Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2777

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Вычисление

неопределенных

интегралов

R cos x, sin x dx

помощью

универсальной

подстановки

t сводится

вычислению

интегралов

от

дробно–

рациональной функции относительно t.

Действительно,

2sin

cos

2tg

sin x

sin

cos

t 2

cos

sin

t 2

cos x

sin

cos

t 2

2arctgt; dx

2dt

t 2

Поэтому

R cos x,sin x dx 2

t 2

1 t 2

Необходимо отметить, что, поскольку интеграл от

рациональной функции R sin x, cos x

сводится к интегралу от

рациональной функции относительно t , то рациональное тригонометрическое выражение всегда интегрируемо в конечном виде. Часто метод является достаточно громоздким.

							dx
Пример 2.17. Вычислить интеграл								.
						3 sin x cos x
		tg	x		t
Решение:	dx		2

	3 sin x cos x	dx		2dt

			1			t 2

						2dt															2dt

	t 2	1	3			2t				1 t 2						3t 2				3 2t			1 t 2

						t 2		1			t 2 1
						t 2		1			t 2 1
														d t		1							d t	1
2dt							dt
																2								2
																2								2

2t 2 2t		4			t 2		t	2				t	2		t		1 7					t	1 2		7
												t			t		4		4
																							2		4


																		2tg		x	1
2				2t		1				2
2		arctg		2t		1			C	2				arctg						2			C .

7						7							7							7
7						7							7							7

Поскольку метод универсальной замены чаще оказывается громоздким, рассматривается несколько частных случаев, допускающих альтернативные варианты замены переменной, возникающие при наличии особых свойств подынтегральной функции, связанных со свойствами четности и нечетности.

Если функция R sin x, cos x нечѐтна относительно sin x :

R cos x,	sin x R cos x,sin x ,	тогда с	помощью замены
cos x t	подынтегральная	функция	преобразуется в

рациональную функцию относительно переменной t .

Пример 2.18. Вычислить интеграл

sin x cos2 x

dx .

sin2

x 1

Решение:

sin x cos

x dx

cos x

sin2 x

sin xdx

t 2

dt t 2

t 2

2 2

cos x

Если функция

R sin x, cos x

нечѐтна относительно cos x :

cos x,sin x

R cos x,sin x ,

тогда с

помощью

замены

sin x

подынтегральная

функция

преобразуется

рациональную функцию относительно переменной t .

Пример 2.19. Вычислить интеграл

sin2 x cos x

dx .

sin x

Решение:

sin2 x cos x

sin x

t 2 dt

t 2

cos xdx

sin x

t 2

sin2 x

sin x

Если подынтегральная функция не изменяется при

одновременном

изменении

знака у

sin x

cos x ,

т.е.

cos x,

sin x

R cos x,sin x ,

тогда

помощью

замены

tgx

подынтегральная

функция

преобразуется

рациональную функцию относительно переменной t . В этом случае

sin x

tgx

, cos x

1 tg 2 x

1 t 2

1 tg 2 x

1 t 2

x arctgt, dx

t 2

Пример 2.20. Вычислить интеграл

dx .

2 x

sin

sin x cos x

Решение:

tgx t

t 2

sin2

t 2

x sin x cos x

1 t

t 2 1

																										d			t	1														t	1			1
		dt										dt																							1				2
																														2											ln				2			2			C
																														2															2			2
	t 2		t						t	2		t		1 1												t		1 2					1	2 1										t	1			1
	t 2		t							2				1 1														1 2					1	2 1											1			1
														4				4
																																													2			2
																												2					4
																												2					4
				ln					t			C					ln					tgx									C.
									t													tgx

							t			1										tgx			1
			Пример 2.21. Вычислить интеграл																																									dx						.

																																								sin2 x cos4
																																								sin2 x cos4								x
			Решение:
																				x				arctgt																		dt

										dx																															t 2		1
										dx																	dt														t 2		1
				sin				2	x cos				4		x				dx								dt									t		2							1			2

																										t 2				1


																																		t 2						1				t 2	1
																																		t 2						1				t 2	1
						1				t 2		2	dt								1		2							t 2			dt				1				2t				t 3			C
									t 2				dt								t 2		2							t 2			dt				t				2t				3			C
									t 2												t 2																t								3
					1					2tgx						tg 3 x							C.
					tgx					2tgx							3						C.
					tgx												3
			Интегралы вида																			sin2n x cos2m x dx ,																			sin2n x sin2m x dx ,
cos2n x cos2m x dx																							вычисляются																				с						помощью
тригонометрических формул понижения степени
											cos2 x						1					cos2x								, sin2 x				1							cos2x						.
											cos2 x																			, sin2 x																	.
																							2																	2
			Пример 2.22. Вычислить интеграл																																					sin4 xdx.
			Решение:
sin4 xdx										1			cos2x								2							1															cos2 2x dx
																						dx										1 2 cos2x
														2								dx						4				1 2 cos2x
														2														4
1			1 2 cos2x											1			cos4x								dx					1			3		2 cos2x											cos4x					dx
			1 2 cos2x																						dx										2 cos2x																dx
4																	2													4			2												2

3	dx	1	cos2xdx	1	cos4xdx	3x	sin 2x	1		sin 4x C.
8		2		8		8	4		32

	Интегралы вида			sin ax cosbx dx ,			sin ax sinbx dx ,

cosax cosbx dx вычисляются с помощью тригонометрических

формул умножения:

sin

cos

sin

cos

sin

cos

Пример 2.23. Вычислить интеграл sin10x cos3xdx.

Решение:

sin10x cos3xdx

sin 13x

sin 7x dx

cos13x

cos7x C.

2.10. Интегрирование иррациональных функций

Интегрирование иррациональных выражений сопряжено с целым рядом сложностей и в некоторых простейших случаях возможно в элементарных функциях.


Вычисление		интегралов	вида		R x, m x, n x,... dx
производится	с	помощью замены	x	tW ,	где W является
наименьшим	общим кратным чисел			m, n,... . Данная замена

позволяет перейти к интегрированию дробно-рациональной функции:

dx WtW 1dt ,

R x, m x, n x,... dx = R tW , t m , t n ,... WtW 1dt .

Пример 2.24. Вычислить интеграл

Решение:

x t

t 3

t 2

3 x

dx 6t 5 dt

t 1

6 t 2 t 1 dt

t 3

t 2

t ln

t 1

2t 3

3t 2

6t 6ln

t 1

C 2 x 33 x 6 6 x 6ln

6 x 1

C .

Вычисление интегралов

x; m

; n

;... dx

осуществляется с помощью дробно-линейной

подстановки

tW ,

где

является

наименьшим

общим

кратным

чисел m, n,... .

Тогда

cxtW

dtW

, x

tW d

t ,

ct W

WtW 1d a

ct W

tW d

b cWt W 1

t dt

dt.

ct W

Поскольку t является рациональной функцией, то и t является рациональной функцией. В результате

получается интеграл от рационального выражения:

tW d

R x; m

; n

;... dx

, t m , t m ,...

t dt.

a ct W

Пример 2.25. Вычислить интеграл

2 2

2 dx.

Решение: Поскольку

t 3 , x 2 xt3

2t 3 , x

2t 3

t 3

6t 2 t 3 1 2t 3

2 3t

12t

2 dt

, то

t 3 1 2

t 3

1 2

		1								x	2									2t 3		1								2 t		12t 2 dt
	x 2 2									x 2 dx										2t 3				2						2 t		t 3				1 2
								3																			2

																					t 3	1
																					t 3	1
																															4
		12					t	3	dt		3				4	C						3					x		1		4	C.
		16					t		dt			16t				C					16				3		x		1			C.
																									3

					Пример 2.26. Вычислить интеграл																											2					x	dx		.
					Пример 2.26. Вычислить интеграл																																			.
																																2					x		x
					Решение: Поскольку
2 x						t 2 , 2 x 2t 2											t 2 x, x									2 2t 2					, dx						2 2t 2					dt
2			x			t 2 , 2 x 2t 2											t 2 x, x								1				t 2		, dx					1			t 2			dt
2			x																						1				t 2							1			t 2
			4t 1 t 2								2 2t 2 2t							dt								8t				dt,		то
									1		t 2 2							dt				1				t 2		2		dt,		то
									1		t 2 2											1				t 2		2
		2				x dx					8		t		1	t 2						tdt							4					t 2 dt							.

		2 x x													2 2t				2		1		t	2	2							1 t 2					1 t 2
		2 x x													2 2t				2					2	2							1 t 2					1 t 2

					Используем разложение рациональной дроби
																	t 2										1		1				1			1			.
															1 t 2 1 t 2												2 1 t 2						2		1 t 2				.
					В итоге имеем:
				1				dt				1			dt								t		1
4				1				dt				1			dt						ln		t		1				2arctgt C
4		2				1			t 2		2			1 t 2							ln		t		1				2arctgt C
		2				1			t 2		2			1 t 2									t		1

2arctg

C .

Интегралы

вида

R x,

ax2

bx c dx

помощью

предварительного выделения полного квадрата

4ac b2

ax2

bx c a x

D (D

)

и замены переменной

z; dz

dx сводятся к одному из трех интегралов

R x;

x2 dx ,

R x;

x2 dx ,

R x; x2

2 dx .

Указанные интегралы вычисляются с помощью

тригонометрических подстановок.

Интеграл

R x;

рационализируется с

помощью

подстановки

sint ,

costdt .

Используя

z 2

2 1

sin2 t

cost , получим

R x;

sint,

cost costdt .

Пример 2.27. Вычислить интеграл

9 x2

dx.

Решение:

3sin t

9sin

3costdt

cos t

3costdt

3sin t

sin t

arcsin

sin t

3ln

3cost

3ln

sin t

arcsin

3ln

3cosarcsin

sin2 arcsin

arcsin

3ln

Интеграл

R x;

2 x2

рационализируется с

помощью

подстановки

tgt ,

Используя

cos2 t

z 2

2 1

tg 2t

, получим

cos2 t

R x;

tgt,

cos2 t

Пример 2.28. Вычислить интеграл

9 x 2

Решение:

3tgt

3dt

cos2 t

costdt

sin t

3dt

cos

cost

tgt

Интеграл

R x;

2 dx

рационализируется с

sin t dt

помощью

подстановки

Используя

cost

cos2 t

sin t

, получим

cos2 t

cost

sin t

sin t dt

R x; x2

cost

cos2 t

Пример 2.29. Вычислить интеграл

Решение:

3tgt 3sin t dt

cost

3sin t

cos2 t

cos

cost

sin2 t

cos2 t

costdt

cost

2 4

arccos

sint

1 cos

C ln

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение первообразной.

2.Каков геометрический смысл неопределенного интеграла?

3.Перечислите свойства неопределенного интеграла.

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 125 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.24 Mб02763.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22764.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22765.pdf
#
15.11.20222.25 Mб02768.pdf
#
15.11.20222.27 Mб02773.pdf
#
15.11.20222.28 Mб22777.pdf
#
15.11.20222.28 Mб02780.pdf
#
15.11.20222.29 Mб02784.pdf
#
15.11.20222.29 Mб12787.pdf
#
15.11.20222.3 Mб02788.pdf
#
15.11.20222.3 Mб32790.pdf