2780

» output.firstorderopt ans =

7.9822e-010

Данные результаты говорят об успешном решении задачи. Команда spy(Hstr) позволяет графически представить структуру разреженной матрицы (рис. 4).

Рис.4. Структура разреженной матрицы Hstr

2.11. Нелинейная минимизация с ограничениями в виде линейных равенств

Продолжим рассмотрение задачи с минимизацией введенной функции, добавив в нее ограничения в виде100 линейных равенств

Aeq х = beq,

181

»fun = 'brownfgh';

»load browneq % Загрузка матрицы Aeq и вектора beq

»n = 1000;

» xstart = -ones(n,l); xstart(2:2:n) = 1; % Начальные значения

»options = optimset('GradObj', 'on', 'Hessian','on', ...

'PrecondBandWidth', inf);

»% Поиск решения

»[x, fval, exitflag, output] = ...

fmincon('brownfgh', xstart, [], [], Aeq, beq, [], [], [], options);

Результаты расчета предст удовлетворительными (об этом можно судить, например, но

величине нормы невязки norm(Aeq*x-beq)):

»exitflag exitflag =

1

»fval fval =

205.9313

»output output =

iterations: 16 funcCount: 16 cgiterations: 14

firstorderopt: 2.1434e-004

algorithm: 'large-scale: projected trust-region Newton' The linear equalities are satisfied at x norm(Aeq*x-beq)

ans =

1.1913е-012 182

переменных 400 и симметричной трех-диагональной матрице Н, сохраненной в файле qpboxl.mat.

Соответствующая программа и результаты вычислений приведены ниже.

»load qpboxl % Загрузка матрицы Н

»% Задание граничных значений

»lb = zeros(400,1); lb(400) = -inf;

»ub = 0.9*ones(400,1); ub(400) = inf;

»f = zeros(400,1); f([l 400]) = -2;

»xstart = 0.5*ones(400,1); % Начальные значения

»% Поиск решения

»[х, fval, exitflag, output] = ...

quadprog(H, f, [], [], [], [], lb, ub, xstart);

»exitflag exitflag =

1

»output output =

firstorderopt: 7.8435e-006 iterations: 20 cgiterations: 1809

algorithm: 'large-scale: reflective trust-region'

2.13. Решение задачи линейного программирования

»load sc50b

»[х, fval, exitflag, output] = ...

linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, [], [], optimset('Display'.'iter')):

Optimization terminated successfully.

»exitflag exitflag =

1

»fval fval =

-70.0000

»output output =

iterations: 8 cgiterations: 0 algorithm: 'lipsoV

184

Заключение

Учебное пособие представляет интерес для студентов,

познакомиться с методами решения практических задач

курсовой работы.

185

Библиографический список

1.Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах.-M: Высш. шк, 1986.-320 с.

2.Ашманов С.А., Тимохов А.В. Теория оптимизации в задачах

и упражнениях.- M.: Наука, 1991.- 448 с.

3.Банди Б. Основы линейного программирования. - M: Радио и связь, 1989.-176 с.

4.Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс.- М.: Радио и связь, 1988.- 128 с.

5.Калихман И. Л. Сборник задач по математическому программированию.-M: Высш. шк, 1975.-261 с.

6.Ногин В.Д., Протодьяконов И.О., Евлампиев И.И. Основы теории оптимизации.: Учеб. пособие для студентов втузов: -

М.: Высш. школа, 1986. – 384 с.

7.Таха Х. Введение в исследования операций. Т.1. – М.: Мир, 1985. – 480 с.

8.Триус Е.Б. Задача математического программирования транспортного типа. – Киев: Вища школа, 1983. – 659 с.

9.Трифонов А.Г. Постановка задачи оптимизации и численные методы ее решения: Учебник. – М.: 2002. – 115 с.

10.Дьяконов .В, Круглов .В Математические пакеты расширения MATLAB. Специальный справочник.- СПб.:

Питер, 2001.-480 с.

11.Зуховицкий Л.И., Авдеев С.И. Линейное и выпуклое программирование. - M.: Наука, 1994.

186

Приложение

З а д а ч а л и н е й н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я ( З ЛП )

П о с т а н о в к а к а н о н и ч е с к о й з а д а ч и :

Решается задача:

n

f (x) = åC j x j ® max

П о с т а н о в к а о с н о в н о й з а д а ч и :

Решается задача:

n

f (x) = åC j x j ® max

П о с т а н о в к а о б щ е й з а д а ч и :

Решается задача:

187

О б щ а я х а р а к т е р и с т и к а п о с т а в л е н н ы х з а д а ч

1.Решается задача поиска максимума целевой функции

2.Максимизируемая функция и ограничения линейны по xj

3 . Задачи содержат ограничения на знак переменныхxj . Если по физической постановке какая-либо переменная, вляется неограниченной по знаку, её всегда можно представить в виде

xj = xn + 1 – xn + 2 , где xn + 1 ≥ 0 , xn + 2 ≥ 0

В случае двух переменных, поставленные задачи могут быть решены графически.

Алгоритм графического решения задачи

Вслучае А - решение единственное (точка А).

Вслучае B - бесконечное множество решений (отрезок [А,B]).

правая часть ограничения < 0, умножить его левую и правую

190

Подготовка задачи к решению симплекс-методом

1.Выполнено (ищем максимум).

2.Выполнено (правые части ограничений неотрицательны).

3.Приведем задачу к каноническому виду, для этого введем в

каждое ограничение неотрицательную переменную:

Замечание. Если ограничение имеет знак«<», то вводится переменная со знаком «+», если же ограничение имеет знак «>», то вводится переменная со знаком«-», если исходное ограничение имеет знак «=», то дополнительные переменные не вводятся.

194

2 x1 + 3 x2 + x3 = 1 2

- 2 x1 + 6 x 2 + x 4 = 6

x3 , x4 ³ 0 - д о п о л н и т е л ьн ы е п е р е м е н н ы е

( д о п о л н я ю т н ер а в е н с т в а д о р а в е н св ).

4. Выпишем столбцы коэффициентов при переменных в ограничениях:

ÝÝ

Базисное решение соответствующее табл. №1:

x1 = 0 x2 = 0 x3 = 12 x4 = 6

Оно соответствует в исходных переменных точке 0(0,0).

Вычислим симплекс-разности для небазисных переменных:

Z-столбец

Т.к. ∆2 является максимальной положительной величиной в строке симплекс разностей, то в базис вводится переменная х2. Соответствующий этой переменной столбец - Z-столбец. Вычислим величины r i , как отношения элементов столбца Бр

к элементам Z-столбца:

196

Z-столбец

соответствует минимальная неотрицательная величинаr2, соответствующая ей строка - Z-строка.

На пересечении Z-столбца и Z-строки находится разрешающий элемент R = 6.

Осуществим пересчет таблицы:

•запишем коэффициенты функции в верхнюю строку новой таблицы 2;

•запишем в новую таблицу 2 новые базисные переменные

х2 и х3;

• запишем коэффициенты функции при новых базисных

• пересчитаем оставшуюся строку: умножим разрешающую строку на коэффициент пересчета - 1-й элемент Z-столбца из табл. 1 - это число 3, и вычтем из 1-й строки табл. 1, результат запишем в таблицу №2 на свое место:

Оно соответствует в исходных переменных точке А = (0,1).

Далее проводим расчет по аналогии.

Вычислим симплекс-разности для небазисных переменных:

198

Т.к. ∆1 является максимальной положительной величиной в строке симплекс разностей, то в базис вводится переменная x 1 , соответствующий этой переменной столбец - Z-столбец.

Вычислим величины r i как отношения элементов столбца Б р к элементам Z-столбца:

соответствует минимальная неотрицательная величинаr2 , соответствующая ей строка - Z-строка.

Z-столбец

Осуществим пересчет таблицы:

•запишем коэффициенты функции в верхнюю строку новой табл. 3;

•запишем в новую табл. 3 новые базисные переменные x2 и x1;

•запишем коэффициенты функции при новых базисных переменных в первый столбец табл. 3;

∆

• пересчитаем Z-строку: разделим Z-строку на разрешающий элемент, результат запишем в табл. 3 на своё место – получится разрешающая строка;

• пересчитаем оставшуюся строку: умножим разрешающую строку на коэффициент пересчета – 2-й элемент Z-столбца из табл. 2 – это число (-1/3) и вычтем из 2-й строки табл. 2 результат запишем в табл. 3 на своё место:

200