Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2773

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

2.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

b
f (x)dx	F (b) F (a)	- формула Ньютона-Лейбница.(12)
a
Будем	обозначать	F (b) F (a) F ( x)	b	- двойная
Будем	обозначать	F (b) F (a) F ( x)	b	- двойная
			a
			a

подстановка.

Пример 1. Вычислить

16).

y= x 2

S=7/3

12 x

Рис. 16 .

определенный интеграл (рис.

y
	y=sinx
1			S=2
1			S=2
0

		x
		x

Рис. 17.

2 x2dx		x3	2	8	1		7	.
		x3	2	8	1		7
	3		1	3	3		3
				3	3		3
1
1
Пример 2. Вычислить определенный интеграл (рис.
17). sin xdx
17). sin xdx				cos x		0			t	2
0				cos x		0
0
Доказательство.				По условию F (x)							f (x)	x	a,b .
											x
Кроме того,	по доказанной теореме Φ(x)										f (t)dt		также

является первообразной. Но разность двух первообразных

постоянна: Φ(x)

F(x)

или

Φ(x)

F(x)

C ,

т.е.

f (t)dt

F (x)

a,b . Найдѐм с. Положим, х=а:

Тогда

f (t)dt

0 и 0

F(a)

F(a) .

Поэтому:

f (t)dt

F ( x)

F (a) .

Это

равенство

справедливо для любых x

a,b . Положим x=b:

f (t)dt

F (b) F (a)

или

f (x)dx

F (b)

F (a) .

Примеры.

arctgx

arctg1

arctg0

0 1

2 .

Получили абсурд,

так

как

терпит

разрыв

точке

х=0

применять

формулу

Ньютона-Лейбница нельзя.

3.6. Интегрирование по частям в определѐнном интеграле

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в a, b . Тогда, дифференцируя произведение получим

du(x)v(x) udv vdu.

Проинтегрируем		это		тождество	по	х	в
промежутке a, b .
b		b
udv uv	b		vdu .
udv uv	b		vdu .
	a
	a
a		a
Эту формулу надо понимать так:
b				b
v (x)u(x)dx u(x)v(x)			b	v(x)u (x)dx .
v (x)u(x)dx u(x)v(x)			b	v(x)u (x)dx .
a			a	a
			a

Формула такая же, интеграла, но в результат интегрирования.

Пример. ln(1 x)dx

0
		1	xdx
x ln(1 x)	10

			x 1


		0

что и для неопределѐнного надо подставить пределы

u	ln(1	x); du			dx	;
u	ln(1	x); du				;
				1	x
dv	dx;		v	x.
	1	1	dx
ln 2	dx		dx

			x	1
			x	1
	0	0

ln 2 x	10	ln 2 x	10 ln(1 x)	10 ln 2 1 ln 2
ln 2 x

2 ln 2		1.

3.7. Замена переменной в определѐнном интеграле b

Пусть надо вычислить f (x)dx , где f(x) – некоторая

непрерывная функция.

Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную x (t) . При этом пользуются

следующим правилом:

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:

1.	Функция f(x) непрерывна на отрезке a, b .
2.	Функции (t) и (t) непрерывны в промежутке

,	и	a	(t)	b	при	t	и
( )	a; ( )	b .
3. Сложная функция			f	(t)	непрерывна на		, .
Тогда
b
	f (x)dx	f	(t)	(t)dt			(13)

Пояснения.

1. Условия (1) и (2) обеспечивают непрерывность подынтегральных функций в левой и правой частях

формулы (13). Монотонность			(t) требуется для
существования обратной функции.
	x
	b
		x= (t)	f(c)
x			f(c)
x

a
0	t	t
	Рис. 18.

2. Условие (3) устанавливает соответствие между пределами интегрирования до и после замены переменной по формуле x (t) .

Доказательство.
Пусть F(x) является			первообразной		для f(x). По
			b
формуле Ньютона-Лейбница			f (x)dx	F (b)	F (a). Тогда
			a
f (t)	(t)dt	f (t) d (t)		F (t)
f (t)	(t)dt	f (t) d (t)		F (t)
F ( )	F ( )	F (b) F (a)

(форма первообразной не зависит от выбора аргумента интегрирования. Раз правые части этих равенств равны, то равны и левые части, что и доказывает формулу (13)).

Замечание. При вычисление неопределѐнного интеграла с помощью замены переменной в найденной первообразной Φ(t) приходилось возвращаться к старой

переменной х. Если в определѐнном интеграле наряду с переменной интегрирования заменить и пределы, то надобность возвращения к исходной переменной отпадает.

Примеры.

						t 2
4				x	t; x	t 2	2			2
4	dx						2	2tdt		2	t 1 1
	dx		dx		2tdt			2tdt	2		t 1 1	dt
									2			dt
1		x	x1		0;t1	0	1 t			0	t 1
0			x2		4;t2	2	0			0
			x2		4;t2	2

2				2	dt
2 dt								2t		2		2 ln		1 t	2		4 2 ln 3
										2					2
					t 1					0					0
0				0	t 1					0					0
0				0
2.
a							x		a sin t				dx		a costdt
	a 2			x2 dx
							x1				0 t1		0 x2				a;t2
0							x1				0 t1		0 x2				a;t2		2
0																			2

2													2
		a 2		a 2 sin2 ta costdt										a 2	cos2 tdt
0													0

2											2								2
2			1	cos2t					a				sin 2t			2		a
a 2
						dt						1

				2				2					2			0	4
				2				2					2				4
0

ln 2							e x		1			t; x		ln(t 2		1)
ln 2										2t
		e x 1dx				dx				2t			dt;

0									1		t 2
									1		t 2
						x1			0 t1 0; x2						ln 2 t2		1
						x1			0 t1 0; x2						ln 2 t2		1
1			2t			1		t 2	1			1
	t		2t	dt	2			t 2	1			1	dt
	t		t 2	dt	2			t 2					dt
0	1		t 2			0		t 2			1
0						0
	1			1	dt
2			dt							2 t		arctgt			10	2 1		.

				0 1	t	2											4
	0			0 1	t

3.8. Несобственные интегралы

При

определении

интеграла

f (x)dx

предполагалось, что :

1.промежуток a, b конечен.

2.функция f(x) определена и непрерывна в a, b

(интегрируемость в смысле Коши)

Рассмотрим теперь интегралы, для которых эти условия нарушаются.

1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы I рода).

Пусть функция f(x) непрерывна в промежутке a,.

На

данном

промежутке

не

существует

определѐнный

интеграл, поскольку

нельзя

разбить

промежуток

на n частей конечной длины.

Рис. 19.

Тем не менее интегралы с бесконечными пределами встречаются как в математике, так и в приложениях. Однако это уже иные интегралы.

Рассмотрим f(x) на a, N (рис. 19). Она интегрируема на этом отрезке:

(N ) f (x)dx .

(14)

Определение. Несобственным интегралом от

функции f(x) по бесконечному		промежутку a x
называют предел интеграла (14) при N			:
		N
f (x)dx	lim	f (x)dx .
	N
a		a

Если предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Примеры.

lim

arctgx

0 1

Nlim arctgN arctg0

Интеграл сходится.

sin xdx

lim

sin xdx

lim

cos x

lim 1 cos N

Предел не существует – интеграл расходится.

3.dxp . При каких р интеграл сходится и при каких

1 x

расходится?

1) Пусть p>1.

p dx

lim

x p

lim

( p 1)N p 1

p 1

Интеграл сходится.

2) Пусть p<1.

p dx

x p

1 p

Интеграл расходится.

3) р=1

ln x

Интеграл расходится.

P<1

P=1

P>1

Рис. 20.

Все три кривые

(p>1, p=1, p<1) имеют своей

x p

горизонтальной асимптотой ось Ох (рис. 20).

Но если при p>1 площадь под кривой конечна, то при

p 1 она бесконечна, т.к. в этом случае функции	y	1

		x p
		x p

убывают недостаточно быстро при x . Большинство свойств определѐнного интеграла (кроме оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.

Если f(x) непрерывна на промежутке

, a , то

аналогично:

a a

f (x)dx	lim	f (x)dx .
	N
		N
Если f(x)	непрерывна		на всей числовой оси, то
(рис.21)
	a
f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx .




0		хx
	a

Рис. 21.

Интеграл, стоящий слева, называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части.

Часто бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20222.24 Mб02761.pdf
#
15.11.20222.24 Mб02763.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22764.pdf
#
15.11.20222.24 Mб22765.pdf
#
15.11.20222.25 Mб02768.pdf
#
15.11.20222.27 Mб02773.pdf
#
15.11.20222.28 Mб22777.pdf
#
15.11.20222.28 Mб02780.pdf
#
15.11.20222.29 Mб02784.pdf
#
15.11.20222.29 Mб12787.pdf
#
15.11.20222.3 Mб02788.pdf