Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2773

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Пусть f (x)		0 при a	x	. Очевидно, что в этом
			N
случае	интеграл	Φ(N )		f (x)dx	есть монотонно
			a
возрастающая функция от переменной N: большему
значению N соответствует большее значение площади
фигуры.	Если при этом функция Φ(N)				M при N	,

(ограничена), то она имеет предел (признак существования предела):

	lim Φ(N ) A M , т.е.			f (x)dx		A.
	N
				a
Интеграл сходится.
	Если Φ(N) неограниченна при					x	,	то
несобственный		интеграл	расходится		к	бесконечности:
f ( x)dx		.
a
	Теорема.	Пусть	для	x a,		выполняется
соотношение:
	0 f (x) g(x) ,						(15)
	тогда:
1.	Если	g(x)dx сходится, то сходится и					f (x)dx .
	a					a
2.	Если	f (x)dx	расходится,		то	расходится		и
		a

g(x)dx .

Доказательство:

Пусть

g(x)dx

сходится,

т.е.

lim g(x)dx A

g(x)

f(x)

0 a N х

Рис. 22.

Таким образом, при возрастая ограничена сверху,

Проинтегрируем неравенство (15) в пределах от a до N:

N N

	f (x)dx	g(x)dx A ,
	a	a
	, т.е. Φ(N)	A
	.
N	Φ(N) ,	монотонно

поэтому существует предел:

	lim Φ(N )		lim	f (x)dx и		f (x)dx сходится.
N		N
				a		a
2.	Пусть	f (x)dx расходится. Тогда
	a
			N		N
	G(N )		g(x)dx		f (x)dx A .
			a		a
Но	Φ(N)		, N	,		следовательно	и
G(N)	, N		и	g(x)dx расходится.
				a

Следствие 1. Если f(x) непрерывна на a,, причѐм

0	f (x)		A		, где p>1, то		f (x)dx сходится.
0	f (x)				, где p>1, то		f (x)dx сходится.
			x p				a
							a
	Следствие 2. Если f(x) непрерывна на							a,		, f (x) 0
и	f (x)	A		, где		p 1 , то	f (x)dx расходится.
и	f (x)			, где		p 1 , то	f (x)dx расходится.
		x p					a
							a
	Примеры.
	1.Исследовать сходимость интеграла									dx
											.
								1	x2	1 e x	.
								1
Сравним данный						интеграл	с известным			сходящимся

интегралом

. Так как при

2 ,

2 1

e x

то

. Следовательно интеграл сходится.

x2 1 e x

2. Аналогично доказывается, что

dx расходится.

Действительно, при x

, а

расходится.

2.Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).

Непрерывная на отрезке функция интегрируема на

нѐм.

1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на конечном промежутке a, b за исключением конечного числа точек.

Если f(x) на

отрезке

a, b

имеет конечное

число

только

разрывов

рода

(конечные скачки), то

в этом случае отрезок

a, b

точками

с и d

можно разбить на три промежутка, в

Рис. 23. каждом из которых функция f(x) непрерывна. В этом случае интеграл в пределах от a до b на основании свойств аддитивности определяется как сумма интегралов от непрерывных функций:

b	c	d	b
f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx
a	a	c	d

(собственные интегралы).

2. Пусть функция f(x) определена и непрерывна при

a x	b , а в точке b терпит бесконечный разрыв (разрыв II
рода).	В этом смысле определѐнный интеграл на a, b не

может существовать, т.к. не существует предел интегральных сумм. Поступим следующим образом.

Возьмѐм произвольное число		0 и рассмотрим отрезок
a, b	(рис. 24).

y=f(x)

Рис. 24.

Функция

f(x)

непрерывна

на

этом

отрезке,

значит

существует интеграл

f (x)dx

Φ(

) .

Если

существует

предел

этого

интеграла

когда

0, то этот предел называется несобственным

интегралом второго рода и обозначается:

lim

f (x)dx

f (x)dx .

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью на нижнем пределе. Пусть f(x) непрерывна на a x b , а при х=а имеет разрыв второго рода (рис. 25), тогда

f (x)dx

lim

f (x)dx. .

y=f(x)

Рис. 25.

Примеры.

1	dx				1	1	1
							1

			lim		x	2 dx 2 lim x	2 lim 1	2


		x
0		x		0		0	0
0
(сходится).

. Установить,

при каких р данный интеграл

0 x

сходится.

P<1

P=1

P>1

Рис. 26.

а) р=1

lim

lim ln x

Интеграл расходится. b) p>1 .

1	dx		lim	1 x	p dx lim			x p	1	1
1	dx							x p	1	1
		p						p	1
	x	p	0			0		p	1
0	x
0			1		p	1
					p	1
	lim						.


		0	1	p	1	p

Интеграл расходится.

с) p<1

lim

1 x

p dx

lim

x p

0 x

p 1

lim

1 p

Интеграл сходится.

Сходимость

или

расходимость

интеграла

x p

определяется скоростью роста подынтегральной функции вблизи точки разрыва: если скорость велика p 1 , то

интеграл расходится, если мала (p<1), то интеграл сходится. Точно также интегралы более общего вида:

и a b x p ,

сходятся, если (p<1) и расходятся p 1 . y

b x

Рис. 27.

Пусть функция f(x) на отрезке a, b имеет несколько точек

разрыва второго рода (рис. 27). Тогда промежуток разбивают на частичные так, чтобы на каждом из них было

по одной точке разрыва, расположенной на конце интервала:

b	c1	c2	c3
f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx
a	a	C1	C2
c4	c5	c6		b
f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx.
c3	c4	c5		c6

Если все интегралы в правой части сходятся, то сходится и интеграл в левой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и интеграл, стоящий справа.

Теорема: Пусть	x a,b	выполнено	условие
0 f (x) g(x) , причѐм f(x) и g(x) непрерывны при a			x b ,

а при x=b имеют бесконечные разрывы. Тогда:

Если

g(x)dx сходится, то сходится и f (x)dx ;

Если

f (x)dx расходится, то расходится и g(x)dx .

g(x)

f(x)

Рис. 28.

Доказательство точно такое же, что и для несобственных интегралов первого рода.

Следствие 1. Если	0 f (x)	A		и p<1, то

		b x	p
		b x	p
b
f (x)dx сходится.
a
Следствие 2. Если	f (x) 0 , непрерывна при a					x b ,
а при x=b имеет разрыв первого рода и			f (x)		A		, где

					b x	p

p 1, то f (x)dx расходится.

Примеры. Исследовать сходимость интегралов, используя теоремы сравнения.

100

1.			dx			. При х=0 подынтегральная функция

	3		24		x3
	3	x	24	x	x3
	0

терпит разрыв. Сравним данный интеграл с интегралом

100

	dx		, который сходится. Так как								1					1	, то
			, который сходится. Так как														, то
4		x									3	x	24	x	x 3 4 x
0
100								100
					dx				dx	и данный интеграл сходится.
							x3			и данный интеграл сходится.
		3		x	24	x	x3		4 x
		0						0

	2.						dx					.	При	х=1 подынтегральная функция


				3		1			x4
				3		1			x4
			0
терпит										разрыв.										При					x>0
	1												1					1			.

																3
3			4	3											2
3	1	x	4	3		1			x 1				x 1	x	2			1		x
	1	x				1			x 1				x 1	x
		1		dx									dx
Тогда				dx									dx	.			Но		последний				интеграл

													1
					x 4								1
		0 3 1
		0 3 1										1 x 3
												1 x 3
сходится					p			1		.			Следовательно,							сходится			и	данный
сходится					p		3			.			Следовательно,							сходится			и	данный
							3
интеграл.
					3.9. Абсолютная и условная сходимость
											несобственных интегралов
		Пусть функция f(x) непрерывна на a,																				или		a,b и
имеет на этом промежутке произвольный знак.
		Несобственный											интеграл					называется					абсолютно
сходящимся, если сходится интеграл от функции																							f (x)		.
сходящимся, если сходится интеграл от функции																							f (x)		.

Сама функция f(x) называется при этом абсолютно интегрируемой на соответствующем промежутке.

	f (x)		dx -для интегралов первого рода;	(16)
a
b
	f (x)	dx - для интегралов второго рода.		(17)
	f (x)	dx - для интегралов второго рода.		(17)

Абсолютно сходящийся интеграл сходится, т.е. из сходимости интегралов (16) или (17) следует, соответственно, сходимость интегралов (3)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 139 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.24 Mб02761.pdf
#
15.11.20222.24 Mб02763.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22764.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22765.pdf
#
15.11.20222.25 Mб02768.pdf
#
15.11.20222.27 Mб02773.pdf
#
15.11.20222.28 Mб22777.pdf
#
15.11.20222.28 Mб02780.pdf
#
15.11.20222.29 Mб02784.pdf
#
15.11.20222.29 Mб12787.pdf
#
15.11.20222.3 Mб02788.pdf