2780

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

И.Н. Пантелеев

СПЕЦГЛАВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ: МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2015

УДК 681.3.06(075)

Пантелеев И.Н. Спецглавы высшей математики: методы

техносфере», «Защита окружающей среды», дисциплине высшая математика.

Табл.48 Ил. 38. Библиогр.:11 назв.

Рецензенты: кафедра физики Воронежского государственного университета инженерных технологий (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, доцент А.В. Буданов); профессор Г.Е. Шунин

©Пантелеев И.Н., 2015

©Оформление. ФГБОУ ВПО

«Воронежский государственный технический университет», 2015

заметный вклад в ускорение научно-технического прогресса. Успешному применению методов оптимизации способствует современная вычислительная техника. Трудно назвать такую область инженерной деятельности, где бы ни возникали задачи оптимизационного характера: определение наиболее эффективного режима работы различных технических систем, организация производства, дающего наибольшую возможную прибыль при заданных ограниченных ресурсах, и др.

Оптимизация - это выбор наилучшего решения из всех

эффективности.

Выбор оптимальных параметров осуществляется с помощью некоторой функции, связывающей эти параметры и

для технической системы путем вариации независимых параметров найти их оптимальные значения, выбрав в качестве критерия эффективности некоторую функцию, которая достигает минимума (максимума) в оптимальной точке и называется целевой функцией.

Методы оптимизации находят широкое применение во

ности труда с учетом различных факторов, издержек производства при росте объема производства и ., прзадачи планировния производства (в основном, методы линейного

получения за период эксплуатации наибольшей прибыли, распределения различных видов ресурсов по производствам.

Задачи календарного планирования решаются методами теории расписаний, дающими оптимальное(дискретное и динамическое программирование) или приближенное решение (эвристические методы).

Проблемы оптимальной регламентации производства продукции различного вида, заготовок, степени их готовности определяют затраты на производство и хранение. Разработкой методов решения этих задач занимаетсятеория управления

запасами.

Методы дискретного программирования применяют для таких задач, как управление перевозками (транспортная) и другие распределительные задачи(о назначении, загрузке), для оптимизации обработки деталей на станках, оптимизации маршрутов следования транспорта(задача коммивояжера) и многих др.

В данном пособии наряду с теоретическими вопросами, которые касаются основных понятий и положений теории оптимизации, большое внимание уделено также вопросам практического применения оптимизационных процедур.

4

I.Основы линейного программирования

1.Постановка задачи линейного программирования

1.1. Общая задача линейного программирования формулируется следующим образом.

Найти набор (наборы) действительных чисел X = (х1,х2, ... ,хn), доставляющий экстремум (максимум или минимум) линейной целевой функции

Условия (1.5) означают неотрицательность k компонент вектора X. Запись X > 0 означает неотрицательность всех компонент X, т.е. x1>0, x2 > 0, ..., хn > 0 или хj > 0 (j = 1,2, ... ,n).

Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется любой n-мерный вектор X = (х1 ,х2 , ... , хn), удовлетворяющий системе ограничений (1.2)-(1.4) и условиям неотрицательности. Множество всех допустимых решений задачи образуют область допустимых решений (сокращенно ОДР).

Решение (план) называется оптимальным, если оно допустимое и доставляет экстремум целевой функции (1.1).

1.2. Задача линейного программирования называется канонической, если ограничения задачи состоят из системы уравнений и условий неотрицательности всех n переменных. Каноническая задача записывается в виде

L(X) =c1x1 + c2x2 + ...+ сnхn →max (min),

Условие j = 1, 2, ... , n будем записывать иногда так: j =1, n

1.3. Задача линейного программирования называется симметрической, если она имеет вид

∑n ai j xj ≤ bi ,i =1, 2,..., r, X ≥ 0

j=1

1.4.Общая задача линейного программирования может быть приведена к каноническому виду при помощи следующих утверждений.

U.1. Неравенство а1х1 + ... + аnхn < b равносильно равенству

а1х1 + ... + аnхn + xn+1 = b

и простейшему неравенству хn+1 > 0.

6

U.2. Неравенство а1х1 + ... + аnхn > b равносильно равенству

а1х1 + ... + аnхn - xn+1 = b

и простейшему неравенству хn+1 > 0.

Переменные, вносимые в задачу при помощи этих утверждений, называются дополнительными, или вспомогательными. Они вносятся также и в целевую функцию с коэффициентами, равными нулю.

U.3. Каждую переменную, на которую не наложено условие неотрицательности, можно представить в виде разности двух неотрицательных переменных:

xj R xj = x′j − x′′j , x′j ≥ 0, x′′j ≥ 0.

1.5. Каноническую задачу (1.6) можно привести к симметрическому виду (1.7) или (1.8), и это имеет смысл только если в (1.7) или в (1.8) число ограничений меньше m. Приведение можно осуществить при помощи следующего приема. Систему уравнений, составляющую систему ограничений канонической задачи, необходимо разрешить относительно некоторого полного набора базисных

разрешенной относительно базисных неизвестных x1,х2,...,хr. Выразим теперь целевую функцию L(Х) через свободные неизвестные при помощи (1.9). Используя неотрицательность

базисных неизвестных, можно наложить условия их неотрицательности на правые части (1.9), опуская при этом

х1, х2,...,хr.

При необходимости можно использовать следующие равносильные соотношения:

L(X ) → max −L(X ) → min,

L(X ) → min −L(X ) → max.

1.6. Задачи, сформулированные выше, на самом деле представляют собой линейные математические модели общих задач оптимизации, которые заключаются в нахождении в заданной области точек наибольшего и наименьшего значения некоторой линейной функции, зависящей от большого числа переменных. Такие задачи возникают в самых разнообразных областях человеческой деятельности, главным образом в практике планирования и организации производства. Ниже будут рассмотрены некоторые задачи с экономическим содержанием, математические модели которых описываются линейными функциями в выпуклых областях, ограниченных линейными границами.

Пример1.1. Следующую задачу линейного программирования привести к каноническому виду:

L(X ) = 3x1 −2x2 − x3 → extr,

x1 +2x2 = 3,3x1 − x2 + x3 ≤ 5,x1 +3x3 ≥ −2,

x1 ≥ 0, x3 ≥ 0.

8

Решение. В системе ограничений имеем одно уравнение (равенство), которое сохраним. Второе ограничение — неравенство. Его заменим согласно U.1 равенством

3x1- x2 + x3 + x4 = 5

и простейшим неравенством х4 > 0. Третье ограничение (неравенство) заменим согласно U.2 системой

x1 +3x3 − x5 = −2,x5 ≥ 0.

На переменную x2 не накладывается условие неотрицательности. Заменим ее согласно U.З разностью

x2 = x2′ − x2′′, x2′ ≥ 0, x2′′ ≥ 0.

Каноническая задача содержит шесть переменных и имеет вид (напомним, см. U.1 и U.2, что дополнительные переменные х4 и х5 входят в L(x) с нулевыми коэффициентами):

L(X ) = 3x1 −2x2′ +2x2′′− x3 → extr,

x1 +2x2′ −2x2′′ = 3,

3x1 − x2′ + x2′′+ x3 + x4 = 5,x1 +3x3 − x5 = −2,

x1 ≥ 0, x2′ ≥ 0, x2′′ ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0

Пример 1.2. Следующую каноническую задачу линейного программирования привести к симметрическому виду:

9

L(X ) = −2x1 + x2 −3x3 +4x4 − x5 +2x6 → max,

−x1 +2x2 + x3 − x4 +2x5 +3x6 = 3,x1 +2x2 − x3 +2x4 − x6 =11,

2x1 −3x2 +2x3 −2x4 + x5 = 9, xj ≥ 0, j =1,6.

Решение. Методом Жордана-Гаусса (с которым читатель должен быть знаком из курса линейной алгебры) приведем систему ограничений исходной задачи к равносильной системе, разрешенной относительно трех каких-либо неизвестных. Для этого воспользуемся таблицей Гаусса (табл. 1.1), в которую вносим и целевую функцию в виде уравнения

- 2x1 + x2 - 3x3 + 4x4 - x5 + 2x6 = L

При этом следует иметь в виду, что разрешающий элемент брать из последней строки нельзя; это дополнительная строка целевой функции, которую впоследствии назовем индексной строкой и выделим в рамку:

Таблица 1.1

Заметим, что последняя строка соответствует уравнению

16х2 - 9х3 + 15х4 = L(Х) + 49.

Из последнего блока таблицы можем записать задачу в следующей форме:

L(X ) =16x2 −9x3 +15x4 −49 → max,

xj ≥ 0, j =1,6.

Учитывая неотрицательность переменных х1, х5 и х6, отбросим их, накладывая условия неотрицательности на правые части соответствующих равенств. Получим систему неравенств, которую следует согласовать с условием задачи: неравенства должны иметь направление <, поскольку задача ставится на максимум. Тем самым приходим к эквивалентной задаче, записанной в каноническом виде:

11

Комментарий к таблице Гаусса (основные положения решения линейных систем методом Жордана-Гаусса).

1) В первом блоке таблицы записаны коэффициенты исходной системы уравнений и целевой функции (в последней строке, выделенной в рамке). Выбирается разрешающий коэффициент (он должен быть отличен от нуля), обводится кружком. Столбец и строка, содержащие этот коэффициент, называются разрешающими. Цель преобразования ЖорданаГаусса — превратить разрешающий столбец в единичный (с единицей вместо разрешающего коэффициента и нулями вместо остальных).

2) Второй блок таблицы получен следующим образом:

а) разрешающая строка, умноженная на —2, прибавляется к первой (получили первый нуль в разрешающем столбце);

б) вторая строка переписывается (она уже содержит нуль в разрешающем столбце);

в) разрешающая строка сохраняется (разрешающий коэффициент равен единице);

г) разрешающая строка, умноженная на 1, прибавляется к четвертой (индексной, или целевой функции).

Получен первый единичный столбец (столбец переменной х5; этот столбец называется базисным). Выбираем новый разрешающий коэффициент и обводим его кружком.

3) Третий блок таблицы получен следующим образом:

а) разрешающая строка, умноженная на 5, прибавляется к первой;

б) вторая (разрешающая) строка сохраняется; в) разрешающая строка, умноженная на —2,

прибавляется к третьей; г) четвертая строка сохраняется (в разрешающем столбце

имеем нуль).

Получен второй единичный столбец (столбец второй базисной переменной х1). Выбираем новый (третий) разрешающий коэффициент -2 и обводим его кружком.

4) Четвертый блок получен аналогично. Разница в том, что разрешающая строка делится на —2, ибо в разрешающем столбце надо получить на месте разрешающего коэффициента единицу. Пересчет остальных коэффициентов блока лучше выполнять по формулам Жордана-Гаусса, которые приведены в п. 4.1. Преобразования можно выполнять также по схеме, изложенной выше, но такие преобразования несколько сложнее из-за того, что разрешающий коэффициент отличен от единицы.

Вопросы для самопроверки

1.1.Может ли система ограничений общей задачи ЛП включать строгие неравенства?

1.2.Может ли целевая функция задачи ЛП содержать нелинейные выражения из переменных?

1.3.Может ли допустимое решение задачи ЛП содержать отрицательную компоненту?

1.4.Чем отличается оптимальное решение задачи ЛП от допустимого?

1.5.Чем отличается канонический вид задачи ЛП от общего?

1.6.Какая задача ЛП называется симметрической?

13

1.7.Каждая ли симметрическая задача может быть приведена к каноническому виду? Если да, то как это делается?

1.8.В чем состоит преобразование Жордана-Гаусса?

1.9.Может ли единичный столбец состоять из одних

нулей?

1.10.Может ли каноническая задача быть приведена к общему виду?

2. Построение математических моделей простейших

экономических задач

2.1.Для составления модели задачи линейного программирования, заданной в текстовой форме, необходимо:

1) ввести обозначения для неизвестных задачи;

2) проанализировать и зафиксировать ограничения для них (например, неотрицательность);

3) составить систему ограничений задачи;

4) составить целевую функцию и установить вид экстремума.

2.2.Как правило, в задачах с экономическим содержанием математическая модель имеет симметрический вид (см. (1.7) и (1.8)); некоторые ограничения (неравенства) могут иметь противоположные направления или быть равенствами.

Составить математические модели следующих задач с экономическим содержанием.

Пример 2.1. Для трех видов продукции П1, П2 и П3 используется три вида сырья С1, С2 и С3. Предприятие может израсходовать 32 т сырья С1, не менее 40 т сырья С2 и не более 50 т сырья С3. Нормы расхода сырья на единицу продукции того или иного вида приведены в табл. 2.1. Здесь же указаны трудовые и энергетические затраты на производство единицы

продукции П1, П2 и П3.

Определить количества продукции видов П1, П2 и П3,

14

которые следует производить при минимальных затратах энергетических и трудовых ресурсов.

Решение. Для построения математической модели этой задачи обозначим через х1, х2, х3 количества продукции видов П1, П2 и П3 соответственно, которые предполагается производить. Тогда целевую функцию и ограничения задачи можно записать в виде

L(X ) = 4x1 +5x2 +6x3 → min,

2x1 +3x2 = 32,

4x1 + x2 +2x3 ≥ 40,3x1 + x2 +3x3 ≤ 50,

xj ≥ 0, j =1,3

Как видим, математическая модель задачи сводится к минимизации некоторой линейной функции при ограничениях, записанных в виде равенств и неравенств. Решение задачи будет приведено в п.5.

Пример 2.2 (задача о наилучшем использования ресурсов или о максимальном доходе производственного предприятия). При производстве n видов продукции Р1, Р2,..., Рn используется m видов сырья: S1, S2,…,Sm. Запасы каждого вида сырья составляют b1, b2,...,bn единиц соответственно. Известно количество ai j единиц сырья с номером i (i = 1,2,...,m),

15

необходимого для изготовления единицы продукции вида j (j = 1,2,...,n). Кроме того, известна прибыль, получаемая от реализации единицы продукции каждого вида: с1, с2, ...,cn.

Требуется составить план выпуска n видов продукции Р1, Р2,…,Рn, при котором прибыль от реализации всей продукции была бы максимальной.

Решение. Для построения математической модели сформулированной задачи обозначим через х1, х2,...,хn количества единиц n видов Р1, P2,…,Pn продукции, которую необходимо производить.

Условия x1 > 0, х2 > 0, ..., хn > 0 (кратко X = (х1,х2,...,хn) > 0)

означают, что количество производимой продукции не может быть отрицательным числом. Условия задачи для удобства их анализа поместим в табл. 2.2.

Таблица 2.2

Ограниченность запасов каждого вида сырья влечет ограниченность различных видов производимой продукции:

S1 : a11 x1 + a1 2 x2 + … + a1n xn < b1 ,

S2 : a21 x1 + a2 2 x2 + … + a2n xn < b2 ,

…………………………………

Sm : am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn < bm .

При плане выпуска в хj единиц продукции вида cj прибыль предприятия равна c j x j .

16

Общая прибыль, получаемая от реализации всей продукции, может быть представлена линейной целевой функцией, или функцией цели

L ( X ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n

Таким образом, надлежит найти набор неотрицательных чисел X = (х1, х2,…,хn), удовлетворяющий системе ограничений, построенной выше, и такой, что он доставляет максимальное значение целевой функции L(Х): L(Х) → max.

Пример 2.3 (задача о рационе питания). Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен употребить в пищу в течение суток (недели, месяца, года и т.д.) определенное количество белков, жиров, углеводов, витаминов, микроэлементов и др.

Пусть имеется n различных продуктов Р1, Р2,...,Рn и перечень из m необходимых питательных веществ S1, S2,…, Sm. Обозначим через a i j (в единицах массы) количество питательного вещества Si (i = 1,2,...,m), содержащегося в единице продукта Рj, (j = 1,2,...,n).

Требуется организовать питание так, чтобы удовлетворялась норма потребности в питательных веществах и чтобы стоимость использованных продуктов была минимальной.

Решение. Для наглядности задачи ее данные поместим в табл. 2.3. Исходя из обозначений, введенных в таблице, математическую модель этой задачи можно представить в

Предположим, что для реализации n групп товаров торговое предприятие располагает m видами ограниченных материально-денежных ресурсов в количествах b1, b2,...,bm единиц соответственно. При этом для продажи первой группы товаров на единицу товарооборота (например, на 10000 руб.) расходуется ресурсов первого, второго, ..., m-го вида в количествах a11 , a21 ,…, am1 единиц соответственно, для продажи второй группы товаров на единицу товарооборота расходуется ресурсов первого, второго, ..., m-го вида в количествах соответственно a1 2 , a22 ,…, am2 единиц, и так далее; для продажи n-й группы товаров на единицу товарооборота расходуется ресурсов a1 n , a2n ,…, amn единиц. Известно, что прибыли от реализации соответствующих групп товаров составляют с1, с2, ..., cn рублей.

Требуется определить плановый объем и структуру товарооборота, при котором прибыль торгового предприятия от реализации всего товара была бы максимальной.

18

Решение. Математическая модель этой задачи строится по аналогии с предыдущими. Пусть X = (x1, x2,…, хn) — план товарооборота предприятия (предполагается реализовать х1 единиц товара первой группы, х2 единиц товара второй группы, ..., хn единиц товара n-й группы. Тогда необходимо максимизировать прибыль от реализации всех этих товаров:

L(X)=c1 x1 + c2 x2 +…+ cn xn →max

При этом ограничения, связанные с материальноденежными ресурсами, приводят к следующей системе неравенств:

Вопросы для самопроверки

2.1.В чем состоит схема построения математической модели задачи с экономическим содержанием?

2.2.В чем состоит смысл неотрицательности переменных задачи ЛП?

2.3.Есть ли какая-либо связь между числом переменных и числом ограничений задачи с экономическим содержанием?

2.4.Что понимается под выражением «неотрицательный вектор»?

2.5.В чем состоит экономический смысл: а) целевой функции? б) системы ограничений?

19

3. Графический метод решения задач линейного программирования

3.1. Рассмотрим задачу линейного программирования с двумя переменными

L(X ) = c1 x1 +c2 x2 → extr,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Такая задача может быть решена графически (геометрически) ввиду того, что в этом случае легко строить ОДР (область допустимых решений). Она представляет собой многоугольник (ограниченный или нет, либо вовсе пустое множество), стороны которого лежат на прямых, получаемых из системы ограничений задачи

ai1 x1 +ai 2 x2 = bi , i =1, 2,..., m

Экстремальные значения целевой функции достигаются в угловых точках ОДР, принадлежащих опорным прямым к ОДР, т.е. крайним линиям уровня целевой функции по отношению к ОДР.

3.2. Алгоритм графического решения задачи линейного программирования состоит в выполнении следующих действий.

1)Построить ОДР.

2)Построить вектор нормали n = (с1,с2) целевой функции (он указывает направление возрастания целевой функции).

3)Построить нижнюю и верхнюю опорные прямые р и q,

20