2768.Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность

запаса прочности производят по фор­ муле, вытекающей из уравнения (3.10);

(3.47)

где Кг — поправочный коэффициент

(рис. 79), учитывающий разницу в вели­ чинах запасов прочности, определен­ ных по формулам (3.9) и (3.10); ток, о„к— предельные амплитуды для образцов с концентрацией напряже­ ний.

Определение запасов прочности при асимметричном цикле. При расчете запасов прочности принимают схема­ тизированную диаграмму предельных напряжений для образцов без концент­ рации напряжений (рис. 80), а также учитывают влияние на выносливость различных факторов при асимметрич­ ном цикле.

Линия предельных напряжений, по­ строенная в координатах отах — ат,

есть прямая, проходящая через две

Предельная амплитуда напряжений детали ояд в KaD раз меньше оа, т. е.

Уравнение линии предельных напря­ жений для детали примет вид:

Диаграмму предельных напряжений для детали и ее аналитическое выраже­ ние используют при определении запа­ сов прочности (рис. 81).

_ Orд _Oqx

где о>д — предел выносливости при асимметричном цикле для детали; оаа —предельная амплитуда напряже­ ний для детали.

Величину <7ГД (ординату точки N) найдем в результате совместного реше­ ния уравнений линии AN (линии пре­ дельных напряжений для детали) и

где штрихами обозначены текущие координаты..

Отсюда, полагая, что 0тахд — оГА, получим

От““

° a ^ D + V m‘

Поэтому окончательное выражение для коэффициента запаса прочности имеет вид

Формулы (3.52), (3.53) впервые пред­ ложены С. В. Серепсеном и Р. С. Кинасошвили в 40-х годах и с тех пор нашли широкое применение в промыш­ ленности для расчета на прочность при напряжениях, переменных во вре­ мени.

Напряжение в детали при асим­ метричных циклах может оказаться близким к предельному по статической несущей способности, если средние напряжения от большие.

Эта несущая способность характе­ ризуется напряжениями Као хв пласти­ ческом состоянии и ав в хрупком. Поэтому наряду с определением коэф­ фициентов запаса прочности по уста­ лости следует определять коэффициенты запаса прочности по статической несу­ щей способности (см. гл. 1). В соот­ ветствии с этим диаграмма предельных напряжений будет ограничена по стати­

асимметричном цикле и сложном нанапряженном состоянии. Коэффициен­ ты запаса прочности определяют по усталости и по статической несущей способности.

Коэффициент запаса прочности по усталости

где па и Пх вычисляются по формулам (3.52) и (3.53).

Полученное расчетом значение п должно быть не меньше нормативного минимально допустимого значения ко­ эффициента запаса прочности по уста­ лости [п\.

Независимо от расчета на усталость нужно проверить выполнение условия обеспечения статической несущей спо­ собности при действии максимальных напряжений циклов атахи ттах по

методике, изложенной в гл. 1 . Условия работы ряда деталей харак­

терны таким изменением нагрузок в процессе работы, что отношение аП)ах/ст/Л не остается постоянным при

увеличении нагрузки. Такой характер нагружения называется сложным. При сложном нагружении среднее напряже­ ние цикла стт и амплитуда напряжений оа могут изменяться независимо друг от друга. Так, например, при возник­ новении упругих колебаний в детали ат остается постоянным, ад может возрастать. Если среднее напряжение от определяется сборочными натягами, то оно может меняться при постоянной амплитуде ста.

Коэффициент запаса прочности может определяться по статической (от ) и переменной (оа) составляющим напря­ жений цикла, а также по максималь­ ному напряжению сттах:

где атл и (Т0д— предельные напряже­ ния, соответствующие заданному усло­ вию возрастания напряжений.

Схемы для определения указанных коэффициентов запаса прочности пред­ ставлены на рис. 82, на котором линией 1обозначены предельные напря­ жения для детали (построена с учетом концентрации напряжений, абсолютных размеров). Кривая MN характеризует зависимость между сгтахиаот в процессе

возрастания нагрузки (рис. 82,а). Точка N характеризует предельный цикл с ординатами ^ тах д= аад + сттд, явля­

ющимися предельными напряжени­ ями.

(рис. 82,в).

Для случаев, представленных на рис. 82,6, в, коэффициент запаса прочности определяется по амплитуде

имаксимальному напряжению. По рис. 82,6:

По рис. 82, в линия возрастания действующих напряжений MN прохо­

Рис. 82. Схема к определению запасов прочности при сложном Нагружении

Кай

Коэффициент запаса прочности по максимальному напряжению

Каждый из указанных коэффициен­ тов запаса прочности сопоставляется со своим минимально допустимым зна­ чением, определяемым на основе прак­ тики расчетов в конструкторских бюро и наблюдениями за машинами в экс­ плуатации.

Таблица 17

СтупенчаТая функция распределения амплитуд напряжений

В табл. 17: i — номер уровня амплитуд напряжений aai, которые должны быть расположены в убывающем порядке по мере увеличения i так, что =

~ аа шах—максимальная амплитуда на­

пряжений в блоке нагружения, оаг — минимальная, — число циклов по­ вторения амплитуды oai в блоке нагру-

всех уровней в блоке нагружения. Если срок службы (ресурс) детали до появления усталостного разрушения, измеренный в километрах пробега, часах работы и т. д. обозначить L, то количество блоков нагружения за срок службы

Тогда общее количество циклов щ повторения амплитуд i-ro уровня oai за срок службы

а общее суммарное количество циклов повторения амплитуд всех уровней

Для расчета деталей машин на усталость при варьируемых амплиту­ дах переменных напряжений по извест­ ным параметрам кривой усталости и функции распределения амплитуд на­ пряжений необходимо использовать какую-нибудь гипотезу суммирования усталостных повреждений, возникаю­

щих от действия амплитуд различных уровней.

Наиболее простой является гипотеза линейного суммирования усталостных повреждений, предложенная Пальмгреном в 1924 г. и развитая примени­ тельно к расчетам деталей машин на усталость Решетовым Д. II., Серенсеном С. В., Бахаревым В. М., Май­ нером М. А. (1945 г). Смысл этой

при действии переменных напряжений с амплитудой aai (предполагается ста­

деляется из уравнения кривой уста­ лости в форме, аналогичной уравне­ нию (3.2)

-о,п.

QI

При блочном нагружении с перемен­ ными амплитудами предполагается, что относительное усталостное поврежде­ ние от действия амплитуды oai равно tij/Ni, где ni определяется по формуле (3.61). Усталостное разрушение при варьируемых амплитудах наступает согласно линейной гипотезе тогда, когда сумма относительных поврежде­ ний по всем уровням амплитуд дости­ гает единицы, т. е.

г

Если амплитуда напряжений аа! < < ст_и , то при наличии горизонтального участка кривой усталости N {= оо. Поэтому в выражении (3.64) суммиру­ ются только те слагаемые, для которых

®ai

За последние 30 лет были проведены многочисленные исследования справед­ ливости линейной гипотезы суммиро­ вания усталостных повреждений. Эти исследования заключаются в проведе­ нии программных усталостных испы­ тании, в которых амплитуда напряже­ ний в одном блоке нагружения изме­ няется по определенной программе, и фиксируется общее количество блоков

А,сум или суммарное число циклов Л1сум Д° разрушения. Зная параметры кривой усталости ,.а_1д, N0, т и поль­ зуясь уравнениями (3.61) и (3.64),

ее с единицей. В результате этих исследований было установлено, что при испытании ограниченного числа образцов величина а может изменяться в очень широких пределах (от 0,01 до 100). Если а = 0,01, то подсчет числа циклов до разрушения по уравнению (3.64) приведет к ошибке 100-кратной не в запас долговечности. Поэтому были высказаны сомнения в справед­ ливости линейной гипотезы, и пред­ лагались другие более сложные гипо­ тезы, как правило, нелинейные, кото­ рые, однако, не привели к более хорошему соответствию расчетных и экспериментальных данных по долго­ вечности (см. обзор в работах [20, 48J).

Последующие исследования на боль­ шом числе образцов показали, что при усталостных испытаниях идентич­ ных образцов наблюдается весьма боль­ шой разброс чисел циклов N (до 10—100 и более раз), что связано со статистической природой процесса уста­ лостного разрушения (см. гл. 6). Если стационарные (при постоянной ампли­ туде) и программные испытания про­ водить на большом числе образцов

(обычно 20—50 шт. в каждом варианте) и сумму относительных повреждений а вычислять по средним значениям чисел

циклов щ и N( ■Т- е" а = 2 ж Г то

разброс величин а становится сущест­ венно меньшим.

нейной гипотезы можно ожидать коле­ баний величин а в пределах 0,5 < а < 2 вследствие случайности средних чисел циклов Hi и Ni (при испытании по 20 образцов в каждом варианте). Эти двукратные отклонения л от единицы являются случайными.

Таким образом, было показано, что в отдельных случаях опытные данные не противоречат предположению о спра­ ведливости линейной гипотезы в форме уравнения (3.64). Такое положение наблюдается тогда, когда нет сущест­ венной разницы между максимальными и минимальными амплитудами блока нагружения, пет кратковременных рез­ ких перегрузок. В противном случае наблюдаются систематические откло­ нения а от единицы [например, а изменяется в пределах от 0,1 до 0,4 при среднем значении а = 0,2 , что соответствует ошибке в оценке ресурса в 5 раз при использовании уравнения (3.64)].

Было установлено, что а в среднем уменьшается с уменьшением площади, заштрихованной на рис. 83. На этом рисунке в относительных величинах

изображена форма блока нагружения, причем заштрихованная площадь

I

где

На основе статистического анализа экспериментальных данных была пред­ ложена следующая формула для рас­ четного значения суммы относитель­ ных повреждений ар:

СГ_1д

Если по формуле (3.66) получается ар < 0,2, то в расчетах следует прини­ мать ар = 0,2 , так как меньшие зна­ чения не оправдываются опытными данными.

Вформуле (3.66) введена величина

К= 0,5-е-0,7, позволяющая получить лучшее соответствие опытных и расчет­ ных данных. Эта величина соответствует

относительному уровню повреждающих амплитуд напряжений, а именно, как установлено рядом экспериментов, амплитуды oai < Ко.Лл= (0,5 — 0,7) х X ст_1д не оказывают повреждающего действия и могут не учитываться при расчетах на усталость. В соответствии с этим в формуле (3.65) учитываются только те амплитуды, которые превы­ шают Ко _1д. Далее принимается К = = 0,6. При подсчете £ следует из первоначальной функции распределе­ ния амплитуд, заданной в виде табл. 16, отбросить амплитуды oai < 0,6Л\ после

Расчет среднего ресурса детали со­ гласно корректированной линейной гипотезе суммирования усталостных повреждений проводят по формуле

где т — номер первого уровня ампли­ туды, который превышает ст_1д.

Таким образом, суммирование в фор­ муле (3.65) осуществляется по ампли­ тудам oai > 0,6а..1д (для которых вы­ числяются v,3 и t[), а в формуле (3.67) по амплитудам oai > а_1д.

Корректированная линейная гипо­ теза суммирования усталостных по­ вреждений проверялась по многочис­ ленным результатам программных усталостных испытаний, проведенных на большом числе образцов в различных лабораториях. В результате сопостав­ ления расчетных и опытных чисел циклов до разрушения было показано, что корректированная линейная гипо­ теза дает удовлетворительную для практики точность расчета ресурса деталей [20, 47]. Так, если линейная гипотеза без корректировки с веро­ ятностью 10% может приводить к 5—7- кратной' ошибке не в запас ресурса и в отдельных случаях достигать 20- кратной ошибки, то ошибка в оценке ресурса по корректированной линейной гипотезе [см. уравнения (3.67)] с веро­ ятностью 95% не превышает 2,5-крат­ ную. В работах [20, 47] показано, что 2—2,5-кратную ошибку в расчетной оценке ресурса на стадии проектиро­ вания следует считать приемлемой для практики, учитывая практическую невозможность достижения больших точностей. Последнее связано с тем, что пологость левой ветви кривой усталости приводит к значительным отклонениям по числу циклов даже при незначительных отклонениях уров­ ня напряжений, связанных с неизбеж­ ными погрешностями в оценке эксплуа­ тационных напряжений и характе­ ристик сопротивления усталости. Полу­ чающиеся в расчетах ошибки в оценке ресурса компенсируются введением ко­ эффициентов запаса по ресурсу.

Подставляя в уравнение (3.67) выра­ жения (3.63) для JV{- и (3.61) для Я/,

найдем

2 v ,a iV ’ai

t= 1

Формула (3.68) позволяет рассчитать средний ресурс детали, выраженный числом блоков нагружения до появле­ ния усталостного повреждения (тре­ щины или разрушения), если исполь­ зованы соответствующие величины, входящие в правую часть равенства (3.68).

Если распределение амплитуд напря­ жений задано некоторой непрерывной функцией распределения с плотностью вероятности / (стЛ), то уравнение, ана­ логичное уравнению (3.67), принимает вид

- 1 Д

Величина dn представляет собой число циклов действия за срок службы амплитуд напряжений, лежащих в пре­ делах от оа до оа-\- doa и выражается формулой

d n = N сум / (оа) daa = 'kvbf (ста) doa.

Выражая N по уравнению (3.63) и подставляя в равенство (3.69), с учетом выражения для dn, получаем

ДрЛугт _ 1Д

Пусть распределение амплитуд зада­ но Рэлеевским законом распределения,

Плотность вероятности которого выра­ жается формулой

2S^r

Для вычисления J могут быть использованы [4] таблицы интеграла вероятностей %2 [1], представляющего собой выражение

Функция Р (х, п), построенная по соответствующим таблицам, представ­ лена на рис. 84. Интеграл, входящий в правую часть равенства (3.74), может быть выражен так [4J:

по формулам:

Производя в интеграле (3.73) замену

da

переменной у = — г и сопоставляя

2So

с выражением (3.74) получаем

J = S'gP (XQ, m-f-2) ty (т-{-2), (3.78)

где

*о= а- 1 Д

Sст

Таким образом, формула для расчета ресурса детали при Рэлеевском законе распределения амплитуд с параметром Sa согласно уравнению (3.70) полу­ чает вид

Эта формула совпадает с формулой Болотина В. В. [4], так как если обозначить через — ресурс детали,

выраженный в секундах, а Те — «эффективный» период процесса, то

тп

очевидно N cyH = kVi5= -=—. Введя эти

■*е

озозначения и принимая ар = 1 (линей­ ная гипотеза без корректировки), мож­ но из уравнения (3.79) получить фор­ мулу В. В. Болотина [4] для Ти .

Если случайный процесс изменения напряжений во времени является ста­ ционарным, достаточно узкополосным, гауссовским процессом с дисперсией

Sa, то распределение амплитуд напря­ жений является Рэлеевским с парамет­ ром 50, а эффективный «период» Т(, может быть вычислен по известной функции спектральной плотности Ф (ш) по формуле Райса [37]:

оо"|1/2

со2Ф (со) den

Таким образом, в случае указанного типа процессов, основываясь на оценке