0, где x = (mx -mp- mπ)с²- Tp , b = Tp (Tp + 2mpc²), x > 0, b > 0.

mp=938,26 МэВ, mπ=139,59 МэВ. Кинетическая энергия протона Tp=5,3 МэВ. Подставив эти значения в выражение для mxc², получим mxc² = 1115 МэВ. Следовательно, искомой частицей является Λ0 – гиперон, распадающийся по схеме Λ0 →p+π- .

5.318. Предложено найти среднее время жизни мюонов в л.с.о., образующихся при распаде каонов: К+ → µ+ + ν.

Массы и собственные времена жизни элементарных частиц определены, систематизированы и представлены в виде таблиц. Массы каона и мюона соответственно равны: mk = 493,9 МэВ, mµ = 105,7 МэВ. Собственное время жизни мюона τ0 = 2,2∙10- 6 с.

Релятивистскую поправку 1/ 1 − ² найдем, исходя из законов сохранения энергии и импульса системы частиц:

Исключив Eν , получим:

− с = Т + Т ( +2 ²) [ − с − Т ]² =

219

с−