Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2777

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

2) множеством значений функции x t при t ,

является отрезок a, b ,
3)	a и	b , то
		b
		f (x)dx	f (t) (t)dt .

Доказательство:

Пусть F(x) является первообразной для f(x). По формуле

				b
Ньютона-Лейбница				f (x)dx		F (b)	F (a).		Поскольку
				a
F t	f	t	t ,	то	F	t	первообразная для
функции	f t	t	. Тогда
f (t)	(t)dt F (t)			F ( )		F ( )		F (b) F (a)
f (t)	(t)dt F (t)			F ( )		F ( )		F (b) F (a)
b
f (x)dx.
a
При		вычислении			определенного				интеграла,

представляющего собой число, возвращаться к прежней переменной нет необходимости. В этом случае требуется пересчитать пределы интегрирования для новой переменной интегрирования.

Пример 3.6. Вычислить определенный интеграл

x 2 1 x 2 dx.

Решение:

														x	sin t
1														dx			costdt
														dx			costdt							2
	x 2			1		x 2 dx								x1			0, t1				0			2	sin2 t				1 sin2 t cost dt
	x 2			1		x 2 dx								x1			0, t1				0				sin2 t				1 sin2 t cost dt
0																								0
														x2		1,			t2
														x2		1,			t2		2
																					2

2		sin2 t cos2 t dt													1	2		sin2 2t dt						1	2
																									1				cos4t dt
															4									8	1				cos4t dt
0															4	0								8	0
1				t	/ 2					1	sin 4t					/ 2						0						.
					/ 2											/ 2

					0											0
8									4												16				16									8			dx
8									4												16				16

				Пример 3.7. Вычислить определенный интеграл																																			.

																																					3

																																		0		1		x
																																		0
				Решение:
					3												t 3
					3					x			t, x				t 3
8 dx							dx 3t 2 dt														2 3t 2 dt						2 t 2		1 1				2
																									3					dt	3			(t 1)dt

0 1				3 x				x1				0, t1				0					0 1 t								t 1
0 1				3 x				x1				0, t1				0					0 1 t				0				t 1				0
								x2					8, t2			2
2				dt					3t 2
2				dt					3t 2														2
	30													3t			3ln			t	1		0	3ln 3.
				t 1					2					3t			3ln			t	1			3ln 3.
				t 1					2
				Пример3.8.												Вычислить										определенный									интеграл
ln 2
			e x		1dx.
0
				Решение:

														e x	1				t,		x	ln(t 2			1)
ln 2																	2t												1		2t
			e x		1dx							dx					2t			dt,										t	2t				dt

																		t 2															2
0															1			t 2											0	1		t	2
0																													0
												x1			0, t1					0, x2			ln 2, t2						1

1	t 2	1 1	1	1		dt		1
2			dt 2	dt			2 t arctgt		2 1		.
	t 2	1			1	t 2		0		4
0			0	0

3.9. Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого рода

Определенные интегралы от непрерывных функций по конечному отрезку называются собственными интегралами.

Несобственные интегралы возникают, если отрезок интегрирования бесконечен или подынтегральная функция испытывает разрыв второго рода.

Если хотя бы один предел интегрирования оказывается бесконечным, то определенный интеграл называется несобственным интегралом первого рода.

Рассмотрим функцию f x , непрерывную на промежутке

a, , и выделим отрезок a, N .
Несобственным	интегралом		от функции f x по
бесконечному промежутку		a,	называют предел интеграла
по промежутку a, N	при N		:
			N
	f (x)dx	lim	f (x)dx .
a		N	a
a			a

Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется

расходящимся.

Пример 3.9. Вычислить несобственный интеграл		dx	.

	1	x 2

Решение:

	dx		lim	N dx		lim	1

	x	2		1 x	2		x
1			N			N

N	lim	1	1 1.
N


		N
1	N	N
1

Несобственный интеграл сходится.
				Пример				3.10.				Вычислить					несобственный интеграл
			xdx		.
					.
1		x2 1
1
				Решение:
		xdx					N	xdx						1				N
																		N

						lim						lim			ln	x 2	1
1 x			2	1		lim		x	2	1		lim	2		ln	x 2	1
			2			N			2			N
							1											1

	1			lim		ln N 2			1		ln 2		.
	1

	2 N

Предел не существует, следовательно, интеграл расходится. Геометрическая интерпретация сходящегося

несобственного интеграла при f x 0 - площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (рис 7).

y f x

O a

Рис. 7.

Большинство свойств определѐнного интеграла (кроме оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.

Если f(x) непрерывна на промежутке , a , то аналогичным образом может быть определен несобственный

интеграл первого рода на промежутке			, a :
a		a
f ( x)dx	lim		f ( x)dx .
	N	N
		N
Если f(x) непрерывна на всей числовой оси, то
	a
f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx .
			a
В этом случае интеграл	f (x)dx сходится, если сходятся

оба интеграла в правой части.

В некоторых задачах бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл, поэтому используются признаки сходимости для несобственных интегралов первого рода.

Теорема. (Признак сравнения) Если на промежутке a,

непрерывные функции		x и f x подчиняются неравенству
0	x f x , то из сходимости интеграла f (x)dx следует
		a
сходимость интеграла		(x)dx , а из расходимости интеграла
		a
	(x)dx следует расходимость интеграла f (x)dx .
a		a
	Доказательство:

Докажем		первую		часть	теоремы, т.е.			если		f (x)dx
										a
сходится,	то сходится			и интеграл			(x)dx . Проинтегрируем
						a
неравенство		0	x	f x	в	пределах		от	a	до N:
N	N
(x)dx	f (x)dx .
a	a
Возьмем пределы при N						от левой и правой части
неравенства:
				N			N
			lim	(x)dx		lim	f (x)dx .
			N	a		N	a
				a			a
Поскольку правый предел есть конечное число,										так как
							N
интеграл	f (x)dx сходится, то интеграл							(x)dx	ограничен.
	a						a
	N
Интеграл	(x)dx		как	функция		N	является возрастающей

функцией и ограничен. Это означает, что существует конечный

					N
предел			lim			f (x)dx , а несобственный интеграл	(x)dx
			N		a		a
					a		a
сходится.
		Вторая часть теоремы доказывается по аналогии.
		Пример				3.11. Исследовать на сходимость	интеграл
		dx		.

1	x2	1	e x
1

Решение: Сравним данный интеграл с известным

сходящимся

интегралом

Так

как

при

x 2

, то

x2 1

e x

Следовательно,

интеграл

является

x 2 1

e x

x 2

сходящимся.

Теорема.

Если

существует

предел

lim

f x

k ,

0 ,

то

интегралы

f (x)dx

(x)dx

одновременно оба сходятся или оба расходятся (без

доказательства).

Пример

3.12.

Исследовать

сходимость интеграла

dx .

Решение: Рассмотрим для сравнения интеграл

lim

N dx

lim

. Поскольку интеграл

1 x

2 x

N 2

сравнения сходится, а

ln(1

)

lim

то сходится и исходный интеграл.

3.10. Несобственные интегралы второго рода

Пусть функция f x определена и непрерывна на промежутке a,b, а в точке b терпит бесконечный разрыв или разрыв II рода (рис. 8).

	y	f x
O	a	b	x
		b
	Рис. 8.
				b
Тогда, если существует конечный предел lim				f x dx ,
			0	a

( >0), то его называют несобственным интегралом второго

рода и обозначают f x dx . Если предел не существует или

бесконечен, то несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью подынтегральной функции на нижнем пределе. Пусть f x

непрерывна на промежутке	a,b ,	а при x a имеет разрыв II
рода, тогда
b		b
f (x)dx	lim	f (x)dx.
a	0 a

Если функция y f x испытывает разрыв второго рода

во внутренней точке	c	отрезка	a, b , то несобственный
интеграл второго рода определяется формулой
b		c		b
f	x dx	f x	dx	f x dx .
a		a		c

Несобственный интеграл слева сходится, если сходятся каждый из несобственных интегралов, расположенных справа.

Если

f x

0 , то несобственный интеграл второго рода

f x

интерпретируется

геометрически

как

площадь

бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Для

несобственных

интегралов

второго

рода

используются признаки сходимости.

Теорема. Если на промежутке

a,b

функции

f x

непрерывны, а при

b испытывают разрыв второго

рода

удовлетворяют

условию

0 f

x ,

то

из

сходимости интеграла

x dx следует сходимость интеграла

f x

dx ,

а из

расходимости интеграла

x dx

следует

расходимость интеграла

x dx (без доказательства).

Теорема. Если на промежутке

a,b

функции

f x

непрерывны, а при

b испытывают разрыв второго

рода,

и, кроме того, существует конечный предел lim

k ,

где 0 < k < , то оба интеграла одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Пример 3.13. Исследовать сходимость интеграла

1	dx
	dx		.

	sin 2
0	sin 2	x
0
		1		dx
	Решение: Рассмотрим интеграл сравнения				. Можно
	Решение: Рассмотрим интеграл сравнения			x 2	. Можно
		0		x 2
		0

показать, что интеграл сравнения расходится:

1 dx

lim

lim 1

0 x

Обе подынтегральные функции испытывают разрыв

второго

рода

при

0 .

Так

как

предел

lim sin

lim

1 ,

то

оба

интеграла ведут себя

x 0

x 0 sin

x 2

одинаково в смысле расходимости, т.е. исследуемый интеграл расходится.

3.11. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Если функция f x непрерывна на a,

или a,b и

имеет на этом промежутке произвольный знак, то несобственный интеграл может сходиться абсолютно или условно. Несобственный интеграл называется абсолютно

сходящимся, если сходится интеграл от функции f (x) . Сама

функция f(x) называется при этом абсолютно интегрируемой на соответствующем промежутке.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 128 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.24 Mб02763.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22764.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22765.pdf
#
15.11.20222.25 Mб02768.pdf
#
15.11.20222.27 Mб02773.pdf
#
15.11.20222.28 Mб22777.pdf
#
15.11.20222.28 Mб02780.pdf
#
15.11.20222.29 Mб02784.pdf
#
15.11.20222.29 Mб12787.pdf
#
15.11.20222.3 Mб02788.pdf
#
15.11.20222.3 Mб32790.pdf