2777

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

e x sin x cos x

Перенося J в левую часть уравнения, имеем

Окончательно: e x sin xdx

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

постоянной, то равенство производных от неопределенных интегралов означает равенство и самих неопределенных интегралов.

5. Неопределѐнный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен сумме неопределѐнных интегралов от слагаемых функций:

	f x g x dx					f x dx g x dx .
Пусть F	x	f	x	и G	x	g x . Тогда
		f	x	g x	dx	f x	g x и
f x dx	g x dx			f x dx			g x dx	f x g x .
Как было		отмечено при				доказательстве		предыдущего

свойства, равенство производных от неопределенных интегралов означает и равенство самих неопределенных интегралов.

6. Если

f x dx F x

C , то и

f u du

F u

C , где

произвольная

функция,

имеющая

непрерывную

производную

(Свойство

инвариантности

формулы

интегрирования).

Пусть

независимая

переменная, f

непрерывная

функция,

F x

первообразная

непрерывной

функции

f x ,

непрерывно-дифференцируемая

функция.

Для

сложной

функции

F u

силу

инвариантности

формы первого дифференциала имеем

dF u

u du

f u du .

Тогда

f u du

d F u

F u

C .

Формула для неопределенного интеграла не меняется в зависимости от того, что используется в качестве переменной интегрирования, независимая переменная или любая ее непрерывно-дифференцируемая функция.

Так, из формулы x5dx	x6
		C , поменяв x	на tgx ,
	6

получим

tgx 5 d tgx	tgx 6	C , или,
	6

поменяв x на ln x , получим

ln x 5 d ln x	ln x 6	C .
	6

2.3. Таблица неопределѐнных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть операция обратная дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов с помощью обращения формул для производной конкретных функций и использовния свойства неопределенного интеграла:

xa dx

xa 1

1 ;

;

xdx

c ;

x 2

c x

0 ;

a x

a x dx

0; a 1 ;

ln a

e x dx e x

c ;

sin xdx

cos x

c ;

cos xdx

sin x

c ;

9.		dx		tgx c ;

	cos2		x
	cos2		x
10.		dx		ctgx c ;

		sin2	x
		sin2	x

11.

arcsin x

c ;

12.

arcsin

c ;

13.

arctgx c ;

14.

arctg

c ;

a 2

15.

c ;

16.

c ;

17.

shxdx

chx

c ;

18.

chxdx

shx

c ;

19.

tgx

c ;

ch 2 x

20.

ctgx

c ;

sh2 x

21.

tgxdx

cos x

c ;

c .

22.

ctgxdx

sin x

Все эти формулы проверяются дифференцированием правой части. Например, проверим формулу 12:

arcsin

x 2 a

a 2

x 2

Проверим формулу 15:

a 2

a 2 x

a 2

Проверим формулу 16:

a x

2a a x a x

a x

a 2

x 2

a 2

x 2

Следует отметить, что в таблице основных интегралов вместо переменной интегрирования x может быть использована непрерывно-дифференцируемая функция переменной x .

В простых случаях неопределенный интеграл с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции и использования свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, что называется

непосредственным интегрированием.

Пример	2.1. Найти неопределенный интеграл

x7 2x 4 x x	9	dx .
x 2

Решение:

x7 2x 4 x x 9

2x 2

9x 2 dx x5 dx

x 2

2x3

x 1

x 2

2 x2 dx x 2 dx 9 x 2 dx

c .

2.4 Замена переменной в неопределенном интеграле

Одним из основных методов интегрирование является

метод замены переменной.

Теорема. Пусть функция t

непрерывна

дифференцируема,

функция

g t

непрерывна

и имеет

первообразную G t

т.е. G

g t

или

g t dt

G t

C ,

тогда

g x x dx G x C .

Доказательство:

Возьмем производную от правой части равенства по x , воспользовавшись правилом дифференцирования сложной функции:

G x C Gx gx .

Поскольку производная оказалась равна подынтегральной функции, т.е. производные правой и левой части равенства совпали, то в исходном равенстве левая и правая части могут отличаться только на постоянную величину, что и требовалось доказать.

Пример 2.2. Найти	esin x cos xdx.
Решение: Пусть t	sin x , тогда dt cos xdx. Тогда
esin x cos xdx et dt et	C esin x C .

Как отмечалось выше, вид неопределѐнного интеграла не зависит от выбора аргумента интегрирования, что используется при интегрировании способом введения новой функции под знак дифференциала. В данном варианте метода новая переменная интегрирования не обозначается новым символом, а берется в скобки для наглядности.

Пример 2.3. Найти

ln x

dx .

Решение:

ln x

ln x d ln x

ln x 2

C .

Пример 2.4. Найти

sin x cos xdx.

Решение:

sin x

3 / 2

sin x cos xdx

sin x 2 d sin x

C .

Часто замена переменной выполняется в виде x

t .

Тогда dx t dt и

f x dx

t dt .

Доказательство формулы производиться по аналогии с предыдущим посредством взятия производной от обеих частей:

f x dx			f x dx	x	x t	f x	t	f	t	t
	t			x
и
f	t	t dt	f	t		t .

Поскольку производные двух функций тождественно равны, то сами функции отличаются на постоянное слагаемое

C .

Пример 2.5. Вычислить интеграл

x 2

dx.

3)2

Решение:

Положим

t ,

тогда

Отсюда

dt .

6 ln

3 2

t 2

Возвращаясь к переменной x , окончательно получаем

dx x 1 6 ln

x 1

x 3 2

x 1

Пример 2.6. Вычислить интеграл

e x

Решение:

Обозначим

e x

t ,

Тогда

lnt,

Следовательно,

d t

e x

t t

t 2

2t 1 1

t 1 2

t 1

e x

C .

e x

t 1 1

2.5. Правило интегрирования по частям

Пусть функции u

u x

и v

v x

имеют непрерывные

производные. Тогда d uv

vdu

udv .

Интегрируя обе части равенства по x , имеем:

d uv

vdu

udv , uv

vdu

udv или

udv

vdu .

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла udv к

вычислению интегралов vdu и dv , которое может оказаться

проще исходного.

Интегрирование по частям требует представление подынтегрального выражения в виде произведения множителей u и dv . Существуют три типа интегралов, в которых по разным соображениям происходит выбор множителей u и dv в подынтегральных выражениях.

В интегралах			первого		типа	P x ekx dx ,		P x sin kxdx ,
P x coskxdx, где			P x	многочлен, k			число,	в качестве		u
выбирается многочлен				P x ,	а в качестве dv			все остальные
сомножители.
Пример		2.7.	Вычислить			неопределенный			интеграл
xex dx , используя метод интегрирования по частям.
Решение:
xex dx		u	x	du	dx	xex	e x dx	xex	e x	C.
xex dx	dv e x dx v e x					xex	e x dx	xex	e x	C.
	dv e x dx v e x
Пример		2.8.	Вычислить			неопределенный			интеграл
x cos xdx.
Решение:
x cos xdx	u	x	du dx		x sin x		sin xdx x sin x		cos x	C.
x cos xdx					x sin x		sin xdx x sin x		cos x	C.
dv		cos xdx v		sin x

В некоторых интегралах приходится несколько раз интегрировать по частям.

Пример 2.9. Вычислить неопределенный интеграл

x2e x dx .

Решение:

x 2 e x dx

x 2 ,

2xdx

x 2 e x

2xex dx.

e x dx,

e x

Применим ко второму интегралу еще раз формулу

интегрирования по частям

x2e x

2xex dx

2x,

2dx

x2e x

2xex

e x dx,

e x

2 e x dx x2e x

2xex

2e x

интегралах

второго

типа

P x arcsin xdx,

P x arccos xdx , P x ln xdx ,

P x arctgxdx,

P x arcctgxdx

удобно

положить

dv P x ,

качестве

выбрать

оставшиеся сомножители.

Пример

2.10.

Вычислить

неопределенный

интеграл

x4 ln xdx.

Решение:

ln x, du

x 4 ln xdx

ln x

x 4 dx, v

C .

ln x

В интегралах третьего вида

eax sinbxdx,

eax cosbxdx в

качестве

выбирается

eax .

После

двукратного

интегрирования по частям решается уравнение относительно исходного интеграла.

Пример 2.11.			Вычислить		неопределенный		интеграл
e x sin xdx .
Решение:
e x sin xdx	u e x ,		du	e x dx		e x cos x
	dv	sin xdx, v		cos x

e x cos xdx	u	e x ,		du	e x dx	e x cos x	e x sin x
	dv		cos xdx, v		sin x

e x sin xdx.

Получили нетривиальный результат-уравнение относительно исходного интеграла. Обозначив его за J , получим уравнение

2.6. Интегрирование рациональных функций. Понятие о рациональных функциях.

Многочленом степени n (или					целой рациональной
функцией) называется функция вида
P x a	a x	a	2	x2	... a	n	xn	,
n	0 1		2			n

где n натуральное число, называемое степенью многочлена, ai постоянные коэффициенты, i 0,1,..., n.

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.24 Mб02763.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22764.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22765.pdf
#
15.11.20222.25 Mб02768.pdf
#
15.11.20222.27 Mб02773.pdf
#
15.11.20222.28 Mб22777.pdf
#
15.11.20222.28 Mб02780.pdf
#
15.11.20222.29 Mб02784.pdf
#
15.11.20222.29 Mб12787.pdf
#
15.11.20222.3 Mб02788.pdf
#
15.11.20222.3 Mб32790.pdf