3012

претерпевающих

распад, равно

N N0 1 e . Отсюда

получим:

N

1 e

N

1 1

N

N

N0

N0

N0

N0

По условиям 1 с, N 1,24 104

1

, тогда

c

T

1 4,2 1020

0,7

c 2,4 1016 c

2,4 106

лет 4,5 109 лет.

1,24 104

365 24 3600

5.251.

В

атмосфере постоянно

протекает

реакция

147 N n, p 146 C

под

действием нейтронов, образуемых космичес-

кими лучами. Возникающий при

этом углерод 146 C называют

радиоуглеродом.

Он - радиоактивен.

Количество

возника-

ющих в атмосфере в единицу времени

ядер радиоуглерода в

A t

N0

.

Отсюда следует,

что t ln ,

т.е.

A 0

N0e t

руды равно N0 . По прошествии времени t

количество ядер 238U

станет

равным

N N0e t

,

а

ядер

свинца

N N0

N N0 1 e t .

По условию

N

2,8.

Из этого

N

условия получаем:

=

=

= ln

162

dN

1

N

A

N

A

ln2

где NA - постоянная

выражением

N

,

dt

A

уд

m

TA

Для

24

Na

dN

6,02 1023 0,7 расп

17

Бк

3,4 10

.

15 3600 23

ч с

dt

уд

г

Для 238U удельная активность

dN

6,02 1023

0,7

расп

0,8 10

5

Бк

.

7,1 108

365,25

24 3600

ч с

г

dt

уд

станет равна

N0

. При

этом

начальная удельная объемная

V

активность радионуклида

a

N

0

(1). По условию aV A

(2).

V

С учетом (2) из (1) имеем

N0

A

.

уменьшается и станет равна

N

0

A

(3).

A

e t

e t

V

V

По заданным значениям A

из (3) получаем:

и A

t

A

t

A

tln2

e

A V

(4).

V

e

exp

A

T

A

A

Для заданных значений величин A,

и T объем крови

A , t

2,0 103

5 0,7

3

3

3

человека составляет V

exp

cм

6 10

см

6

л.

15

0,267

5.255. Пусть масса радиоактивного изотопа 58 Co в смеси

(сплаве) с

неактивным 59 Co

равна

m , а

масса

смеси

m .

1

=

=

, M1 –

Удельная активность смеси Aуд

A

,

где

m

атомная масса

. Отсюда имеем

уд =

12

m

A

уд

M

1

T A

уд

M

1

71,3

24

3600

2,2

10

58

3

1

1

1,87 10

0,19%.

m

NA

NA ln2

6,02 1023 0,7

распад с

постоянной

распада

ln2

.

Пусть к некоторому

T

моменту t

в реакторе

накопилось

N

ядер изотопа 32 P . За

промежуток времени от

t до t dt приращение ядер 32 P равно

dN qdt Ndt, или dN q N dt

(1). Разделяя равенство (1)

по переменным, получим уравнение:

164

dN

dt.

(2).

q N

c qи N

q

1 ce t

(4). При этом радиоактивность в момент

t равна A N q1 e t

(5). Из (5) получаем время

t , по

истечении

которого

после

запуска

реактора

радиоактивность

станет равной A

1

q

T

A

продукта

: t

ln

ln 1

. Для

q A

ln2

q

заданных значений T,

A и q промежуток времени t=9,5 сут.

1

и 2 .

Тогда для изменений N1

и N2 за промежуток времени

от

t

до

t dt

можно

написать

dN1 1N1dt

и

dN

2

N

dt

2

N

2

dt , или в виде

уравнений

dN1

N

1

(1),

1

1

dt

1

dN2

N

1

N

2

(2). Первое из этих уравнений имеет решение

dt

1

2

N

1

N

10

e 1t

(3), где N

10

- число ядер A в момент t=0. Число N

1

1

Найдем зависимость N2 t

(закон накопления ядер A2 ).

Подставив (3) в (2), получим уравнение

dN2

N

N e 1t . (4).

dt

2

2

1 10

Решение уравнения (4) можно искать в виде N

2

C e 1t

C e 2t

1

2

(5),

где

C1

и C2 - некоторые постоянные, подлежащие

определению.

Подставив

(5)

в

(4),

получим

равенство

Се 1t

N e 1t ,

из

которого

следует,

что

(6)

Постоянную2 1 1

10

C2

1

найдем из начального условия: пусть =в момент.

t

=0

число

ядер

A2

было

равно

N20

.

Тогда

из

(5)

имеем

C C

N

,

т.е. C

N

N

1

.

Подставляя значения C

1

2

20

2

20

10

1

2

1

и C2 в (5),

получаем: N

2

N

10

1

e 1t

N

20

N

10

1

e 2t (7).

2

1

2 1

При отсутствии ядер А2

в начальный момент времени (N20 0 )

формула

(7)

упрощается

и

принимает

вид

N2

N10

(e

1t

e

2t

)

(8). Для случая N20

0

выражение

1

2

1

(8)

удовлетворим

условию

dN2

0 ,

из

которого

получим

dt

длительность

t*

процесса

рассматриваемого

распада

ядер:

e 2t* e 1t*

e 2 1 t*

2

t

*

ln( 2 / 1)

(9).

Можно

2

1

1

1

2

убедиться,

что

d

2N

2

|

0.

Отсюда следует вывод, что в момент

dt2

t

t*

166

времени t

m

t* количество дочерних ядер

A

в

процессе

2

распадов достигает максимального значения.

5.258.

Непосредственно формулами (8)

и

(9)

решения

представить

в

виде

N2

N10

e t e t N10

e t

1 e t .

Считая

величину

t

в

целом

малой,

напишем:

t

1 1 t N10

t

или

в окончательном

N2 N10

e

e

t,

виде

N2

N10 te t .

Формулу (9)

в 5.257. перепишем

в виде

1

t* t

m

ln 1

. При линейном приближении

логарифма

ln 1 x

в

окрестности

единицы,

ln 1 x x.

Тогда

t*

1

1

.

5.259. а)

Ядро радия

88226 Ra претерпевает цепочку из пяти

-

и четырех

- распадов. Требуется установить характерис-

тики Z и A конечного ядра.

По законам сохранения зарядового

и

массового

чисел

можем

для ядра

ZA X

написать:

Z 88 5 2 1 4 82

(ядро

свинца,

Pb),

A 226 4 5 0 4 206. Итак, конечным является ядро

82206 Pb.

б) Дана цепочка распадов

,

Pb . Найти число и

92238U 20682

превращений. Составим числовые уравнения для Z и А: 238-

206=4n,

92-82=2n-m, где n– число распадов, а m – число

167

классическим

выражением

кинетической

энергии частицы

K

p2

,

откуда

для импульса

частицы

получаем выражение

2m

p

Альфа-частица,

испущенная

покоившимся

ядром

2mK.

84200 Po,

имеет

кинетическую

энергию

K 5,77

МэВ;

следовательно, ее импульс

p

. По закону сохранения

2m K

2m K

равны p p ,

т.е.

p

2m K ,

где

m –

масса

v

m

,

дочернего ядра (в данном случае ядра 19682

Pb ). Численно скорость

отдачи ядра 196 Pb v

2 4

5,77

10 6

1,6 10 19

3,4 10 5 м / с.

196

196 1,66 10 27

Полная высвобождаемая энергия

m m

Kполн

p 2

p2

p 2

1

1

p 2

Отношение

.

m

2m m

2m 2

m

m

K

p 2

:

p

2 m

m

m

4

0,02.

2m

2m m

4 196

Kполн

m m

5.261. В результате распада

84210 Po 82206

Pb 24

кинетичес-

кая

энергия частицы

K 5,3 МэВ.

При

этом

ее импульс

p

,

а

кинетическая

энергия

отдачи

ядра

206 Pb

2m K

82

K

p2

p2

m K

, где

m –

масса

ядра

206 Pb .При распаде

2m

2m

m

одного ядра 210 Po выделяется энергия

m

4

q K K

K 1

K 1

1,02K .

m

206

В

количестве

1,00

мг

полония

210 Po

содержится

N0

1,00 10 3

NA

1,00 10 3

6,02 1023

2,87 1018 ядер.

210

210

К моменту времени

1

число распавшихся ядер полония

N N0 1 e

1

18

18

N0 1

0,63N0 0,63 2,87 10

1,8 10 .

e