1491

Методика расчета параметров фильтра, изложенная в работе [2], использует упрощенный метод на основе резонансной частоты LC-контура. Предложенный же метод позволяет варьировать параметры фильтра исходя из текущих потребностей и возможностей, а также заданных критериев при расчете.

Первым этапом был произведен выбор индуктивности. Как следует из работ [2] и [3], для фильтра можно использовать индуктивность вторичных обмоток разделительных трансформаторов (установленных после ПЧ), уже установленные сглаживающие L-фильтры или уже имеющиеся неэксплуатируемые дроссели. В таком случае для дальнейших расчетов берется значение уже имеющейся индуктивности.

Во всех остальных случаях предлагается выбирать индуктивность исходя из номинального падения напряжения ∆U = 5 % [5]. Таким образом, индуктивное сопротивление

Было получено значение индуктивности Lф =12 мГн.

Для определения минимального значения емкости был задан коридор максимально допустимых значений высокочастотных гармоник тока в размере 10 % от номинального значения [4].

Сопротивление индуктивности в комплексном виде для различных частот определяется в следующем виде:

Емкостное сопротивление второго элемента

Полное сопротивление нагрузки с учетом сопротивления кабеля Rк

где n – количество секций линейного двигателя, n = 4; r – активное сопротивление одной секции двигателя; XН – реактивное сопротивление одной секции двигателя при частоте 5 Гц.

Расчетные параметры схемы: r = = 1 Ом; f = 1 Гц; XН = 0,21 Ом.

графики зависимостей токов и напряжений от изменения емкости фильтра U, I = = f(С), приведенные на рис. 2.

Исходя из того, что ток высокочастотных гармоник через конденсатор Ic ≤ 10 % от Iном, проведен коридор приемлемых значений.

Выбрано значение емкости С = = 6,2 мкФ, находящееся на границе заданного коридора (рис. 2, т. А). Далее необходимо произвести перерасчет ем-

151

костей для схемы соединения в треугольник, так как расчет производился для фазного тока в звезде. В таком случае емкость конденсатора C = 2,2 мкФ С учетом выбранных параметров ре-

зонансная частота фильтра

Анализ частотной характеристики, изображенной на рис. 3, показывает, что для эффективной работы фильтра следует выбирать частоту модуляции частотного преобразователя не менее fм = 2 кГц, так

как половина от модулирующей частоты будет находиться выше резонансной частоты фильтра. При частоте fм =1 кГц

эффективность фильтра будет низкой [1], так как f2м < fрез.

Одним из современных методов исследования электромагнитных процессов электрических машин (ЭМ) является математическое моделирование. Этот метод позволяет предсказать характер протекания электромагнитных процессов на стадии проектирования ЭМ без выполнения опытных образцов.

Математическое моделирование включает в себя следующие этапы:

–математическое описание электромагнитных процессов, протекающих в ЭМ;

–выбор рациональных методов решения полученной системы дифференциальных уравнений;

–решение системы уравнений, описывающей электромагнитные процессы ЭМ с учетом допущений и вариацией параметров модели;

–анализ полученных результатов и выдача необходимых рекомендаций.

Развитие методов математического моделирования происходило в два этапа:

1.На первом этапе система дифференциальных уравнений основывалась на анализе электрических цепей ЭМ, эквивалентных цепям исследуемой машины.

2.Современные методы математического моделирования основываются на решении уравнений электромагнитного поля.

В основу математических моделей ЭМ, строящихся на базе анализа электрических цепей, было положено априорное положение об известном характере распределения магнитного поля в воздушном зазоре, определяемом распределением токовой нагрузки статора.

Недостатком математических моделей, построенных на основе электрических цепей, является необходимость иметь известными параметры схем за-

мещения, которые определяются либо в процессе эксперимента, либо путем дополнительных расчетов, либо приближенно на основании практического опыта. Другим недостатком этих моделей является невозможность нахождения в процессе моделирования дифференциальных параметров, таких как магнитная индукция в элементах магнитопровода ЭМ, плотности распределения электромагнитных потерь, определяющих нагрев отдельных частей машины, и т.д. При моделировании в данном случае используются и рассчитываются интегральные величины: магнитные потоки, токи, ЭДС, мощности и т.п.

Более совершенными являются современные методы математического моделирования, основанные на решении уравнений электромагнитного поля ЭМ.

При таком подходе область существования этих полей рассматривается как сплошная среда, обладающая определенными магнитными и электрическими свойствами.

Если в каждой точке исследуемой области задано значение физической величины, то говорят, что задано поле этой физической величины. Следовательно, исследование магнитных и электрических полей связано с определением значений этих величин в каждой точке исследуемой области.

Эти методы не требуют знания параметров ЭМ, более того, они могут быть рассчитаны в процессе моделирования по результатам расчетов магнитных и электрических полей. Для моделирования электромагнитных процессов необходимо иметь пространственное распределение магнитных и электрических свойств элементов ЭМ. По результатам расчета магнитных и электрических полей могут быть определены дифференциальные параметры машины, пространственное интегрирование кото-

рых позволяет рассчитать интегральные величины, определяющие свойства ЭМ.

Недостатком этого способа математического моделирования является его трудоемкость, обусловленная сложностью решения систем уравнений в частных производных. Правда, бурное развитие вычислительной техники и методов вычислений значительно ослабляет этот недостаток.

При исследовании электромагнитных процессов электрических машин приходится вводить ряд упрощающих допущений, так как точно описать эти процессы практически невозможно. Для решения подобных задач стремятся значительно упростить математическое описание процессов. Вместе с тем следует отразить их наиболее существенные стороны, чтобы была обеспечена необходимая точность. Часто для исследования электромагнитных процессов используют упрощенные модели, которые по мере получения определенных результатов постепенно усложняются.

При построении модели асинхронного конденсаторного двигателя с массивным ротором приняты следующие упрощающие допущения:

1.Решение полевой задачи, описывающей магнитное поле конденсаторного двигателя с массивным ротором (КДМР), производится в плоскопараллельном приближении. Указанное допущение не вносит существенной погрешности в расчеты, так как торцевые поверхности массивного ротора с целью уменьшения влияния поперечного краевого эффекта покрыты слоем меди.

2.Материал ротора однороден, изотропен, и его параметры не зависят от тангенциальной координаты.

3.Статор не имеет зубцов, а их влияние учитывается коэффициентом Картера. Материал ярма статора неэлектропроводен, и его магнитная проницае-

155

мость также не зависит от тангенциальной координаты.

4.На статоре двигателя уложена симметричная обмотка, питаемая от источника синусоидального напряжения стандартной частоты. Токи статора расположены на его поверхности в виде поверхностного слоя.

5.На первом этапе исследований не учитывается насыщения ротора. Здесь принято во внимание то обстоятельство, что материал ротора представляет собой смесь ферромагнитной и немагнитной составляющих, магнитная проницаемость которой имеет относительно небольшие величины и слабо зависит от величины магнитной индукции. При дальнейших исследованиях от этого допущения можно отказаться.

Для исследования магнитного поля КДМР необходимо использовать трехмерную модель, позволяющую получать его распределение по трем координатам. Использование одномерной модели в данном случае не представляется возможным, глубина проникновения магнитного поля в тело ротора оказывается меньше радиального размера ротора. Кроме того, с изменением частоты вращения глубина проникновения изменяется, что необходимо учитывать при использовании одномерной модели.

Математическое описание магнитного поля производится в цилиндрической системе координат (R, φ, z).

С учетом указанных допущений КДМР можно рассматривать в виде сплошной среды с различными магнитными и электрическими характеристиками ее участков, эквивалентная исследуемая область существования которой изображена на рис. 1.

Напряженность электрического поля

иплотность тока имеют в этих условиях аксиальные и тангенциальные состав-

ляющие: E = eϕEϕ +ez Ez ; J = eϕJϕ + ez Jz ,

а магнитная индукция составляющие по трем осям: B = eR BR + eϕBϕ +ez Bz .

Рис. 1. Исследуемая область КДМР

Для суммарной напряженности электрического поля в движущейся среде

EΣ = E +v ×B

уравнение Максвелла записывается в виде [3]

Выполняя над этим уравнением операцию rot, учитывая принятые допущения и равенство нулю расходимости тока

получим для аксиальной составляющей суммарной напряженности электрического поля EZ следующее уравнение:

где Jzст – плотность тока статора, µ(R,ϕ, z) и γ(R,ϕ, z) – магнитная проницаемость и электропроводность среды в исследуемой области.

Решение уравнения производится с учетом граничных условий первого рода по координатам Rн ≤ R ≤ Rк и 0 ≤ z ≤ zк,

а также условий периодичности по тангенциальной координате ϕ, т.е.

Ez (Rн,ϕ, z) = Ez (Rк,ϕ, z) = 0,

Ez (R,ϕ, 0) = Ez (R,ϕ, zк ) = 0, Ez (R,0, z) = Ez (R,2π, z),

∂ϕ∂ [Ez (R,0, z)] = ∂ϕ∂ [Ez (R, 2π, z)].

Для стационарного режима все исследуемые величины изменяются во времени по гармоническому закону и могут записываться в комплексном виде. С учетом периодичности решения и допущения (3) плотность тока статорной обмотки

где ω0 круговая частота, а р – число пар полюсов двигателя.

Аналогично, уравнение (3) для комплексных амплитуд аксиальной составляющей напряженности электрического поля

Решение уравнения (5) производится методом разделения переменных с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ), реализация которого требует минимального числа математических операций [4]. Для использования этого метода необходимо, чтобы коэффициенты уравнения являлись функцией одной, в данном случае радиальной, координаты. Этого можно добиться, если увеличить длину магнитопровода статора до границ исследуемой области. Про-

веденные расчеты показали, что уменьшение возникающей при этом погрешности до бесконечно малых величин достигается путем нескольких итераций.

Поскольку искомое решение Ez (R, z) и правая часть уравнения рав-

ны нулю на границах области, их можно представить в виде разложения по собственным функциям дискретного оператора Лапласа [4]:

Ez (R, z) Ez (i, k ) =

где коэффициенты разложения ϕm (i) определяются как

(6) и (7) в уравнение (5) и выполняя пре-

в котором λm собственные значения дискретного оператора Лапласа,

πm , 2Nz

i =1, 2, ..., Nк −1, m =1, 2, ..., Nz −1, ym (0)= ym (Nк )= 0.

157

Одномерные уравнения полученной системы (9) решаются экономичным методом прогонки, число математических операций которого пропорционально числу интервалов разбиения координаты

R [4].

При расположении токовой нагрузки статора симметрично относительно границ исследуемой области по координате z коэффициенты разложения правой части уравнения ϕm отличны от нуля

лишь для нечетных гармоник, потому прогонку одномерных уравнений следует выполнять лишь для них, поскольку для четных гармоник правая часть, а следовательно, и решение равны нулю.

Токовая нагрузка магнитопровода статора f (i,k ) на определенных интер-

валах разбиения пространственной координаты z постоянна по величине, на других равна нулю. Следовательно, вынося постоянную величину за знак суммы, вычисление коэффициентов разложения (8) можно свести к суммированию синусоидальных величин:

где Kн и Kк – номера начального и ко-

нечного интервалов расположения токовой нагрузки статора, отличной от нуля.

нии (10) может быть представлена как [5]

В этом случае, независимо от числа интервалов пространственной координаты, расчет коэффициентов разложения сводится к нескольким операциям, реализующим выражение (11).

Результаты решения уравнения (5) представлены на рис. 2. На рис. 2 видно, что аксиальная составляющая напряженности электрического поля Ez дос-

тигает максимума в середине ротора. Величина аксиальной составляющей напряженности электрического поля непрерывно изменяется, а участок ее постоянства незначителен. Значения тангенциальной составляющей напряженности электрического поля Eϕ легко

определяются из условия непрерывности тока (2) и записываются в виде

Eϕ (R, z)= − j R ∂∂Ez . p z

Рис. 2. Распределение аксиальной (Ez) и тангенциальной (Eϕ) составляющих напряженности электрического поля по длине исследуемой области

Тангенциальная составляющая, изображенная на этом рисунке, при относительно коротком роторе имеет место по всей его длине.

Характер распределения радиальной составляющей магнитной индукции по длине исследуемой области может быть определен при решении уравнения Мак-

свелла (1). Проекция этого уравнения на координатную ось R и последующие преобразования полученного выражения с учетом разложения (6) дают

BR (R, z) BR (i, k ) =

и для вычисления магнитной индукции может быть использовано БПФ.

На рис. 3 представлено распределение магнитной индукции в воздушном зазоре КДМР по длине исследуемой области в режиме идеального холостого хода (скольжение s = 0). Уменьшение индукции в середине области объясняется влиянием магнитных сопротивлений ферромагнитных участков двигателя, величина которых определяется геометрией и магнитной проницаемостью их материалов. Аналогичные кривые для неподвижного ротора при различных величинах электропроводности его материала представлены на рис. 4.

Рис. 3. Распределение магнитной индукции в воздушном зазоре КДМP при скольжении s = 0

Как и следовало ожидать, провал индукции в середине исследуемой области значительно увеличен по сравне-

нию с режимом холостого хода вследствие размагничивающего влияния токов ротора. Величина провала возрастает при увеличении электропроводности материала ротора.

Рис. 4. Распределение магнитной индукции в воздушном зазоре КДМP при скольжении s = 1

и электропроводности материала ротора: 1 –

10·106 См/м; 2 – 20·106 См/м; 3 – 40·106 См/м

На рис. 5 представлены линии тока массивного ротора при скольжении s = = 0,05, близком к номинальному, полученные в результате расчета.

Рис. 5. Линии тока в роторе КДМР при скольжении s = 0,05

Анализ кривых на этом рисунке показывает, что величины аксиальной составляющей плотности тока в массивном роторе на разных участках полюсного деления имеют различные значе-

159

ния. Это обстоятельство подтверждает положение о том, что для двигателей с массивным ротором, длина которого соизмерима с полюсным делением, исследование магнитного поля необходимо производить на основе трехмерной модели.

Список литературы

1. Могильников В.С. Оптимальное значение магнитной проницаемости массивного ротора асинхронного электродвигателя // Электричество. – 1963. –

№ 8. – С. 35–38.

2.Беляев Е.Ф., Кудрявцев Е.О. Математическая модель асинхронных конденсаторных электродвигателей с массивным ферромагнитным ротором из композиционного материала // Электро-

техника. – 2010. – № 6. – С. 4–9.

3.Ямамура С. Теория линейных асинхронных двигателей: пер. с англ. – Л.: Энергоатомиздат, 1983. – 180 с.

4.Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. –

М.: Наука, 1978. – 592 с.

5.Толстой Г.П. Ряды Фурье. – 3-е изд. – М.: Наука, 1980. – 384 с.