3012
.pdf
Средний пробег частицы в воздухе при нормальных условиях
R 0,98 10 27 1,84 109 3см 6,1см.
На пути пробега частица, взаимодействуя с молекулами
O2 и N2 воздуха, ионизирует их, затрачивая при этом энергию
E 34эВ на акт ионизации. В конце пробега скорость частицы
принимается за ноль. Поскольку |
|
, траекторию |
|
частицы в воздухе можно считать |
прямолинейным отрезком (см. |
||
|
|
|
|
рисунок).
Далее положим, что на отрезке пути x от начала пробега
частица |
образовала пар ионов, |
и что в сечении x пучка |
||
энергия частиц равна K , а скорость x |
2K . |
|||
|
|
|
|
m |
0 |
|
|
|
Участок траектории |
x |
|
x |
от x до R длины R- |
|
0 |
|
|||
x |
R |
|
x можно рассмат- |
|
|
|
ривать как средний |
||
пробег частиц с энергиейK , что позволяет написать
R-x v3
Скорость
(1), где 0,98c3 /cм2 ; R и x в см.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 K |
|
E |
(2). |
R x |
2 K |
|
E |
|
|||||
|
0 |
3 |
|
0 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
K |
|
|
|
|
m |
|
R x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
(3). Принимаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
E |
2 E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) x = R; |
0 |
|
|
K0 |
|
|
7,0 106 |
|
2,1 105 (пар ионов). |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
б) x |
|
R |
; = − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
= − |
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 −
= 2,1∙10 ∙0,37 = 0,77∙10 (пар ионов).
√
171
5.264. Бета – распады протекают по следующим схемам.
1) Электронный распад ( β - распад ) :
ZA X Z A1Y 10 e ~ ,
где ~ - электронное антинейтрино. Процесс протекает так, как если бы один из нейтронов ядра ZAX превратился в протон,
претерпев превращение n p e_ ~. 2) Позитронный распад (β - распад):
ZAX Z A1Y 10e ,
где - электронное нейтрино. Процесс β - распада протекает так, как если бы один из протонов ядра превратился в нейтрон,
испустив при этом позитрон и нейтрино: p n e .
3) Третий вид β – распада (электронный захват) состоит в том,
ядро ZAX поглощает один из электронов какой-либо электронной оболочки своего атома, чаще всего из К – оболочки (К - захвата), в результате чего один из протонов ядра превращается в нейтрон,
испуская при этомнейтрино: p e_ n .
Возникающее ядро может оказаться в возбужденном состоянии. Переходя в более низкие энергетические состояния, оно испускает γ – фотоны. Схема процесса выглядит так:
ZAX _01e Z _A1Y .
Место в электронной оболочке, освобожденное захватом электрона, заполняется электронами из выше лежащих слоев, в результате чего возникают рентгеновские лучи.
Рассмотрим энергетический выход для каждого из типов β
– распада. Введем обозначения для масс материнского и дочернего атомов и электрона соответственно:
MX M(A,Z), My M(A,Z 1), me - электрона.
172
Прежде всего определим понятие энергии связи атомного ядра. Энергией связи ядра W называют разность между энергией протонов и нейтронов в ядре и их энергией в свободном
где M – масса ядра( , |
, )m=p и mn |
(- |
, ) − |
+( − ) |
, |
состоянии: |
|
|
|
|
массы протона и нейтрона. Энергия
связи ядра отрицательна и по абсолютному значению равна работе, которую нужно затратить для расщепления ядра на составляющие его нуклоны. Часто под энергией связи ядра понимают положительную величину Ecb W . Величина энергии связи ядра определяетего устойчивостьотносительно распада.
Предметом нашего внимания является β – распад. β – Распадом называется процесс самопроизвольного превращения нестабильного ядра в ядро – изобар с зарядовым числом, отличным на Z 1, за счет испускания электрона (позитрона) или захвата электрона.
Энергетическое условие возможности β - распада ядра с
массовым числом А и зарядом Z записываются так: |
|
M(A,Z) M(A,Z 1) me |
(1) |
Масса исходного (β - радиоактивного) ядра должна быть больше суммы масс конечного ядра и электрона. Это условие может быть выражено через массы атомов, если к левой и правой частям неравенства (1) прибавить Zmе :
Maт(A,Z) Maт (A,Z 1) |
|
(2) |
|
Энергия, выделяющееся при β - распаде равна: |
|
|
|
Q c2 Maт (A,Z) Maт(A,Z 1) |
|
(3) |
|
Энергетическое условие β - распада записывается по |
|||
аналогии с условием β - распада: |
|
|
|
M(A,Z 1) M(A,Z) me , |
me me |
me |
(4) |
173 |
|
|
|
Если, прибавив к обеим частям неравенства по (Z 1)me , перейти от масс ядер к массам атомов, то неравенство (4) приобретает следующий вид:
|
Mат(A,Z 1) MAт (A,Z) 2me |
(5) |
|||||||
Энергия, выделяющаяся при β - распаде, равна: |
|
||||||||
Q |
c2 M |
aт |
(A,Z) M |
aт |
(A,Z 1) 2m |
(6) |
|||
|
|
|
|
|
|
e |
|
||
Энергетическое условие возможности К – захвата |
|||||||||
записывается в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(A,Z) M(A,Z 1) me , |
(7) |
|||||||
а после прибавления к левой и правой частям по Z масс |
|||||||||
электронов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Maт (A,Z) Maт (А,Z 1) |
(8) |
|||||||
Энергия, выделяющаяся при К – захвате: |
|
|
|
||||||
|
Q c2 M |
aт |
(A,Z 1) M |
aт |
(A,Z) |
(9) |
|||
|
K |
|
|
|
|
|
|
||
При выполнении неравенства (5) автоматически выполняется и неравенство (8), поэтому переходы между соответствующими ядрами возможны как посредством β - распада, так и с помощью К – захвата.
5.265. Ядро нуклида 104 Be распадается по схеме:
|
104 Be 105B ~ |
(1) |
|
При распаде ядра 10Be выделяется энергия : |
|
||
W |
c 2 M aт (10 Be ) M aт (10 B ) |
(2) |
|
Согласно табл.21 |
сборника задач |
Maт (10Be) =(10+0,01354) |
аем, |
Maт (10B) =10+0,01294 аем. |
|
|
|
Тогда W (6 10 4 аем)с2 6 10 4 |
931,4МэВ 0,56МэВ. |
|
|
|
174 |
|
|
Энергия W равна сумме кинетических энергий ядра бора
(T ), β -частицы (T |
) иэнергии , уносимойантинейтроном ~. |
||
B |
|
|
|
Поскольку |
энергия |
T , как предполагается, максимальна, то |
|
E 0 и W T T . Кинетические энергии отдачи ядра бора и β - |
|||
|
B |
|
|
частицы представим через импульсы этих частиц и воспользуемся законом сохранения импульса, получая, исходное ядро покоящимся:
T |
|
pB2 |
|
|
,T |
p2 |
, p2 |
p |
2 |
T |
me |
|
|
T . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
B |
2M |
ат |
(B) |
|
|
B |
|
|
B |
|
M |
ат |
(B) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, |
|
W T T |
|
(1 |
|
me |
|
|
)T |
|
(1) |
|
||||||||||||
|
|
Mат(B) |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Величина |
|
me |
|
1, тогда |
|
|
, т.е. кинетическая энергия β |
|
- |
|||||||||||||||
|
Mат(B) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
частицы T 0,56МэВ. |
Из соотношения |
|
|
TB |
|
me |
(2), |
|||||||||||||||||
|
|
|
Mат (B) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||
получаем примерное значение кинематической энергии дочерне-
го ядра |
10 |
В: |
T |
m |
T |
9 10 31 |
0,56МэВ 30эВ. |
|
e |
|
|||||
|
Mат(B) |
10 1,68 10 27 |
|||||
|
|
|
B |
|
|
5.266. В результате радиоактивного распада ядра
1124Na 1224Mg ~
высвобождается энергия W c2 Mат(24Na) Mат(24Mg) .
Из табл. 21 сборника: Мат(24Na) (24 0,00903) аем,
Mат(24Mg) (24 0,01496)аем. Тогда
W ( 0,00903 0,01496) 931,4МэВ 5,52МэВ.
По формулам (1) и (2) задачи 5.265 для кинематических энергий β -частицы и атома 24Mg получим:
175
T( )max |
W 5,52МэВ , |
поскольку |
me |
1 ; по условию |
|||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mат(B) |
|
|
|
|||
T( ) |
1 |
T( )max 1,84МэВ. |
|
0,511 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В |
= |
|
|
|
( |
) |
|
|
∙5,52 МэВ = 125 эВ. |
||||||||
|
ат( |
) |
24∙939 |
||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Na |
|
|||||
|
|
)количестве |
|
1,0 |
мг |
радиоактивного |
24 |
|
содержится |
||||||||
N (m/A)N |
A |
(1,0 10 3 /24) 6,02 1023 0,25 1020 атомов. По истече- |
|||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нию времени t=1 |
сут. |
Число |
распавшихся |
ядер |
24Na равно |
||||||||||||
N N0(1 e t) 0,25 1020(1 e 0.047) 0,25 1020 0,047 1,18 1018 ( ядер ).
сут
Количество тепла, которое выделяется в калориметре за одни сутки, равно
4 18 18
Q T( ) T(Mg) N (1,84 1,25 10 ) 1,18 10 МэВ 2,17 10 МэВ
2,17 1018 106 1,6 10 19 Дж 0,35МДж.
5.267. Предлагается β - распад 116 C 115 B . Требуется вычислить суммуэнергий позитрона и нейтрино. Выделяющаяся при
β - распаде ядра 11C равна: W c2 Mат 116C Mат 115 B 2me |
(1) |
|
(см. формулу (6) задача 5.264). |
|
|
|
Из таблицы 21 сборника имеем: |
|
Mат 11С 11 0,01143 аем, Mат 11В 11 0,00930 аем. По форму- |
||
ле (1) находим: W 2,13 10 3 931,4МэВ 2 0,511МэВ 0,96МэВ. |
|
|
|
По закону сохранения энергии W T 11B T , где |
|
Т – |
кинетическая энергия, - энергия нейтрино. По условию |
|
( |
|
|
) 0, тогда искомая величинаT 0,96МэВ. |
|
|
|
176 |
|
Поскольку нейтрино - безмассовая частица, то ее импульс
p /c . По |
|
закону сохранения импульса p |
p , |
следова- |
|||||||||||||||||
тельно, кинетическая энергия β - частицы |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
p2 |
|
|
p2 |
|
2 |
. В результате получаем: |
|
|||||||||||||
B |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2m |
|
2m |
2c2m |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e |
|
|
|
e |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(в МэВ) |
|
|
|
2 |
|
|
+ |
= |
|
|
2∙0,511 |
+ |
|
= |
|
|
|||||||
|
|
+ |
|
|
−1 0 |
|
|
|
|
= − |
|
+ |
1⁄4+1 |
= 0,62 (МэВ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Кинетическая энергия β - частицы 0,96 0,62 0,34 (МэВ). |
|||||||||||||||||||||
5.268. Рассматривается позитронный распад |
|
||||||||||||||||||||
при |
|
→ |
|
+ |
+ |
. Требуется найти энергию отдачи ядра |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
условии, что энергия позитрона максимальна. |
|
|||||||||||||||||||
Выделяющаяся при распаде энергия равна: |
|
|
|||||||||||||||||||
|
= |
[ |
|
ат |
( |
|
) − |
ат |
( |
) −2 |
] |
. |
|
|
(1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычитание удвоенной массы β - частицы |
|
|
в выражении (1) |
||||||||||||||||||
обусловлено |
|
вычислением |
|
|
дефекта |
массы |
через |
массы |
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
соответствующих атомов (в данном распаде испускается одна |
|||||||||||||||||||||
β - частица). |
Из таблицы 21 сборника имеем: |
|
|
||||||||||||||||||
Mат (13N) (13 0,00574)аем, Mат (13C) (13 0,00335)аем.
По формуле (1) находим:
Q 2,39 10 3 931,4МэВ 2 0,511МэВ 1,20МэВ.
Поскольку кинематическая энергия β+ - частицы максимальна, энергия и импульс нейтрино 0, 0.
177
Выделившаяся энергия Q равна сумме кинетических энергий
ядра 13C T и β – частицы |
т.е. |
|
|
Q |
|
(2) |
||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
По закону сохранения импульса |
|
|
pc p |
(3) |
||||||||
Скорость отдачи ядра |
|
, тогда как скорость β - частицы |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
равенство (3) напишем в виде: |
|
||||||
велика. Благодаря этому, |
, |
= |
|
|
|
= |
|
|||||
|
≡ = |
⁄ |
≡ |
|
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
, |
|
|
|
|
- масса электрона. |
|
||
|
Квадрат импульса |
β - частицы |
|
|
|
|
||||||
|
|
≡ |
= |
= 2 |
∙ |
|
= 2 |
, ≡ |
(4) |
|||
|
|
|
||||||||||
Вернемся к энергетическому соотношению (2) и представим его в виде
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а затем= +сделаем+ряд преобразований− = +: |
√2 |
+ |
|
− |
, (5) |
||||||||||
Если принять |
с (2 |
( |
+ |
|
) = () |
+ |
|
( − ) |
) . |
(6) |
|||||
во− 2внимание+ , |
+что |
|
+ |
+2 |
, то=уравнение0 |
||||||||||
(6) можно написать так: |
|
2 |
2Mc( |
2T Q(Q 2mc2 ) 0 |
(7) |
||||||||||
|
|
+ |
|
) |
|
|
|
||||||||
Физическому содержанию отвечает следующий корень
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения (7): |
= |
− |
|
− |
( |
+2 ) = |
||||
|
|
= |
1 − |
1− |
( |
) |
. |
|
||
Величина |
( |
) |
1 и, следовательно, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
178 |
|
|
|
|
|
= |
∙ |
( |
) |
= |
( |
) |
. |
= |
|
( |
) |
|
|
Итак, кинетическая энергия ядра отдачи |
равна |
|
, |
|||||||||||
где m - масса нейтрона, |
|
бериллия |
- масса ядра. |
|
|
|
|
|||||||
5.269. K - захват ядром= |
: |
+основном→ |
|
|
|
. |
|
|||||||
Поскольку дочернее ядро оказывается в |
состоянии+ , |
|||||||||||||
испускания |
- кванта |
не |
происходит. Процесс |
|
может |
|||||||||
сопровождаться излучением рентгеновских квантов, энергиями которых пренебрежем.
При K - захвате высвобождается энергия |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||
где |
и |
- массы атомов Be и Li. Из |
таблицы 21 сборника |
|||||||||||||
|
= |
( |
|
− ) |
|
|||||||||||
Тогда |
= |
(7+0,01693) |
|
МэВ = (7+0,01601) |
аем. |
|
||||||||||
имеем: |
= 0,92∙10 |
|
аем, |
= 0,857 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
∙931,4 |
|
МэВ. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Скорость дочернего ядра (ядро лития) |
|
, |
поэтому |
|||||||||||||
кинетическую |
энергию |
этого |
ядра |
можно |
определить |
|||||||||||
выражением |
|
|
, |
где |
|
- |
импульс |
ядра. |
Пусть |
энергия |
||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нейтрино равна = , тогда его импульс |
= |
|
. |
На основании |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
законов сохранения энергии и импульса можем написать:
|
= + = |
|
|
+с = |
|
+с , |
= ≡ . |
||||||
|
|
|
|
||||||||||
Получаем уравнение: |
+2 |
|
|
−2 |
∙ |
= 0. |
|||||||
Решение уравнения: = − |
+ |
|
|
|
+2 |
∙ = |
|||||||
= |
( |
1+ |
|
|
− 1). |
Величина |
|
|
1, |
тогда |
|||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
179 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
1+ |
|
|
|
−1 = |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Скорость ядра отдачи |
= ⁄ |
= |
|
|
= |
|
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
( |
− |
) ( |
|
− |
) |
|
0,92∙10 |
|
||||||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= ∙ |
7 |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= 0,13∙10 |
40∙10 м/с = 40км⁄с. |
|
||||||||||||
5.270. Cделав предварительно оценку энергии отдачи при переходе возбужденного ядра 109 Ag в основное состояние с испусканием либо γ – кванта, либо конверсионного К – электрона, убедимся, что эта величина очень мала и ею можно пренебречь. Это будет означать, что после превращения ядро может считаться практически неподвижным, а энергия перехода затрачивается на удаление электрона из К – оболочки атома и сообщение ему кинетической энергии. Это дает основание написать: св K ,
где - энергия γ – кванта, св - энергия связи К – электрона и
|
|
|
|
mec2 |
|
|
m c2 |
- кинетическая |
|
энергия |
конверсионного |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
К |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 2 /с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
св |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
электрона. |
Отсюда |
|
|
получаем |
1 |
|
|
1 |
|
|
, где в |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mec2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
св ) |
|
|
|
|
1 2 /с2 |
|
|
|
|
|||||||||||
числовом выражении |
|
87 26 |
|
|
61 |
. Далее, |
св |
1 |
572 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m c2 |
511 |
511 |
|
|
|
m c2 |
511 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
511 |
|
|
|
|
511 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
и |
|
; c |
|
|
c |
|
0,45с (с – скорость света). |
|||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0,2 |
|||||||||||||||||||||||||
c2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
572 |
|
|
|
|
572 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Итак, скорость конверсионного электрона 0,45 с.
5.271. Если бы после перехода в основное состояние ядро
191 r оставалось неподвижным, то энергия испущенного γ – кванта ε=Е. Однако имеет место отдача ядра, в результате которой ядро получает кинетическую энергию Т, а γ – квант
180