Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2773

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

ctg2tdt

	sint				x		; t
	sint				2		; t
					2
		arcsin				x
		arcsin
					2
Пример 2:
				dx


4					x2 3
			1	sint			c
4				sint			c
4

1 dt

ctgt

cost

sin2 t

sint

sin2 t

arcsin

sint

	x	tgt				2			dt

								2			t	1
								2				1
			2dt						cos					costdt
	dx		2dt					2			3	4		costdt

			cos2 t


							cost
							cost
										x
1		tgt			1											x
1		tgt		c	1			2					c			x
								2

4 1 tg2t					4			1			x 2				4 4 x2
4 1 tg2t					4						x 2				4 4 x2
											2
											2

Пример 3:
									x	2
			x2		4												2tgt2sintdt
J							dx			cost
										cost
			x	3					dx		2sint	dt						2		3
				3							2sint									3
																	cos2t
											cos2 t
											cos2 t								cost
	1	sin 2tdt						1	1 cos2t dt				1	t	1	sin 2t		c
2		sin 2tdt				4			1 cos2t dt			4		t	8	sin 2t		c
2						4						4			8

1		1				1			1
1	t	1	sint cost			1	t		1		1 cos2t			cost		c
4	t	4	sint cost			4	t	4			1 cos2t			cost		c
4		4				4		4

1				2		2				2				1		4		2
	arccos				cost			; t		arccos			;		1					c
4	arccos			x	cost		x	; t		arccos		x	;	4	1		x2		x	c
1				2	1
1	arccos			2	1	x2		4			c
4	arccos			x	2x2	x2		4			c
4				x	2x2

3. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

1.Площадь криволинейной трапеции

Понятие определѐнного интеграла является одним из основных понятий математики. Между определѐнным и неопределѐнным интегралами существует тесная связь, которая и лежит в основе практического использования определѐнного интеграла.

К понятию определѐнного интеграла приводят многие задачи геометрии, механики и физики. Рассмотрим две из таких задач.

у0

				М
				М

												B
												B
	A							.
0
0

х0=a		0	1		2	...			...		x =b		x
		0	1		2		k			n-1		n
							k			n-1

Рис. 8.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], причѐм f(x) >0. Рассмотрим фигуру, ограниченную осью Ох, графиком y = f(x), и двумя прямыми: x = a и x = b.

Эта фигура называется криволинейной трапецией, отрезок [a,b] оси Ох – еѐ основанием (рис. 8).

Найдѐм площадь этой фигуры. Разобьѐм отрезок [a,b] на

n частей	произвольным образом. Через точки деления х1,
х2,…хn-1	проведем прямые, параллельные оси Оу.
	53

Криволинейная трапеция при этом разбивается на n частей.

Обозначим длины элементарных отрезков через

хk:

x0 ;

x1,;...

каждом

из

1 xk ;...

элементарных

промежутков

возьмѐм

произвольную

точку

k :

x1; x1

x2 ;...

1;... xn

n 1

Вычислим значения функции f(x) в этих точках:

f 0 , f	1 ,... f k ,... f	n 1
Каждую	элементарную	полоску с основанием

xk заменим прямоугольником с тем же самым основанием xk и высотой f( k ) (k = 0, 1, 2,…n-1). Площадь каждого

такого прямоугольника равна f( k ) хk.

При этом криволинейная трапеция заменяется ступенчатой фигурой, площадь которой равна сумме площадей элементарных прямоугольников:

Sn f 0	x0 f 1	x1	... f k xk ... f n 1 xn 1
	n	1
или	Sn	f k	xk
	k	0

Ясно, что площадь Sn ступенчатой фигуры не равна площади криволинейной трапеции, а является лишь приближѐнным значением искомой площади. Очевидно, что это приближение будет тем более точным, чем меньше длина частичны интервалов (и больше n)

Если измельчать разбиение отрезка a, b , то число промежутков возрастает и полоски становятся уже, т.е. ломаная линия будет теснее примыкать к кривой y f (x) .

За площадь криволинейной трапеции принимают предел, к которому стремиться Sn, когда разбиение отрезка a, b делается сколь угодно мелким (если такой предел существует):

S	lim	Sn или
	max xk	0
		n	1
S	lim		f ( k ) xk	(1)
	max xk	0 k	0

Здесь max xk - наибольшая длина элементарного

отрезка.

Данное определение соответствует интуитивным представлениям о площади плоской фигуры и оно полностью оправдывается практикой.

2. Работа переменной силы

Если сила

постоянна и еѐ направление совпадает с

направлением перемещения, то работа равна A=Fs.

Пусть сила сохраняет постоянное направление, но

изменяется по величине: F=f(s).

...2 ...

Sn=N

S0=M S1

S2 ... Sk

Sk+1 ...

Рис. 9.

Разобьѐм произвольным образом путь s=MN на n частей точками s0, s1, s2,…sk, sk+1,…sn-1, sn. На каждом из частичных промежутков возьмѐм точку k (рис. 9):

s0	0	s1; s1	1	s2 ;...sk	k	sk	1,...sn 1	n 1	sk . .
	Обозначим
s0	s1	s0 ; s1	s2	s1;... sk	sk	1	sk ;... sn 1	sn	sn 1 .
Вычислим значение силы в каждой точке k :

F0 f ( 0 ); F1 f ( 1 );...Fk f ( k );...Fn 1 f ( n 1 )

Если разбиение достаточно мелкое, то сила Fk сохраняет примерно постоянное значение но элементарном отрезке

sk , sk 1 .		При	этом	элементарная		работа	равна
Ak f (	k )	sk .	Тогда работа силы при перемещении вдоль
MN примерно равна сумме элементарных работ:
			n 1
		An	f ( k ) sk		A An .
			k 0
Равенство	A	An	будет	тем точнее, чем		мельче разбиение

промежутка MN (и больше n). Работа А определяется как предел An, при условии, что разбиение делается сколь угодно мелким:

n 1

A	lim	0	f (	k ) sk	(2)
max	xk	0	k 0
			k 0

3.2. Понятие определѐнного интеграла

Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения, заданными на некоторых отрезках. Формулы (1) и (2) аналогичны друг другу в том смысле, что имеют одинаковую структуру и получены в результате выполнения однотипных действий.

Операция, приведшая к формулам (1) и (2) называется интегрированием функции на отрезке, а еѐ результат число – называется определѐнным интегралом.

Пусть произвольная функция y=f(x) непрерывна на отрезке a, b .

у0

х2

хk

...

хk+1

xn=b

х0=a

х1

Рис. 10.

Разобьѐм a, b на

n (рис.

10)

частей

произвольным

образом точками

а=x0, x1, x2,…xk, xk+1,…xn-1, xn=b.

Обозначим

x0 x1

x0 ;

x1 ;...xk

xk 1 xk ,... .

В каждом из элементарных промежутков выберем

произвольную точку	k :
xk	k xk 1 (k=0,1,…n-1) и
вычислим значение	функции f(x) в этих точках: f ( k )

(k=0,1,…n-1). Составим сумму:

n	1
I	f ( k ) xk	(3)
k	0
Эта сумма называется интегральной суммой для функции
f(x) при данном разбиении отрезка		a, b на частичные и
данном выборе промежуточных точек		k .

Интегральных сумм для данной функции и данного отрезка можно составить бесконечно много, так как они

max xk

зависят от способа разбиения отрезка a, bи выбора точек k . Пусть разбиение отрезков делается сколь угодно мелким, т.е.

0 . При этом очевидно число n элементарных

отрезков в разбиении стремиться к бесконечности, и интегральная сумма будет каким-то образом изменяться.

Определение. Если существует предел интегральной суммы (3), когда разбиение отрезка a, b делается сколь

угодно мелким, и если этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные, ни от выбора промежуточных точек k , то этот предел называется

определенным интегралом от функции f(x) на отрезке a, b и обозначается:

f (x)dx .

Здесь а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Таким образом, по определению:

n 1

f (x)dx	lim	0	f (	k ) xk .	(4)
max	xk	0	k 0
a			k 0

Из определения следует, что определѐнный интеграл – это число, зависящее от вида функции f(x) и от чисел a и b, но не зависящее от х0. Теперь в рассмотренных примерах можно записать:

	b
S	f (x)dx	f (x) 0	(5)
	a
	N
и A	f (s)ds

Из формулы (5) следует геометрический смысл определѐнного интеграла при f (x) 0 : определѐнный интеграл от

неотрицательной функции численно равен площади соответствующе криволинейной трапеции.

Из определения непосредственно вытекает, что

b
dx b		a .
a
Действительно,
b			n 1
dx	lim	0	xk b a .
max	xk	0	k 0
a			k 0
Определение (4) интеграла сделано для случая a<b.
Если a>b, то примем по определению:
b	b		a
f (x)dx	f (x)dx, а если a=b, то f (x)dx 0 .
a	a		a

Функция, для которой существует определѐнный интеграл на отрезке a, b , называется интегрируемой на этом отрезке.

Теорема: Функция f(x) непрерывная на отрезке a, b ,

интегрируема на этом отрезке.

Эта теорема даѐт достаточное условие интегрируемости. Среди разрывных функций может быть как интегрируемые, так и не интегрируемые функции.

В частности, можно доказать, что для всякой ограниченной на отрезке a, b функции, имеющей на нѐм

конечное число точек разрыва, существует определѐнный интеграл.

Вычисление определѐнного интеграла по определению

(4) очень громоздко. Таким способом пользовался Архимед. При помощи рассуждений, отдаленно напоминающих современный метод пределов, он вычислил площадь сегмента

параболы. Лишь в XVII веке Ньютон и Лейбниц указали на общий метод решения таких задач.

3.3. Свойства определенного интеграла

I. Свойства, выражаемые равенствами.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определѐнного интеграла:

b				b
Af (x)dx A f (x)dx .
a				a
Доказательство:
b						n 1
Af (x)dx		max		lim	0		Af (	k ) xk
a		max		xk	0	k	0
a						k	0
			n 1					b
A	lim	0		f (	k )		xk	f (x)dx
max	xk	0	k	0				a
			k	0				a
2. Если функции f(x)					и g(x) интегрируемы на a, b , то

определѐнный интеграл их алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

b	b		b
f (x) g(x) dx	f (x)dx			g(x)dx .
a	a		a
Доказательство:
b			n	1
f (x) g(x) dx	lim			f ( k ) g( k ) xk
a	max xk	0	k	0
a			k	0

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 136 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.24 Mб02761.pdf
#
15.11.20222.24 Mб02763.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22764.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22765.pdf
#
15.11.20222.25 Mб02768.pdf
#
15.11.20222.27 Mб02773.pdf
#
15.11.20222.28 Mб22777.pdf
#
15.11.20222.28 Mб02780.pdf
#
15.11.20222.29 Mб02784.pdf
#
15.11.20222.29 Mб12787.pdf
#
15.11.20222.3 Mб02788.pdf