2160
.pdfСпособы построения разверток призмы, пирамиды. Построение на развертке принадлежащих поверхности многогранника точек, проекции которых заданы на чертеже. Построение линии пересечения многогранника плоскостью на развертке.
Задача 16. Построение проекций призмы, пирамиды, усеченной проецирующей плоскостью. Определение видимости усеченного многогранника. Построение натуральной величины фигуры сечения способами вращения или введения дополнительной плоскости проекций. Построение развертки усеченной призмы (пирамиды).
Задание 9. Пересечение тел вращения плоскостью
Задача 17. Построение проекций цилиндра, конуса, усеченного проецирующей плоскостью. Определение видимости усеченного тела. Классификация фигур сечения цилиндра и конуса. Определение вида и натуральной величины фигур сечения.
Способы построения разверток цилиндра, конуса. Построение точек, принадлежащих поверхности цилиндра и конуса на развертке. Построение линии сечения цилиндра и конуса плоскостью на развертке.
Задача 18. Построение проекций цилиндра и конуса, усеченного плоскостью общего положения. Построение дополнительной проекции заданного тела и секущей плоскости на плоскость проекций, но отношению к которой плоскость сечения является проецирующей, с целью упрощения построений и определения вида сечения. Построение натуральной величины фигуры сечения способами вращения, дополнительных плоскостей проекций. Построение развертки усеченного цилиндра, конуса.
10
Задание 10. Взаимное положение прямой и поверхности
Задачи 19, 20. Определение взаимного положения прямой и поверхности цилиндра, конуса, тора, шара по их чертежу.
Метод решения задачи по определению взаимного положения прямой и поверхности с помощью вспомогательной секущей плоскости-посредника. Выбор наиболее целесообразной плоскости посредника. Построение проекций точек пересечения прямой с. различными поверхностями, определение видимости прямой относительно поверхности. Применение способов преобразования чертежа в построениях.
Задание 11. Взаимное пересечение поверхностей
Задача 21. Построение проекции пересекающихся многогранников (призма, пирамида).
Способ построения проекций линии пересечения многогранников, при котором вершины ломаной линии пересечения определяются как точки пересечения ребер одного тела с гранями другого. Способы определения видимости точек и отрезков линии пересечения. Определение видимости ребер и граней пересекающихся многогранников.
Задача 22. Построение проекций пересекающихся многогранников (призма, пирамида) с телами вращения (цилиндр, конус, шар, тор).
Способ построения проекций линий пересечения с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Выбор секущих плоскостей, «опорные» и «дополнительные» точки линий пересечения. Определение видимости, «точки видимости» и точки касания проекций линий пересечения к очерковым линиям заданных тел. Классификация линий пересечения многогранников и тел вращения.
11
Задание 12. Взаимное пересечение поверхностей
Задача 23. Построение проекций взаимно пересекающихся тел вращения (цилиндр, конус, шар, тор).
Применение способа вспомогательных секущих плоскостей для построения точек, принадлежащих линиям пересечения. Выбор секущих плоскостей. Построение «опорных», «дополнительных», «точек видимости» и точек касания проекций линий пересечения к очерковым линиям заданных тел. Определение видимости очерковых линий пересекающихся тел.
Задача 24. Построение проекций взаимно пересекающихся тел вращения (цилиндр, конус, шар, тор).
Способ вспомогательных секущих сфер с постоянным центром (концентрических). Линии пересечения соосных тел вращения. Применение сферы в качестве секущей поверхно- сти-посредника. Необходимые условия для применения способа секущих сфер. Построение «опорных» и «дополнительных» точек линии пересечения способом секущих сфер. Определение минимального и максимального радиуса сфер посредников. Определение видимости линий пересечения и очерковых линий пересекающихся тел.
Способ вспомогательных секущих сфер с переменным центром эксцентрических сфер. Условия применения способа. Построение точек линии пересечения и определение видимости.
12
2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
НГ является одним из разделов геометрии, в котором пространственные формы (совокупности точек, линий, поверхностей) с их геометрическими закономерностями изучаются в виде их изображения на плоскостях.
Как и в любой другой области математики, В НГ для упрощения записи условий и решения задач принята система условных обозначений. Запишем основные из них.
А, В, С, D 1, 2, 3, 4 a, b, c, d
,, , 
1, 2, 3
S
x, y, z A1, a1, 1
A2, a2, 2
,
,
точки
линии плоскости, поверхности
плоскости проекций центр проецирования координатные оси
проекции точек, линий, плоскостей на горизонтальную плоскость 1 проекции точек, линий, плоскостей на горизонтальную плоскость 2 совпадение параллельно перпендикулярно принадлежит включение
и
или
любой
следовательно
объединение
пересечение
13
2.1. Метод проекций
Отображение геометрической фигуры на плоскость можно получить путем проецирования ее точек на эту плоскость.
Центральное проецирование
Дана плоскость проекций 1 и точка S (рис.1).
|
S1 |
|
S |
B |
A |
|
|
C |
A1 |
B1 
B1=C1
1
Рис. 1. Центральное проецирование
Возьмем произвольную т. А. Через заданные т. S и т. А проведем прямую SA и отметим т. А1 в которой прямая SA пересекает плоскость 1.
1 – плоскость проекции S – центр проекции
A1 – центральная проекция т. А на плоскость 1 SA – проецирующая прямая.
Аналогично построим центральную проекцию точки В. Теперь возьмем т. С, которая лежит на проецирующей
прямой SB и увидим, что ее центральная проекция С1 не дает возможности судить о положении самой точки в пространстве. Для этого нужно иметь два центра проецирования. Введем S1.
14
Параллельное проецирование
Параллельное проецирование – это частный случай центрального проецирования, когда центр проецирования S1 удален в (рис. 2).
Полученные проекции называются параллельными.
S1
S2
В
В
В1 1
Рис. 2. Параллельное проецирование
Основные свойства параллельного проецирования
1.Проекция точки на плоскость есть точка.
AA1
2.Проекция прямой линии на плоскость есть прямая
l l не |
1 : l |
l1 |
3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит этой линии:
A l A1 l
4.Если отрезок прямой линии делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией точки в том же отношении.
5.Точка пересечения проекций двух пересекающихся прямых линий является проекцией точки пересечения этих линий.
15
6.Проекция отрезков параллельных прямых параллельны и их длины находятся в таком же соотношении, как и длины проецируемых отрезков.
7.Проекции двух скрещивающихся (непересекающихся) прямых линий в зависимости от направления проецирования могут или пересекаться или быть параллельными.
8.При ортогональном проецировании прямой угол проецируется без искажения (с прямым углом), если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.
9.Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения.
10.При параллельном перемещении фигуры или плоскости проекций, изображение фигуры на этой плоскости не изменяется.
Ортогональное проецирование
Это частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций. Для определения т. А в пространстве нужно
иметь |
две проекции в двух направлениях. Введем вторую |
||
плоскость |
2 так, чтобы 2 |
1. Спроецируем ортогонально т. |
|
А на |
1 и |
2 (рис.3). |
|
А2
А
А1
1
Рис. 3. Ортогональное проецирование
16
Свойство. Каждой точке пространства будет соответствовать пара точек на полях проекций.
Обратное свойство. Упорядоченной паре точек полей проекций соответствует единственная точка пространства.
Это свойство является фундаментальным, т.е. составляющим основу построения проекционного чертежа.
2.2. Эпюр Монжа
Изображения пространственных предметов на плоскости в 2-х проекциях рассматривается как результат совмещения 2-х взаимноперпендикулярных плоскостей проекций.
Положение точки в пространстве может быть определено, если будет задана какая-либо координатная система. Наиболее удобной является декартова система координат (рис. 4).
|
|
|
|
Z+ |
|
|
|
II |
3 |
VI |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 I |
|
V |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
VII |
|
X+ |
III |
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV |
|
|
VIII |
|
|
|
|
|
|
Рис. 4. Декартова система координатY+
1 – горизонтальная плоскость проекций
2 – фронтальная плоскость проекций
3 – профильная плоскость проекций
Оси: X – абцисс, Y – ординат, Z – аппликат. Точка О – начало координат.
17
Плоскости проекций делят пространство на 8 октантов. При отчете координат точки и данном направлении осей
получим:
Октант |
X |
Y |
Z |
Октант |
X |
Y |
Z |
I |
+ |
+ |
+ |
V |
- |
+ |
+ |
II |
+ |
- |
+ |
VI |
- |
- |
+ |
III |
+ |
- |
- |
VII |
- |
- |
- |
IV |
+ |
+ |
- |
VIII |
- |
+ |
- |
Эпюр – чертеж, составленный из 2-х или 3-х связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры. Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей 1 и 2 с 3 (рис. 5).
Z
2, ( 1, |
3) |
|
3, ( 1, 2) |
X |
0 |
1, ( 2, 3)
Y
Рис. 5. Плоскости проекций на эпюре Монжа
2.3. Ортогональная проекция точки
Пусть дана в пространстве т. А и три взаимно перпендикулярных плоскости 1, 2, 3. Положение т.А определяется тремя координатами (x, y, z), показывающими, на какое расстояние эта точка отдалена от плоскости проекций (рис. 6).
18
A2
A
2
X |
A1 |
1 |
Z
|
|
|
|
Z |
||
A3 |
A2 |
|
A3 |
|||
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
3 |
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
||
|
X |
0 |
|
|
||
|
1 |
k |
0 |
A1 |
|
|
|
|
|
Y |
Y |
Рис. 6. Комплексный чертеж точки
АА1 - горизонтально-проецирующая прямая; АА2 - фронтально-проецирующая прямая; АА3 – профильно-проецирующая прямая.
Две проецирующие прямые определяют проецирующую плоскость.
Чтобы получить эпюр т. А преобразуем пространственный макет. Фронтальную проекцию т. А оставим на том же месте, а горизонтальную и профильную – развернем до совмещения 1 и 3 с плоскостью 2.
Связь с профильной проекцией может быть установлена с помощью дуги или постоянной прямой k эпюра Монжа, для этого проводят биссектрису угла.
Итак, чтобы определить положение точки в пространстве, необходимо знать три ее координаты x, y, z: А1(x, y), А2(x, z), А3(y, z).
Свойство. Положение точки в пространстве вполне определяется положением двух ее ортогональных проекций.
19