2777

многочлен обращается в нуль, т.е.

Pn

x0

0 . Следовательно,

корни

многочлена

Pn

x

представляют

собой

решения

алгебраического уравнения n ой степени:

Pn

x

0.

Теорема

Безу:

Если

x1

является

корнем многочлена

Pn x , то многочлен делится без остатка на двучлен x

x1 ,

т.е.

Pn x

x x1 Pn 1 x ,

где

Pn 1

x

многочлен

степени

n

1 .

Теорема приводится

без доказательства.

Всякий ли многочлен имеет корень? Ответ дает основная

теорема алгебры.

Основная теорема алгебры: Всякий многочлен степени

n

имеет,

по

крайней

мере,

один

действительный

или

комплексный корень (без доказательства).

Важнейшим следствием

основной

теоремы

алгебры

множители: Всякий многочлен

Pn

x

можно представить в

виде

Pn

x

an x

x1

x

x2

... x

xn ,

где x1 , x2 ,…, xn корни многочлена,

an

коэффициент при

xn .

Доказательство: Рассмотрим многочлен Pn x , имеющий

корень x1 . Тогда Pn

x

x

x1 Pn 1

x . Многочлен Pn 1 x по

основной теореме

алгебры

имеет

хотя бы один корень,

например x2 .

Тогда по теореме Безу Pn 1 x

x x2 Pn 2

x , а

Pn x

x x1

x x2 Pn 2 x . Не важно,

совпал ли корень

x1 с

корнем

x2 ,

являются ли они

комплексными

или

Pn

x an

x

x1 x x2

... x

xn .

Если

в

разложении

многочлена

Pn

x

на

линейные

множители

x

xi

какой-нибудь корень встречается k

раз, то

корень называется

корнем

кратности

k .

Если

корень

встретился один раз, что происходит при

k

1 ,

то

корень

называется простым.

С учетом кратности корней разложение многочлена

можно записать в виде

P

x a

n

x

x k1

x

x

k2

... x x

kr ,

n

1

2

n

где r

число различных корней, корень x1

имеет кратность k1 ,

корень

x2

кратность

k2

и

т.

д.

Существенно, что

k1 k2

...

kr

n .

Теорема 2.

Если

многочлен Pn

x с действительными

коэффициентами

имеет

комплексный

корень a ib , то он

имеет и сопряженный корень a ib .

x a ib x a ib

x a 2 b2 x2 2ax a 2 b2 ,

P x

a

n

x

x k1

x

x

k2

... x 2

p x

q S1

x 2

p

2

x

q

S2 ...

n

1

2

1

1

2

k1

k2

...

2 s1

s2

... n .

Пример 2.12. Разложить на множители многочлен

x5

4x4

4x3

x2

4x 4 .

Решение:

x5 4x4 4x3 x2

4x 4 x3 x2

4x 4 x2 4x 4

x2 4x 4 x3 1

x 2 2 x 1 x2

x 1 .

P

x

a

0

a x

a

2

x2

...

a

n

xn

R x

n

1

Qm

x

b0

b1 x

b2 x2

...

bm xm

называется правильной,

если степень числителя n меньше

степени знаменателя m .

Если n

m , то рациональная дробь

называется неправильной.

R x N x

Pk

x

k m .

Qm x

x3

x2

1

x3

x

x

x

x3

x

x

В результате получим

.

x 2 1

x 2 1

A

A

Ax B

Ax

B

1.

, 2.

, 3.

, 4.

,

x a

x a k

x2

px q

x2

px q k

где A, B, p, q

действительные числа, а трѐхчлен

x2 px q

имеет отрицательный дискриминант, т.е.

p2

q

0 .

4

A

d x a

C ,

1.

dx A

Aln

x a

x

a

x

a

x a k 1

2.

A

dx A x a

k d x a A

C

x

a k

k

1

A

C,

k

1 x

a k

1

3.

Ax

B

dx

Ax

B

dx

x 2

px

q

x 2

px

p 2

q

p 2

4

4

Ax

B d x

p

2

.

2

x

p

q

p 2

2

4

Произведем

замену

переменной

t x

p

,

dt

dx, и

2

обозначим положительную постоянную величину q

p

2

2 .

4

В результате получим

A t

p

B

Ax

B

tdt

Ap

dt

2

dx

dt

A

B

x2

px q

t 2

2

t

2

2

2

t

2

2

A d t 2

2

B

Ap

1

arctg

t

A

ln t 2

2

2

t 2

2

2

2

x

p

Ap

1

t

A

Ap

1

B

arctg

C

ln x 2

px q

B

arctg

2

C.

2

2

2

помощью замены переменной t x

p

,

dt dx к сумме двух

2

интегралов

Ax

B

x2 px

q k

tdt

Ap

dt

2

p 2

A

B

, где

q

.

t

2

2 k

2

t

2

2 k

4

Первый интеграл легко вычисляется:

tdt

1

d t 2

2

1

C .

t

2

2 k

2

t

2

2 k

2 1

k

t

2

2 k 1

dt

1 t 2

2

t 2

dt

1

dt

t

2 dt

.

t 2

2 k

2

t 2

2 k

2

t 2

2 k 1

t 2

2 k

Последний интеграл найдем с помощью интегрирования

по частям:

t 2 dt

u

t,

du

dt

tdt

1

t

2

2 k

dv

, v

t

2

2

k

2 1

k

t

2

2 k

1

t

1

dt

t

1

Ik 1.

2 1

k t

2

2 k 1

2 1 k

t

2

2

k 1

2 1

k

t

2

2 k 1

2 1 k