3012

Полная энергия частицы

.

(4)

Выражая из (3) скорость и

подставляя ее в (2), получаем:

=

+

=

=

=

,

где

=

=

=

,

= 1,2,…

(5)

Соотношения (4) и (5) дают:

=

=

= .

(6)

т.е.

5.58.=Характеристики, = 1,2,движения…

и энергетический спектр

электрона водородоподобного иона следует из уравнений:

m 2

kZe2

(1),

m r n , где n 1,2,...

(2)

r2

r

=

Ф ,

=

(3)

.

(4)

атома

=

= 9 10 м

для

.

Здесь

. Вычислим значения

этих величин

водорода и иона гелия

=

= 1

(м) = 0,529Å,

1)

атом H:

Z=1,

n=1.

−34 2

1

1,05 10

1,6 10−19 2

9 109 0,91 10−30

9 109(1,6 10−19)2

6

:

=

= 2,18 10 м/ .

1

1,05 10

−34

=

= , = 0,265Å, = 2 2,18 10

2)

ион

Z=2,

n=1.

4,36 10 м/ .

0,91 10 30

(9 109)2

22

(1,6 10

19 )4

16

1/c.

2

2,07 10

(1,05 10 34 )3 23

5.60.Энергия электрона на n-й орбите водородоподобного

атома равна

En

mk2Z2e4

1

(1)

2 2

n2

,

Основному состоянию электрона

соответствует n=1. Формулу (1)

= 1,2,…

можно

переписать

в виде

(для

n=1)

E RZ2

(2), где

1

R

mk2e4

16

1

Энергия связи иона,

определяемая работой по

2 3

2,07 10

c

.

разъединению электрона и ядра

Ecв Eвз

RZ2

(3). Потенциал

ионизации

i Eсв /e RZ2 /e

(4).

Длина волны

головной

линии серии Лаймана

2 c

8 c

.

(5)

21

R(1 1/4)

3R

Первый потенциал возбуждения

(E

2

E )/e

RZ

2

(1 1/4)

3 RZ

2

.

(6)

1

1

e

4e

Результаты расчета ионных величин по формулам (2) (6)

предоставлены в таблице.

Eвз , эВ

i , В

1, В

,нм

Н

13,6

13,6

10,2

121,5

He

54,5

54,3

40,8

30,4

43

порядка En

mk2Z2e4

RZ

2

/n

2

R

mk2e4

16

, где

2,07 10

2 2n2

2 3

при переходе электрона с уровня E3

на уровень

E2

(головной

2

1

1

2

линии серии Бальмера) равна E E RZ

5 RZ

/36.

3

2

22

32

Из формулы (4) задачи 5.60 имеем Z 2

4e 1

.

3R

отношению

к

основному

состоянию,

не

меньшую

чем

E

min

E

3

E

,

т.е.

E RZ2 (1 1/32 ) 8 RZ2 /9

,

где

1

R 2,07 1016 1/с –постоянная Ридберга.

Отсюда получаем минимальную энергию, сообщаемую

водородоподобному иону He :

Emin

8 RZ2

/9

Z 2 32 R/9 32 0,66 10 15 2,07 1016

/9эВ 48,5эВ.

5.63. Частота искомой линии спектра водорода по условию

1

1

,

отсюда

ее

длина

волны

w w

2 w1 2 c

2

1

Определим

границы

линии спектра

серии Брэкета по

1

1

формуле 2 c/ R

, где n=4, m=5,6,…:

2

m

2

4

1) m , 32 c/ R 1,46мкм ; 2) m=5, max

800 c/9R 4мкм.

44

5.64. По формуле

m2

2 c

1

1

вычислим длины

R

2

m

2

2

волн

первых

трех

линий

спектра

серии

Бальмера:

1 32

72 c 5R 657нм,

2

42

32 c

487нм,

200 c

2

434нм.

3R

3

52

R

2 c 1

1

N

N 2,2

2

2

(N 2)

R 2

2

и

2 c

1

1

8 c

(N 3)

.

(1)

N 1

N

3,2

R

2

2

(N 3)

2

R (N 3)

2

4

Представим, что параметр N является непрерывным и

возьмём от обеих частей равенства (1) дифференциалы:

d

8 c

d

(N 3)2

dN

64 c

N 3

dN .

(2)

R dN (N 3)4 4

R (N 3)2 4 2

Переходя к конечным разностям и принимая N 1,

получим

64 c

N 3

(знак

минус

отброшен).

Для

R

(N 3)2

4 2

8 c (N 3)2

R (N 3)

2 4 2

(N 3) (N 3)

2 4 2

,

x

R (N 3)2 4

64 c(N 3)

8

при больших значениях N

(N 3)

3

.

8

45

При N=20 разрешающая сила

1520.

2 c

1

1

8 c

(n 2)

2

.

(1)

n

n 2,2

2

2

2

R

2

(n 2)

R (n

2)

4

Разрешающая сила дифракционной решетки

mn,

(2)

где m-порядок

дифракционного

спектра,

N

l

-полное

число

d

штрихов, d-период решетки. Вместе взятое дает

m

1

.

(3)

d

l

Из условия

дифракционного

максимума

dsin n

m n

имеем

sin

n

m

n

n

.

(4)

d

l

Разрешающую способность решетки, как спектрального

прибора, найдем

по

схеме,

рассмотренной в задаче

5.64:

64 c(n 2)

,

R (n 2)2 4 2

R (n 2)2

4 2

(n 2)(n 2)2 4 .

8 c

(n 2)2

(5)

R (n 2)2 4

64 c(n 2)

8

Подставляя (5) в (4), получим sin

n

c

(n 2)3.

Rl

Для n=50 sin n

0,865,

n

60 .

частоты соответствующих линий

спектра

водорода, т.е.

Z 4 H . По формуле Бальмера

2

1

1

Z

Z

R

,

n 2

m 2

1

1

Отсюда

Z

2

4,

Z 2, следовательно,

H

R

.

n2

m2

означенный спектр принадлежит иону гелия He .

5.67.

Каждому энергетическому состоянию EK электрона

атома водорода сопоставим спектральный терм T(k)

R

. Тогда

k2

частоту линии спектра при переходе электрона с уровня EK на

уровень

El

меньшей

энергии

можно

представить

в виде

Kl

T(l) T(k), т.е. как комбинацию двух различных термов.

Таким образом,

число N возможных частот излучения

возбужденных атомов

водорода будет

определяться числом

сочетаний из n термов по 2, т.е. N С

2

n!

n(n 1)

.

n

(n 2)!n!

2

2 c

1

121нм;

2 c

1

9 c

нм;

21

1

31

1

102

R

R

4R

4

9

2 c

1

32 c

97нм.

41

1

R

15R

16

5.69.

Энергия

испущенных

фотонов

1

1

2 c ( 1 2 )

равна

энергии

2

2 c

1

1

2

1 2

mk2Z2e4

mk2Z2e4

mk2Z2e4

1

возбуждения W

1

. Равняем

2 2n2

2 2

1

2 2

n2

и W :

2 c

2

mk2Z2e4

1

2 c

2

1

1

1

1

Z2R 1

,

2

n2

2

2

2

n2

1

1

где R

mk2e4

2,07 1016 1 с-

постоянная Ридберга. Из последнего

2 3

равенства получаем:n 1

1

2 c 1

2

Z

2

1

1

c( 1 2 )

.

Z2R

2

2

R

1

2

1

Для заданных 1

и 2 имеем: