2777

Пример.4.11. Найти работу по выкачиванию бассейна с водой, если последний представляет собой куб с ребром a .

Решение:

Используем метод дифференциалов. Введем систему координат как указано на рисунке 19.

O

a y

x dx

a x

101

Вопросы для самопроверки

1.Опишите метод интегральных сумм и метод дифференциала.

2.Напишите формулу для вычисления площади плоской фигуры в декартовых координатах.

3.Получите формулу площади плоской фигуры, ограниченной линией, заданной параметрическим образом.

4.Площади фигур какого типа вычисляются в полярных координатах?

5.Используя метод интегральных сумм, выведите формулу длины дуги в декартовых координатах.

6.Как выводится формула длины дуги в полярных координатах на основе формулы длины дуги параметрически задаваемой кривой?

7.Как находится объем тела по известной зависимости площади поперечного сечения?

8.Выведите формулу объема тела вращения.

9.Используя метод дифференциалов, получите формулу площади поверхности вращения.

10.Как вычисляется работа по перемещению тела переменной силой?

Задачи для самостоятельного решения

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

102

103

104

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Данное пособие содержит теоретические сведения о комплексных числах, а также достаточное количество примеров на эту тему. Далее излагается теория неопределенного интеграла, подробно проиллюстрированая примерами. Теория определенного интеграла и его приложений также содержит большое число примеров.

Рассмотренный раздел высшей матаматики является базовым и входит в обязательный перечень тем, необходимый как для дальнейшего изучения высшей матетматики, так и для успешного освоения специальных дисциплин по специальности «Автоматизированное оборудование».

105

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ CПИСОК

1.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1981.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. Т.1. М.: Наука, 1985.

3.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов.Т.2. М.: Наука, 1985.

4.Толстов Г.П. Элементы математического анализа. Т.1.

М.: Наука, 1974.

5.Толстов Г.П. Элементы математического анализа. Т.2.

М.: Наука, 1974.

6.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1975.

8.Каплан И.А. Практические занятия по высшей

математике. Харьков: ХГУ, 1973.

9. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Ч.1. Учеб. пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1996.

106

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………3

1.Комплексные числа……………………………………......4

1.1.Основные понятия……………………………………4

1.2.Три формы записи комплексных чисел……………..5

1.3.Действия над камплексными числами………….…...8

2.Неопределенный интеграл…….……………………….....17

2.1.Первообразная. Неопределенный интеграл……….17

2.2.Основные свойства неопределенного интеграла….20

2.3.Таблица неопределенных интегралов……….…..…22

2.4.Замена переменной в неопределенном интеграле…25

2.5.Правило интегрирования по частям……..………....27

2.6.Интегрирование рациональных функций. Понятие

орациональных функциях……………………….…30

2.7.Дробно – рациональные функции. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование…………33

2.8.Разложение дробно – рациональной функции на сумму простейших дробей…………………………...37

2.9.Интегрирование тригонометрических выражений..40

2.10.Интегрирование иррациональных функций…….…45

3.Определенный интеграл………………..………………….55

3.1Определенный интеграл как предел интегралной суммы………………………………………………………55

3.2.Геометрический смысл определенного интеграла…56

3.3.Работа переменной силы…………………………….58

3.4.Свойства определенного интеграла…………………59

3.5Определенный интеграл с переменным верхним пределом…………………………………….65

3.6.Формула Ньютона – Лейбница……………………...67

3.7.Интегрирование по частям в определенном интеграле………………………………………………69

3.8.Замена переменной в определенном интеграле...….70

3.9.Несобственные интегралы. Несобственные интегралы первого рода…………….…………………73

3.10.Несобственные интегралы второго рода…………...78

107

3.11 Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов……………………………80

4.Приложения определенного интеграла……………....…...85

4.1.Схемы применения определенного интеграла…..….85

4.2.Площадь фигуры в декартовых координатах…….....86

4.3Площадь криволинейного сектора в полярных координатах…………………………………….89

4.4.Вычисление длины дуги….………………………….92

4.5.Вычисление объема тела………..……………………96

4.6.Вычисление площади поверхности вращения……..98

4.7. Работа переменной силы……………….……………97

Заключение…………………………………………………..105

Библиографический список………………………….…...…106

108