1491

са электромагнита Mэм. Исходные данные: сила притяжения якоря к сердечнику Fz, допустимая относительная погрешность определения силы ε(Fz ),

зазор δ, длина якоря l. Требуется определить магнитодвижущую силу катушки iw, геометрические размеры электромагнита R1, R2, R3, h1, h2, l1, обеспечивающие заданную силу Fz при минимальной массе Mэм и известной погрешности ε(Fz ).

Рис. Эскиз электромагнита с обозначением размеров: 1 – намагничивающая катушка; 2 – сердечник; 3 – якорь

Масса электромагнита Mэм на основании рисунка определяется по формуле

где ρст, ρм – плотности стали и меди соответственно.

Для того чтобы в каждом элементе магнитной системы электромагнита магнитная индукция B была одинакова, сечения элементов должны иметь одинаковую площадь. На основании этого положения составим дополнительные условия:

Ограничения на силу притяжения представим в виде

где Fzp – вычисленное значение силы притяжения Fz.

Силу притяжения будем рассчитывать по формуле

ватывающая якорь (или сердечник) и лежащая в среде с µ0; n – нормаль к поверхности S. Нас интересует z-состав-

ляющая силы Fzp = (Fp ,ez ).

Для определения Fp необходимо

решать уравнения плоскомеридианного магнитного поля, которые дополняют математическую модель магнитной системы электромагнита. При этом принимаем допущения: зависимость магнитной индукции от напряженности магнитного поля B(H) однозначна; среды изотропны. Начальное значение магнитной индукции в зазоре принимаем равным Bδ(0) =1 Тл.

Исключая с помощью соотношений

(2)–(5), (8), (9) параметры R1, R2, R3, h1, h2, l, l1, получим зависимость

Mэм = f (Sп, Sок, h2 ) .

Рассматривалось два метода оптимизации: метод множителей Лагранжа и лексикографический метод упорядочения. Применение метода Лагранжа к решению рассматриваемой задачи затруднено из-за наличия достаточно сложного ограничения (6). В связи с этим далее применяется второй метод. Ограничение

(6) преобразуем в целевую функцию вида

Таким образом, приходим к задаче с двумя критериями, которые ранжируем следующим образом:

J2 = Mэм .

Далее используем лексикографический метод упорядочения [2], модифицированный в связи с особенностями задачи: первая целевая функция зависит в основном от Sп и Sок, вторая – от h2.

Определим начальные значения Sп(0)

и Sок(0) , используя приближенные форму-

лы теории электрических аппаратов. Полагая магнитную проницаемость ферро-

а затем начальные приближения других параметров:

R3(0) = R2(0)2 +(R1(0) +l(0) )2 .

Алгоритм решения обратной задачи для каждого n = 0,1, 2, ... состоит из сле-

дующих этапов:

1. Решаем прямую задачу расчета стационарного магнитного поля с пара-

метрами iw(n), R1(n), R2(n) , R3(n) h1(n) , h2(n) , l(n)

методом конечных элементов. В результате получим распределение магнитного поля, далее определим силу Fzp по фор-

муле (7).

2. Вычисляем значение первой целевой функции, подлежащей минимизации:

J1 = Fzp(n) − Fz (1+ε(Fz )) 2 ,

и проверяем выполнение условия

3. Если условие (13) выполняется, то вычисляем искомое значение Mэм по формуле (1). Если условие (13) не выполняется, то переходим к этапу 4.

4. Вычисляем следующие приближения: iw(n+1) (Sок(n+1) ) и Sп(n+1) по формулам метода градиентного спуска:

iw(n+1) = iw(n) −t1 ∂∂(J1(n)) , iw

Sп(n+1) = Sп(n) −t2 ∂∂(J1(n))

Sп

где t1, t2 – шаги.

Составляющие gradJ1 вычисляются

путем решения прямых задач расчета стационарного магнитного поля.

5. Вычисляем h2(n+1) , решая уравнение dMэм dh2 = 0 с новыми значениями

iw(n+1) и Sп(n+1) .

6.Вычисляем остальные параметры по формулам (12) с заменой верхнего индекса (0) на (n + 1).

7.Переходим к этапу 1.

Рассмотрим пример реализации предлагаемого метода оптимизации. Пусть требуется найти оптимальные размеры электромагнита броневого типа,

при минимальной массе Mэм. Материал сердечника и якоря – сталь марки Steel1010; начальная индукция в зазоре Bδ =1 Тл, плотность тока в обмотке уп-

равления j = 3·106 А/м2, ρст = 7800 кг/м3,

ρм =8900 кг/м3, kв =1,5, kз = 0,7.

Вычисляем по формуле (11) Sп =168 10−6 м2, принимая Sп = πR12 м2, определяем R1(0) = 7,3 10−3 м. Решая урав-

нение (1), получаем h2(0) = 96,25 10−3 м. Найдем другие параметры по фор-

Зная начальные значения параметров, перейдем к их уточнению путем решения обратных задач.

На шестой итерации определены

полученных параметров имеем J1(6) = 0,06 и J1(6) < ε2 (Fz ) Fz2. Решение задачи завершено. Принимаем рассчитанные параметры за искомые.

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

Предложен метод параметрического синтеза электромагнитов броневого типа минимальной массы. Метод основан на решении обратной задачи стационарного магнитного поля и преобразовании ограничения на силу притяжения в целевую функцию. Минимизация последней выполняется численным методом градиентного спуска. Минимизация второй целевой функции (массы электромагнита) осуществляется аналитически. Целевые функции ранжируются по важности.

В методе используется модификация лексикографического метода упорядочения, учитывающая особенности объекта проектирования: каждая целевая функция зависит от ограниченного числа параметров объекта.

Метод отличается высокой эффективностью и может быть использован для проектирования электромагнитов других типов.

Список литературы

1.Бахвалов Ю.А., Горбатенко Н.И., Гречихин В.В. Обратные задачи электротехники: монография. – Новочеркасск: Изд-во журнала «Известия вузов. Электромеханика», 2014. – 211 с.

2.Корнеенко В.П. Методы оптими-

зации. – М.: Высш. шк., 2007. – 664 с.

3.Самарский А.А., Вабищевич Л.П. Численные методы решения обратных задач математической физики. – М.:

ЛКИ, 2009. – 480 с.

183

Энергоэффективные приемо-сдаточ- ные испытания асинхронных машин могут проводиться методом взаимной нагрузки в системе двигатель – генератор с соединенными валами и рекуперацией энергии в сеть, где асинхронный двигатель подключен к преобразователю частоты (ПЧ) с регулировкой частоты питающего напряжения, а асинхронный генератор включен на сеть постоянной частоты. С возрастанием мощности испытуемых асинхронных машин и возможными более тяжелыми последствиями неверных решений становится не-

обходимым предварительное математическое моделирование, расчетное и экспериментальное исследование работы таких систем.

Моделирование системы испытаний асинхронный двигатель – асинхронный генератор может быть выполнено на разном уровне. В работе [1] предложено осуществлять моделирование двухмашинного агрегата с использованием общих соотношений для асинхронных машин без учета насыщения, изменения сопротивлений машин с изменением режима работы и нагрузки, несинусои-

дальности выходного напряжения ПЧ. Корректное моделирование установившихся и динамических процессов в системе асинхронные двигатель – генератор требует одновременного совместного использования моделей и генератора, и двигателя с их взаимоувязкой по результирующему моменту на валу. Разработка уточненных взаимосвязанных моделей машин в такой системе целесообразна на основе теории электромагнитного поля при реализации динамической взаимосвязи нескольких двухмерных полевых моделей асинхронных машин, работающих с общим валом [2].

Электромагнитное поле в электрической машине в плоскопараллельной постановке описывается уравнением, являющимся следствием системы уравнений Максвелла:

где jcт – вектор сторонней плотности тока; γ – удельная электропроводность;

v – вектор скорости проводящих частей, движущихся в электромагнитном поле; µ – магнитная проницаемость (переменная величина, функция напряженности);

S – сечение проводящего стержня; A – векторный магнитный потенциал, определяемый по величине индукции В соотношением

При конечно-элементном моделировании электромагнитных полей в обеих машинах значение индукции (2) и плотности тока в пределах каждого отдельного конечного элемента расчетной области представляются неизменным. Для того чтобы описать полную картину поля, необходимо решить систему, со-

стоящую из уравнений вида (1), размерность которой равна числу конечных элементов. Для упрощения решения уравнения (1) частная производная от векторного магнитного потенциала по времени представляется в виде конечной разности

∂A = Ai − Aj . ∂t ∆t

Вращение вала, общего для обеих машин, учитывается изменением угла поворота вала, что приводит к изменениям угловых положений роторов и в двигателе, и в генераторе. Каждый раз при изменении угла поворота вала меняется геометрия расчетных областей двигателя и генератора, что приводит к необходимости многократного и связанного перестраивания сеток конечных элементов двигателя (Д) и генератора (Г) на каждой итерации связанного расчета электромагнитных полей в обеих машинах (рис. 1).

Рис. 1. Конечно-элементная сетка

вдвухмашинном агрегате

Сэтой целью уравнение (1) дополняется уравнением движения вала при действии на вал электромагнитных моментов двигателя Мд, генератора Мг, статического момента Мст с моментами инерции Jд и Jг при угловой частоте

вращения вала ω:

Mд + Mг = Mст −(Jд + Jг ) ddωt ,

в котором производная от угловой скорости ω по времени тоже выражена в конечно-разностном виде.

185

Величины электромагнитных моментов машин определяются через интегрирование поверхностной плотности электромагнитной силы [3]. Опуская математические выкладки, приведем конечный вид уравнения движения роторов двух машин:

где rд и rг – радиусы-векторы текущих

точек роторов двигатели и генератора. Интегрирование ведется по поверхностям окружающей ротор соответствующей машины, проходящим через центр воздушного зазора.

Решение уравнения поля в частных производных методом конечных элементов на непостоянной сетке сводится к циклическому алгоритму, на каждой итерации которого осуществляется решение уравнения (1) на постоянной в пределах каждой итерации сетке. При разработке моделей асинхронных генератора и двигателя было принято допущение об отсутствии вихревых токов в магнитопроводах статора и ротора.

Для определения токов переходного процесса и учета лобовых сопротивлений обмоток статора и ротора в соответствии со схемой замещения, представленной на рис. 2, необходимо совместное с полевым решение уравнения баланса напряжений фаз

где rл и Lл – сопротивление и индуктивность лобовой части обмотки статора.

Рис. 2. Схема замещения фазы обмотки статора

Моделирование электромеханических процессов в системе двигатель – генератор, работающих на общий вал, проведено с помощью современных программных комплексов на основе взаимоувязанных полевых моделей генератора и двигателя [4].

Проверка адекватности модели всей системы была выполнена на экспериментальной установке, изображенной на рис. 3. Экспериментальный стенд, состоит из двух асинхронных двигателей АИРМ63В4У3, жестко закрепленных на станине, соединенных валами с помощью кулачковой муфты. На одном валу

смашинами находится инкременталь-

ный энкодер Autonics E40S6-500-6-L-5

сразрешающей способностью 500 импульсов на оборот, служащий датчиком частоты вращения двухмашинного агрегата. Одна из машин, работающая двигателем, подсоединена к питающей сети через ПЧ марки Schneider Electric ATV312H037M2 с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) напряжения и тормозным резистором.

Рис. 3. Экспериментальная установка для исследований электромеханических процессов в системе асинхронный двигатель – асинхронный генератор

186

ПЧ задает режим работы двигателя, изменяя частоту и амплитуду напряжения на входе двигателя. Вторая машина подключена в сеть на сеть постоянной частоты через трехфазный регулируемый автотрансформатор. Измерения электрических величин производятся на двух машинах комплектом амплитудных датчиков-преобразователей, входящих

всостав измерительного оборудования стендов ЭМ-СК. Данные, полученные с датчиков, обрабатываются c помощью платы обработки сигнала National Instruments PCI-6023E, имеющей воз-

можность в реальном времени опрашивать восемь аналоговых и восемь цифровых каналов. Данные, полученные с платы, обрабатываются в системе обработки результатов испытаний LabVIEW 2011. Также в цепь каждой машины был включен аппаратный измеритель активной и реактивной мощности DM2346AB.

Для проверки работы модели с помощью экспериментальной установки были определены рабочие характеристики. Двигатель нагружался путем увеличения частоты питающего напряжения. Вторая машина, связанная с двигателем общим валом, работала на сеть постоянной частоты и с увеличением частоты напряжения двигателя переходила в генераторный режим. Двигатель нагружался до мощности немного выше номинальной. В режиме реального времени фиксировались показатели текущего режима работы: ток, мощности, полезная и потребляемая для генератора и для двигателя, момент на валу двухмашинного агрегата, скорость вращения вала. Рассчитывались энергетические показатели: КПД, коэффициенты мощности двигателя и генератора, а также сумма потребляемой мощности двигателя и отдаваемой генератора.

Потребляемая двухмашинным агрегатом мощность определяется потерями

вобеих машинах, увеличивающимися

пропорционально переменным потерям машин. Экономия энергии достигается за счет отдачи генератором в сеть мощности. Отмечено, что питание от ПЧ увеличивает потребляемую активную мощность двигателя в среднем на 6–8 %, реактивную – на 8–10 %.

На рис. 4 и 5 представлены изменения тока статора и потребляемой мощности двигателя при изменении полезной мощности, полученные экспериментально и расчетом в полевой модели. Зависимости имеют классический для асинхронных машин характер. Зависимость, рассчитанная в полевой модели, совпадает с экспериментом с погрешностью не более 7 %.

Рис. 4. Зависимость тока статора двигателя от полезной мощности при испытаниях методом взаимной нагрузки

Рис. 5. Зависимость потребляемой мощности двигателя от полезной мощности

при испытаниях методом взаимной нагрузки

На рис. 6 представлены результаты экспериментального и расчетного, на основе полевых моделей, исследований фазного тока статора двигателя при но-

187

В работе рассматривается математическая модель индукционного нагревателя цилиндрических заготовок на основе магнитных и тепловых схем замещения [1–3]. Математические процедуры реализованы в пакете MathCAD и не требуют больших вычислительных ресурсов. С этих позиций модель может успешно конкурировать с другими численными моделями, например [4, 5], а также основанными на методе конеч-

ных элементов (Comsol Multiphysics, Elcut и др.), применяемыми в инженерной практике.

В качестве примера был рассмотрен процесс нагрева цилиндрической стальной заготовки диаметром 0,13 м, длиной индуктора 2 м и его внутренним диаметром 0,2 м. При построении детализированной магнитной схемы замещения выделено 56 участков по длине в соответствии с количеством витков в обмотке

индуктора и 24 участка в левой и правой краевых зонах. По радиусу установки выделено 30 слоев, включая зону обратного замыкания магнитного потока за пределами индуктора (рис. 1).

Рис. 1. Общий вид индуктора с загрузкой без обратного магнитопровода

Для электрических и магнитных схем замещения нагревателя в соответствии с работами [2, 3] записываются матричные уравнения электрического и магнитного равновесия.