Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2773

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Оказывается, что если коэффициенты действительны, то и число x k = α - iβ тоже будет корнем той же кратности.

Т.е. в этом случае комплексные корни многочлена являются комплексно – сопряжѐнными.

Рассмотрим множители:

x xk x		xk	x	i	x	i
x	i	x	i	x	2	2 x 2	2 x
2	2	x 2	px q ,		p	2 ; q	2	2 .

Следовательно, объединяя скобки, соответствующие комплексно - сопряженными корнями в выражении (12), многочлен степени n с действительными коэффициентами можно разложить только на действительные множители – линейные и квадратичные:

P x

... x2

p x

q s1

s2 ...

где, все трѐхчлены не имеют действительных корней.

Если многочлен не имеет комплексных корней, то квадратичные множители будут отсутствовать.

2.9. Дробно-рациональные функции .Простейшие дробно-рациональные функции и их интегрирование

Пусть имеется дробно -рациональная функция R(x):

a x

x 2

...

x n

R x

b x

x 2

...

x m

Если n < m,

то

дробь

правильная.

Если n m , то

неправильная. Неправильную дробно-рациональную функцию путѐм деления числителя на знаменатель всегда можно представить, в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:

R x N x	Pk	x	k m
	Pm	x

Пример: Вычислить интеграл dx. x2 1

Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую часть:

x3 x

x 2

x3dx

xdx

ln x2

Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.

Оказывается, как увидим позже, всякую правильную дробно – рациональную функцию можно представить в виде суммы простейших дробно-рациональных функций четырѐх типов.

; II .

; III .

Ax B

; IV .

;

x a

a k

x 2

px q

где A, B, р, q – действительные числа, а трѐхчлен x2 + px

+q не имеет действительных корней, т.е.

q 0 .

Проинтегрируем простейшие дроби:

d x a

dx A

Aln

x a

k d x a

x a

II .

dx A x a

a k

k 1

a k 1

III . I3

B dx

Выделим в числителе производную знаменателя

2 x

p dx

Рассмотрим отдельно второй интеграл. Выделим в знаменателе полный квадрат

x 2

arctg

; q

Окончательно получим:

Ap 1

I 3

x 2

arctg

c .

p 2

Пример .

Вычислить:

2x 2

2 dx

2x 2

1 2

2arctg x

IV. Можно доказать, что интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.

Заключение: Интегралы от простейших дробей есть функции элементарные (составленные из логарифмов, арктангенсов и рациональных функций).

2.10. Разложение правильной дробно – рациональной функции на сумму простейших дробей. Интегрирование

правильных рациональных дробей.

Пусть имеется правильная дробно-рациональная функция:

R x	Pn	x	(13)
	Qn	x

(m>n) и знаменатель еѐ разложен на действительные множители:

Q x

x x

l ... x2

p x

q s

p ...

Тогда дробь (13) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:

...

Qm x

x x1

x x

...

x x

M1x N1

M 2 x N2

...

M S

N S

p1x q1

p1x q1 2

x2 p1x q1 s

P x Q

P x

...

p2 x q2

p2 x q2 2

p2 x q2

Здесь A1, A2 ,... Ak ;

B1, B2 ,...Be ,...M1, N1, M 2 , N 2

и т.д – некоторые коэффициенты.

Без доказательства.

Практически числа A k , B k , и т.д. находят по методу

неопределѐнных коэффициентов.

Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, ровно кратности соответствующего корня.

Пример 1: Вычислить интеграл		x	2	dx .

		(x 2)2	(x 1)
		(x 2)2	(x 1)
Подынтегральная	функция	представляет			собой

рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей.

x 2	A	B	C

x 2 2 x 1	x 2 2	x 2 x 1

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.

A B C

x 2 2 x 2 x 1

A x 1 B x 2 x 1 C x 2 2

2 2 x

Bx 2

2B Cx 2

Ax A

2Bx

4Cx

2 2 x

B C x 2

A B 4C x A 2B 4C x 2

Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны:

x2		B C 0	C B		1		1
x2

x1		A B 4C 1	A 3B 1	9B 1; B		; C		;3A 4;
x1		A B 4C 1	A 3B 1	9B 1; B	9	; C	9	;3A 4;
	0	A 2B 4C 2	A 6B 2		9		9
x	0	A 2B 4C 2	A 6B 2

A 43 .

Подставим найденные коэффициенты в разложение

				x		2				4			1							1		1			1	1

		x-2 2 x 1									3 x 2 2									9 x 2 9 x 1
Окончательно получим:
					x	2			dx				4					dx				1			dx	1		dx

			x-2 2										3			x 2 2							9 x 2 9 x 1
			x-2 2			x 1							3			x 2 2							9 x 2 9 x 1
				4 1			1										1	ln	x 1					c
				4 1			1	ln				x 2					1

				3 x		2	9								9
				3 x		2	9								9
Пример															2:												Вычислить

интеграл							1											dx .

						1)(x				1)				(x2	1)
					(x	1)(x				1)				(x2	1)
Разложим дробь на простейшие
						1									A							B			Cx	D

	x 1 x 1 x 2												1		x 1 x 1										x 2	1
	A x 1 x 2						1 B x 1 x 2														1 Cx D x 2							1	.
														x 2		1 x 2						1							.
														x 2		1 x 2						1

Приравняем числители:

	A x3							x2						x 1 B x3													x2					x 1 C x3					x D x2			1 1
	x	3		A				B				C			0			4 A				1 A									1
		3																4 A				1 A						4


	x2			A				B					D		0			B					1				; C					0
	x1			A				B				C			0			B				4					; C					0
	x1			A				B				C			0							4
	x	0		A				B					D		1									1
	x																	D				2 .
																		D				2 .
		1							1						1			1				1						1				1		.

	x 4									4 x 1 4 x 1 2 x 2
	x 4						1			4 x 1 4 x 1 2 x 2																							1
Окончательно получим:
							1			dx					1						1			dx				1					1			dx	1	1	dx

					x4			1							4					x 1								4					x 1				2	x2 1
			1			ln		x			1					1	arctgx							c.
		4				ln		x			1				2		arctgx							c.
		4						x			1				2
Пример 3: Вычислить																																dx			.

																													x x2				1 2
					1										A M1x N1																	M2x N2
	x x				2			1	2						x				x		2	1			2							x2 1
	x x							1											x			1
1 A x4													2x2 1 M1x2																	N1x M2 x4							x2	N2 x3		x
	x4				A			M 2							0							A						1
	x3				A			M 2							0							A						1
	x3			N			2		0													M				2						1
							2																			2
	x2			2 A M1												M 2					0 N2							0
1				N					N			2			0							N						0
	x				1							2													1
	x	0		A				1														M1						1
	x

		1						1					x						x

x x		2	1		2			x			x	2	1		2			x2		1
x x			1								x		1
			dx							dx						xdx						xdx

	x x		2		1	2					x				x	2		1		2		x2 1
	x x				1										x			1
		ln		x			1		d (x2				1)				1			2xdx
							1		d (x2				1)				1			2xdx
						2			x		2		2			2				x2	1
						2					2		2			2				x2	1
													1
								1						1	ln(x2
		ln		x				1						1						1)	c.
		ln		x			2(x2													1)	c.
											1)		2
											1)		2

Заключение: Всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях, причѐм в результате получаются многочлены, дробно – рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.

Замечание: Чтобы интегрирование функции (13) довести до конца, нужно знать все корни многочлена Qm(x) и их кратности. В принципе метод разложения на сумму простейших дробей применим всегда, но он связан часто с необходимостью решать алгебраические уравнения высоких степеней, что не всегда возможно..

2.11. Интегрирование тригонометрических выражений

1.Универсальная тригонометрическая подстановка

Пусть надо вычислить интеграл от тригонометрической функции, рациональной относительно sinx и cosx:

R cos x,sin x dx .

(14)

Докажем, что с помощью замены переменной вычисление данного интеграла можно свести к вычислению интеграла от дробно – рациональной функции относительно t. Положим:

(15)

Выразим sinx, cosx и dx через t и dt;

2 sin

cos

2tg

sin x

;

sin

2 x

cos

2 x

t 2

cos

2 x

sin

2 x

t 2

cos x

;

sin

2 x

cos

2 x

t 2

2dt

x 2arctgt; dx

t 2

Следовательно,

sinx

; cos x

t 2

; dx

2dt

t 2

Получаем:

R cos x,sin x dx

1 t2

Под знаком интеграла получим дробно – рациональную функцию от t. Это означает, что рациональное тригонометрическое выражение всегда интегрируемо в конечном виде.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 134 5 6 7 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.24 Mб02761.pdf
#
15.11.20222.24 Mб02763.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22764.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22765.pdf
#
15.11.20222.25 Mб02768.pdf
#
15.11.20222.27 Mб02773.pdf
#
15.11.20222.28 Mб22777.pdf
#
15.11.20222.28 Mб02780.pdf
#
15.11.20222.29 Mб02784.pdf
#
15.11.20222.29 Mб12787.pdf
#
15.11.20222.3 Mб02788.pdf