2777
.pdfОднако, дифференциал dS как главная часть приращения
равен площади кругового сектора OCA |
, т.е. dS |
1 |
|
2 d . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Интегрируя равенство |
|
dS |
1 |
|
2 d |
|
|
в пределах от |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
до |
|
|
|
, |
получим |
искомую |
формулу для |
площади |
||||||||||||||||||||||||||||||
криволинейного сектора: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
1 |
|
|
|
2 d |
1 |
|
|
|
2 d . |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Пример.4.4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
линией |
a |
|
cos2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Решение: Найдем пределы интегрирования из условия |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 |
|
|
|
0. |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
2 |
|
|
2k |
|
или |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
k . |
Для |
фигуры, |
|
называемой |
|
лемнискатой |
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Бернули |
(рис.14), |
разрешенными |
|
оказываются |
отрезки |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
, |
|
|
при k 0 и |
3 |
|
, |
5 |
|
при |
k |
|
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
cos2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.14.
Поскольку фигура содержит четыре симметричных элемента, то вычислим площадь четвертой части фигуры:
91
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
4 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 d |
1 |
|
|
a2 cos2 d |
a |
|
|
|
a |
|
|
||
S |
|
|
|
|
|
|
sin 2 |
|
|
|
. |
Отсюда |
|||||||
4 |
2 0 |
2 |
0 |
4 |
0 |
4 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
a2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.4. Вычисление длины дуги.
Пусть в прямоугольных координатах задана гладкая (не содержащая угловых точек) кривая AB , являющаяся графиком функции y f x , имеющей на отрезке a, b непрерывную
производную.
Под длиной дуги AB подразумевается предел длины вписанной в эту дугу ломаной линии, число звеньев которой стремится к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю.
Используем метод интегральных сумм для нахождения
формулы длины дуги. Разобьем отрезок a, b |
на n |
частей |
|
точками xi i 0,1,..., n |
. Пусть на кривой |
этим |
точкам |
соответствуют точки M i |
xi , f xi . Рассмотрим i |
тый участок |
разбиения (рис.15). |
|
||
|
y f x |
|
M i |
|
|
||
|
L |
|
yi |
|
i |
|
|
M i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
xi xi xi 1
Рис.15.
Длина хорды M i 1M i может быть найдена по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с длинами катетов
yi и xi :
92
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
x |
2 |
|
|
|
y |
i |
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
По теореме Лагранжа о конечном приращении функции |
||||||||||||||||||||||||||||||
yi |
f |
ci |
xi |
, где ci |
является некоторой внутренней точкой |
||||||||||||||||||||||||||
отрезка |
xi 1 , xi |
. Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
L |
|
|
x 2 |
f c x 2 |
|
|
|
|
1 f c |
2 |
|
x . |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
Длина всей ломаной линии равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
1 |
|
|
f |
c |
i |
|
x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
1 |
|
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Длина дуги AB по определению равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
. |
|
|||||||
|
|
L |
|
lim |
|
L |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
f |
c |
x |
i |
|
||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
i |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
Li 0 i |
1 |
|
|
|
|
|
0 i |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
max |
|
max |
Li |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Поскольку |
|
по |
|
условию |
|
|
f |
x |
|
|
|
непрерывна, |
то |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегральная |
сумма |
|
1 |
|
f |
|
ci |
|
2 xi |
|
составлена |
|
для |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывной функции, а значит, имеет предел при |
|
xi |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||
( xi |
|
0 при |
Li |
0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
1 |
|
f |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть уравнение кривой АВ задано в параметрической |
||||||||||||||||||||||||||||||
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x t , |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
y t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
x |
x y |
и |
y |
|
y t |
|
являются непрерывными функциями |
|||||||||||||||||||||||
вместе со своими производными, |
x |
|
|
|
|
a , |
x |
|
|
b , |
то длина |
дуги находится с помощью замены переменной в интеграле
b |
|
|
y |
t |
|
|
|
|
|||||
1 f x 2 dx . Тогда dx x t dt, f x |
, а |
|||||
x |
t |
|||||
a |
|
|||||
|
|
|
93
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L |
1 |
f x 2 dx |
|
1 |
|
|
x t dt |
|
|
x t 2 |
y t 2 dt. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
x t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Пример 4.5. Вычислить длину линии, заданной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параметрически: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
cos3 t, |
0 |
t |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
sin3 t, |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Решение: Найдем производные x (t) |
|
3cos2 t |
sint |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y (t) |
3sin2 t |
cost . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L |
|
9cos4 t sin2 t |
9sin4 t cos2 tdt |
|
9cos2 t sin2 t cos2 t sin2 t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 cost sintdt |
3 |
|
|
2 sin 2tdt |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
cos2t |
|
2 |
|
cos |
|
cos0 |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
0 |
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Пусть кривая задана в полярных координатах |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывной функцией |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
. |
В уравнениях |
||||||||||||||||||||||||||||
связи |
|
|
декартовых |
и |
полярных |
координат |
x |
cos |
|
|
|
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
sin |
формально можно принять параметром |
полярный |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
угол |
, |
тогда кривую оказывается возможным задать |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
параметрически |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
cos , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
sin . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Вычисляя |
|
производные |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
sin , |
||||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x |
|
t |
2 |
|
y t 2 |
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
|
|
sin |
|
cos |
2 |
|
2 2 .
Используя полученный результат, находим формулу для вычисления длины дуги, заданной в полярных координатах:
94
L |
2 |
2 d . |
|
Пример 4.6. Вычислить длину кардиоиды |
1 sin . |
Решение: Кардиоида имеет вид, представленный на рис.
16.
1 sin
O
Рис.16.
Кардиоида имеет две симметричные части. Вычислим длину правой половины кривой:
L |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
cos 2 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin |
|
|
|
1 |
2sin |
|
|
|
|
|
sin2 |
|
|
cos2 d |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
|
|
|
2sin |
|
d |
|
|
2 |
|
1 |
|
sin |
|
d |
|
2 |
|
|
|
1 |
cos |
|
|
|
d |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
t |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
cos t dt |
|
2 |
|
|
|
1 |
cos t dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
dt |
|
|
|
d . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 cos |
|
dt |
2 |
|
cos |
|
dt |
|
4 cos |
d |
|
4sin |
|
|
|
4, L 8. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
95
4.5. Вычисление объема тела
Пусть требуется найти объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которое проектируется на отрезок
a, b |
оси |
Ox , причем |
известна |
зависимость площади |
|||
поперечного |
сечения |
тела |
S |
S x |
плоскостью, |
||
перпендикулярной оси Ox . Предполагается, что S |
S x |
||||||
является непрерывной функцией x |
на отрезке |
a, b . |
|
||||
Используем метод дифференциала. Через произвольную |
|||||||
точку |
x проведем плоскость , |
перпендикулярную оси |
Ox . |
||||
Площадь поперечного сечения равна S x . Через точку x |
dx |
проведѐм другую плоскость, параллельную первой. Тогда из объѐма тела будет выделен «элементарный слой» dV , соответствующий приращению объема. Объем «элементарного слоя» приближенно может быть посчитан как объем цилиндра с основанием S x и высотой dx : dV S(x)dx.
Искомую величину объема находим интегрированием dV в пределах от a до b
|
b |
|
|
|
|
|
V |
S(x)dx . |
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
Пример.4.7. Найти объем эллипсоида |
x2 |
|
y 2 |
z 2 1. |
||
4 |
9 |
|||||
|
|
|
Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной координатной плоскости Oyz и пересекающей ось Ox в точке
x , получим в сечении эллипс
|
|
|
y 2 |
|
|
|
z 2 |
1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
1 |
|
x2 |
|
1 |
|
x2 |
|
|
|||||
4 |
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь эллипса равна
96
|
|
S x |
3 1 |
x 2 |
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя зависимость S x , вычислим объем |
||||||||||||
|
2 |
|
x 2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
V |
3 1 |
|
dx 3 x |
|
|
|
8 . |
|||||
|
4 |
12 |
|
|
2 |
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление |
объема |
тела |
|
вращения |
(рис.17), |
|||||||
образованного вращением |
вокруг оси |
|
|
Ox |
|
криволинейной |
трапеции, представляет собой частный случай предыдущей задачи. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная сверху непрерывной кривой y f x , прямыми линиями x a , x b и ось Ox . Любое сечение данного тела плоскостью,
перпендикулярной оси |
Ox , есть круг радиуса R y f (x) . |
|
Поэтому площадь поперечного сечения равна |
|
|
S(x) y 2 |
f (x) 2 и dV |
f (x) 2 dx . |
Объем тела вращения равен |
|
b
V f (x) 2 dx .
|
a |
y |
y f x |
O |
a |
x |
b |
x |
Рис.17.
97
Пример.4.8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями
y |
x3 , |
x |
1, |
y |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Объѐм тела вращения равен |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
x6 dx |
|
|
x7 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0 |
7 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.6. Вычисление площади поверхности вращения |
||||||||||||||
|
Пусть |
кривая |
AB |
является |
графиком |
функции |
|||||||||
y |
f (x) |
0 , |
заданной на отрезке a, b |
и непрерывной вместе |
|||||||||||
с |
ее |
производной |
y x . |
Найдѐм |
|
площадь |
поверхности |
||||||||
вращения, |
образованной вращением кривой AB |
вокруг оси |
|||||||||||||
Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
вывода |
формулы площади |
поверхности |
вращения |
используем метод дифференциала. Через произвольную
внутреннюю точку x |
a,b |
проведем перпендикулярную оси |
||||||
Ox плоскость . |
|
|
|
|
|
|||
Плоскость |
пересекает |
поверхность по |
окружности |
|||||
радиуса |
y f |
x |
. Величина |
S |
части поверхности вращения, |
|||
расположенная |
|
левее |
плоскости |
, является функцией x . |
||||
Пусть |
через |
точку |
x dx |
проведена другая |
плоскость, |
параллельная плоскости . Тогда две параллельные плоскости выделят бесконечно узкую полосу поверхности (рис. 18.), площадь которой dS можно вычислить по формуле площади боковой поверхности усечѐнного конуса, образующая которой
равна dl , а радиусы оснований равны y |
и y |
dy : |
||
dS |
y y dy |
dl 2 ydl |
dydl . |
|
Пренебрегая |
слагаемым |
dydl |
как |
величиной более |
высокого порядка малости по сравнению с dl , получаем |
||||
|
dS |
2 ydl . |
|
|
98
Поскольку dl 1 y x2 dx , то
|
|
b |
|
|
|
|
|
||
|
S 2 |
y 1 y x 2 dx. |
||
|
|
a |
||
y |
y |
f x |
||
|
|
|
|
O a |
x |
b |
Рис.18.
Пример.4.9. Найти площадь поверхности шара радиуса
a .
Решение:
Будем считать, что поверхность получена в результате
вращения полуокружности y |
|
|
a2 x2 вокруг оси Ox . |
|
|||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|||
S 2 |
|
a2 x2 |
1 |
|
|
|
|
|
dx 2 a dx 2 a x |
|
4 a2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 a |
2 |
x |
2 |
|
|
|||||||||
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Если поверхность вращения вокруг оси Ox образована
кривой, |
заданной параметрическими |
уравнениями x x t , |
||
y y t |
, t1 t t2 , то площадь поверхности вращения равна |
|||
|
t2 |
|
|
|
|
x t 2 |
y t 2 dt. |
||
|
S 2 y t |
|||
|
t1 |
|
|
|
99
Пример.4.10. Найти площадь поверхности, образованной вращением циклоиды вокруг оси Ox .
Решение:
Первая арка циклоиды описывается уравнениями x t sin t,
y 1 cost,
где 0 t 2 . Тогда площадь поверхности вращения равна
2
S 2
0
|
2 |
|
2 |
1 cost |
t sin t |
1 cost |
dt |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
cost |
|
|
|
1 |
|
|
|
cost |
|
2 |
|
sin t |
|
2 |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
||
2 |
|
2 sin |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 cost |
|
|
|
cos |
t |
sin |
t dt |
|
|
4 |
|
|
|
sin |
|
2 |
2 cost |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
3 t |
|
|||||||||||||
4 |
2 |
|
sin |
|
|
|
|
2 sin |
|
|
dt |
|
8 |
sin |
|
sin |
|
dt |
|
8 sin |
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||||
8 |
|
|
|
1 |
|
cos |
2 |
|
|
|
sin |
|
dt |
|
8 |
|
|
1 |
|
cos |
2 |
|
d |
|
|
|
2 cos |
|
||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
64 |
|
|
||||||||||
|
16 |
|
cos |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.7. Работа переменной силы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Работа по перемещению материальной точки |
|
|
M вдоль |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
оси |
|
Ox |
|
из |
|
|
точки |
|
|
|
|
x |
|
a |
до |
|
точки |
|
x b |
|
|
под |
действием |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
переменной силы F |
|
|
|
|
F x , направленной по оси Ox , равна |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
F x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a
100