Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2777

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

отрезка	a, b	от b	к a	в интегральной сумме меняется знак
каждого	xk	на противоположный.
4.	Свойство		аддитивности:		Если функция y f x
интегрируема на отрезке				a, b и a<c<b, то
		b		c	b
		f (x)dx		f (x)dx	f (x)dx ,
		a		a	c

т.е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.

Доказательство:

При разбиении отрезка a, b на части точка с включается в число точек деления, т.е. xm c . Интегральная сумма разбивается на две суммы:

f ( k ) xk

f ( k ) xk .

k 1

k m 1

Каждая из указанных сумм является интегральной

суммой для отрезков

a, b ,

a, c , c,b . Перейдем к пределу в

последнем равенстве при n

и max

0 :

f (x)dx

lim

f (

k )

lim

f ( k )

lim

f ( k ) xk =

k 1

m 1

f (x)dx

f (x)dx .

Свойство 4 справедливо при расположении точки c

вне

отрезка

a, b , если

функция

f x

продолжает оставаться

интегрируемой на каждом из получающихся отрезков.

5. Если функция

f (x)

0 интегрируема на отрезке

a, b

(a<b), то

f (x)dx

0 .

Доказательство:

n
Каждое слагаемое интегральной суммы	Af ( k ) xk
k	1

неотрицательно, поэтому интегральная сумма тоже является неотрицательной. Предел неотрицательной величины не может быть отрицательным, поэтому

		b		n
		f (x)dx	lim	f (	k ) xk	0 .
		a	n	k 1
		a		k 1
6. Если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке							a, b	(a<b) и
удовлетворяют на нѐм равенству				f (x)	g(x) , то
		b		b
		f (x)dx		g(x)dx .
		a		a
Доказательство:
Так как g(x)		f (x) 0	для всех		x из отрезка			a, b , то
по свойству 5:
b		b		b
g(x)	f (x) dx 0		g(x)dx		f (x)dx 0
a		a		a
b		b
или f ( x)dx		g( x)dx .
a		a
7. Если	f(x)	интегрируема		на отрезке		a, b	и	a<b, то

модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, т.е.

b	b
f (x)dx		f (x)	dx .

a	a

Доказательство: Поскольку модуль суммы слагаемых не превосходит сумму модулей этих слагаемых, то

n 1	n 1
f ( xk ) xk		f ( xk )	xk .
k 0	k 0

	Переходя в	обеих частях неравенства к пределу при
max	xk 0 , получим формулу
			b	b
			b	b
			f (x)dx		f (x)	dx .
			f (x)dx		f (x)	dx .
			a	a
	8. Если функция f(x) интегрируема на a, b (a<b) и числа
m и	М являются	наименьшим		и наибольшим значениями

функции	f x на отрезке	a, b , т.е. выполняется неравенство
m f (x)	M , то
		b
	m(b a)	f ( x)dx M (b a) .

Доказательство:

Проинтегрируем неравенство m f (x) M по отрезку a, b . При интегрировании воспользуемся свойством 6. В результате получим:

	b		b	b
		mdx	f (x)dx		Mdx или
	a		a	a
b	b	b			b
m dx	f ( x)dx M dx m(b a)				f ( x)dx M (b a) .
a	a	a			a
Если	f x 0 ,	то	свойство	8	допускает наглядную

геометрическую интерпретацию: площадь криволинейной трапеции, соответствующей определенному интегралу

f (x)dx , заключена между площадями прямоугольников с

отрезком a, b в основании и высотами, равными m и M , как показано на рисунке 6.

y f x

O a

b x

Рис.6.

Данное свойство используется для оценки определенного интеграла.

Пример 3.1. Оценить интеграл: I

0 1 tgx

Решение:

Поскольку

на

отрезке

выполняется

неравенство

1, то

1 tgx

0 1

tgx

9. Теорема о среднем для определѐнного интеграла.

Теорема:

Если

функция

f x непрерывна на отрезке

a, b , то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка c такая, что

f (x)dx f (c)(b a) .

Доказательство: Полагаем, что a<b. Так как функция непрерывна на отрезке a, b , то она достигает на нѐм своего наибольшего М и наименьшего m значений: m f (x) M .

Проинтегрировав это неравенство в пределах от а до b, получим:

m(b a) f ( x)dx M (b a) .

После деления на (b-a)>0 имеем:

		1		b
m		1		f (x)dx M


	b		a a

Так как функция f(x) непрерывна на отрезке a, b , то она принимает любое промежуточное значение, заключѐнное

					1	b
между m и M .		Поэтому			1		f (x)dx -	одно из значений

					b a a
					b a a
функции f(x) на	a,b , т.е.
		1		b			b
f (c)		1		f ( x)dx или			f (x)dx	f (c)(b a) .


	b		a a				a

Геометрический смысл теоремы о среднем состоит в том, что криволинейная трапеция, соответствующая определенному

интегралу f (x)dx , равновелика прямоугольнику с длиной

основания (b-a) и высотой f(c).

3.5. Определѐнный интеграл с переменными верхним пределом.

Пусть неотрицательная функция		f(x) интегрируема на
	b
отрезке a, b . Тогда	f (x)dx S	представляет число,

соответствующее площади криволинейной трапеции. Если верхний предел интегрирования b будет менять свое

положение, то, очевидно, будет меняться и площадь изменяющейся криволинейной трапеции, т.е. S S b . В определѐнном интеграле переменную интегрирования можно обозначить любым другим символом, например t :

b		b
	f (x)dx	f (t)dt S b .
a		a
Рассмотрим отрезок с переменным верхним пределом			a, x ,
		x
где a x b . Тогда	определенный интеграл f (t)dt		S x

оказывается функцией переменного верхнего предела интегрирования

( x) f (t)dt .

Теорема Барроу: Если функция f x непрерывна на

отрезке	a, b , то производная от функции (x) равна f x ,
т.е. (x)	есть первообразная для f(x) на a, b :
	(x) f (x) .

Другими словами: производная от определѐнного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной

функции,		в	которой	аргумент t		заменяется		на	x :
		f (x) .
f (t)	t x	f (x) .
f (t)	t x
	Доказательство:
	Для	нахождения		производной			(x)	назначим
приращение			x для верхней		границы интегрирования				x и
найдѐм приращение функции					(x) :
					x	x	x
		(x)	(x	x)	(x)	f (t)dt	f (t)dt .
					a		a

Переставляя местами пределы интегрирования во втором интеграле и используя свойство аддитивности 4, получим:

(x)

f (t)dt .

Применяя теорему о среднем к отрезку

x, x

x , имеем:

(x)

f (c) x ,

где

c является

некоторой

внутренней

точкой

отрезка

x, x

x .

Производная

(x)

находится

непосредственным

образом:

(x) lim

(x)

lim

f c x

lim f (c)

f x ,

поскольку при x 0 c x . Последнее		соотношение и
является доказательством того, что	функция	(x) является
первообразной для f(x), непрерывной	на a, b .

Из теоремы Барроу следует, что неопределенный интеграл может быть представлен с использованием определенного интеграла с переменным верхним пределом:

		x
f (x)dx	(x) C	f (t)dt C .
		a
3.6. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть функция y	f x интегрируема на отрезке a, b .

Тогда способ вычисления определенных интегралов может быть получен с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

	Теорема:	Если	функция		f	x	непрерывна		на	отрезке
a, b	и F x есть какая-либо ее первообразная, то имеет место
формула Ньютона-Лейбница:
		b
			f (x)dx F (b)				F (a) .
		a
	Доказательство. Согласно теореме Барроу
			x
			f (t)dt		F x		C ,
			a
где	F x является		первообразной для					функции		f x .
Постоянную величину C легко определить, положив x										a :
	a
		f (t)dt	0	F a	C или C			F a .
	a
		x
	Поэтому:		f (t)dt F ( x)			F (a) .		Это	равенство
		a
справедливо для любых				x	a,b .		Положив x b , получим
формулу Ньютона-Лейбница:
	b						b
	f (t)dt F (b)			F (a)	или		f (x)dx	F (b)	F (a) .
	a						a
	Формула	Ньютона-Лейбница					представляет		удобный

способ вычисления определенного интеграла: сначала находится первообразная, затем вычисляется разность значений первообразной на концах отрезка a, b .

Пример 3.2. Вычислить определенный интеграл

5e ln x dx

Решение:

ln x dx

ln x

ln 5e 2

ln e 2

ln x d ln x

e 2

			1	ln 5 1 2	1		1	ln2 5 2 ln 5 .
2				ln 5 1 2	1	2		ln2 5 2 ln 5 .
2						2
	Пример 3.3.					Вычислить			определенный интеграл

2
	esin x cos x dx.
0
	Решение:

2					2
		esin x cos x dx				esin x d sin x			esin x	2	e 1 .
										2
0					0					0

3.7. Интегрирование по частям в определѐнном интеграле.

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на отрезке a, b . Дифференциал произведения функций равен

d(uv) udv vdu .

Интегрирование этого тождества на отрезке a, bдает

b		b
udv (uv)	ba	vdu .


a		a

Раскрывая дифференциалы, фигурирующие в равенстве, получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле:

b		b
v ( x)u( x)dx u( x)v( x)	ba	v( x)u ( x)dx .


a		a

Подобно тому, как в неопределенном интеграле выделяются три случая представления подынтегрального выражения в виде произведения u и dv , так же и при интегрировании по частям в определенном интеграле появляются три варианта.

Пример 3.4. Вычислить

x sin xdx.

Решение:

	x sin xdx	u	x,	du	dx
		dv	sin xdx,	v	cos x
0

sin x 0 .

Пример 3.5. Вычислить

x ln xdx.

Решение:

ln x,

x ln xdx

xdx,

x 2

1 e2

определенный интеграл

x cos x	0	cos x dx
		0

определенный интеграл

x2 ln x			e	e	x2 dx
2			1	1	2x
	1	.
4		.
4

3.8. Замена переменной в определѐнном интеграле

				b
	Пусть	для вычисления		интеграла f ( x)dx ,	где	f(x) –
				a
некоторая		непрерывная	функция, требуется сделать			замену
x	(t) .
	Теорема. Если:
	1) функция x		t	и ее производная	x	t
непрерывны на отрезке			,	,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.24 Mб02763.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22764.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22765.pdf
#
15.11.20222.25 Mб02768.pdf
#
15.11.20222.27 Mб02773.pdf
#
15.11.20222.28 Mб22777.pdf
#
15.11.20222.28 Mб02780.pdf
#
15.11.20222.29 Mб02784.pdf
#
15.11.20222.29 Mб12787.pdf
#
15.11.20222.3 Mб02788.pdf
#
15.11.20222.3 Mб32790.pdf