2768.Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность

В табл. 1 приведены также значения ашахР’ нзйденные по зависимости (6.17)

при указанных выше значениях посто­ янных и соответствующие ординатам точек линий, проведенной на рис. 13

при заданных значениях lg -- . Вели-

G

чины

б = J W p ^ m a x _ т %

0шах

характеризуют отклонение расчетных значений ат ахР0Т экспериментальных, т. е. характеризуют точность уравне­ ния (6.17). Величины отклонения -6 (см. табл.. 1) не превышают 3%.

Из уравнения (6.17) можно найти медианное значение предела выносли­ вости гладкого лабораторного об­

строить график зависимости lg (|—1)

от lg L/G (рис. 15).

По рис. 15 определяется величина va, входящая в уравнение (6.24). В данном случае vCT= 0,11.

Аналогичная обработка результатов усталостных испытаний образцов раз­ личных конструкционных материалов, проведенных в статистическом аспекте в работах [11, >27—29, 48, 49], позво­ лила установить значения постоянных

•ст-1> vcr и S, входящих в уравнение (6.24) (см. гл. 11). По уравнению (6.24) и по данным таблицы vCTможно рассчи­ тать функции распределения пределов

выносливости натурной детали, если

известны величины аа и G.

Чтобы оценить статистически погреш­ ность в определении медианных зна­ чений пределов выносливости по урав­ нению (6.24) по всем данным были вычислены отклонения

6 = а -1д— ст1-хдр 100% , а -1др

где о_1Др, а_1Д—пределы выносливости натурной детали, полученные расче­ том и экспериментально, соответствен­ но (использованы результаты многих

Рис. 15. Зависимость lg (? — 1) от lg — G

для образцов из стали 40 X при изгибе с вращением

49]; другие источники указаны в рабо­ тах [23, 29]).

Медианные значения пределов выно­ сливости о.! и величины и, которые использовали в расчетах по уравне­ нию (6.24), находили следующим обра­ зом.

Вначале по величине о ,, найденной экспериментально, определяли значе­ ние и’ по формуле и' = 0,5 о_х. Затем по экспериментальным данным нахо­

дили значение lg (omax— и') и lg L/G и строили зависимость между ними.

ные ошибки в определении о_!, ко­ торые при обычном методе испытаний (при использовании 6—8 образцов на кривую усталости) могут доходить до 10% и более. Далее определяли

с. шах

значения §= —— и строили корре­

ляционные зависимости lg (£ — 1) от

lg L/G, по которым находили значе­ ния \ а.

Величины отклонений 6 объединяли в две группы: 1)'для данных, получен­ ных обычным способом на ограничен­ ном числе образцов; 2) для данных, полученных в статистическом аспекте. Эмпирические функции распределения величин 6, % нанесены на нормальной вероятностной бумаге на рис. 16, из которого следует, что среднее квадра­ тичное отклонение ошибки в первом случае составляет 2%, во втором —

4,3%. Средняя ошибка 6 в обоих слу­ чаях равна нулю, т. е. систематических ошибок уравнение (6.24) не дает.

Из рис. 16 видно также, что с веро­ ятностью 95% абсолютное значение ошибки |6| не превышает 8% во втором случае и 4% — в первом, что соизме-

мировать нормальным законом рас­ пределения отах. При этом различие

в значениях вероятности разрушения, подсчитанных по исходному и по при­ ближенному законам настолько неве­ лико, что им можно пренебречь. Апроксимация осуществляется так, чтобы

совпадали медианные значения атах

в том и другом распределении, и зна­ чения, отвечающие квантилю ир = —2 (рис. 17). Линия 1 на рис. 17 соответ­ ствует нормальному распределению ве­ личины х = lg (сттах— и) для стали 45

согласно уравнению (6.17) при lg L/G = = 2,0; и = 26,3 кгс/мм2; AL = 1,724;

В = 0,30. Прямая 2, соответствующая нормальному распределению величины Стах* проведена через точки а и б,

нормальным законом распределения о,

ваются еще меньшими, что следует из сравнения линий Г и 2', построейных

для lg L/G = 4.

Параметры введенного нормального распределения атахопределяются сле­

дующим образом: медианное значение Ошах» обозначаемое далее через атах>

получается из соотношения (6.17) При и0 0):

A L - B lg 4 -

Для определения стандартного откло­ нения найдем значение атах, отвечаю­

щее квантилю ир = —2 (обозначаемое далее через о^ах):

Таким образом, стандартное откло­ нение и коэффициент вариации введен­ ного нормального распределения вели­ чины Оглах

фициенты вариации пределов выносливости_ уменьшаются с увеличением

■Для сталей при еоо = 0,5 можно принять 5 = 0,045 ч- 0,05; для алюми­ ниевых деформируемых сплавов S = = 0,05 -и 0,06; для магниевых дефор­ мируемых сплавов S = 0,05, для маг­ ниевого литейного сплава МЛ5 (при £оо = 0,4) £ = 0 ,1 6 .

Коэффициент вариации УСТтах хаРак'

теризует рассеяние пределов выносли­ вости деталей, изготовленных из метал­ ла одной плавки и не имеющих откло­

неоднородностью (наличием различных фаз, включений, искажений кристал­ лической решетки и т. д.).

На рассеяние пределов выносливости деталей серийно-изготовляемых машин помимо указанного фактора влияют еще межплавочное рассеяние механиче­ ских свойств, отклонение фактических размеров деталей от номинальных и отклонения в параметрах технологи­ ческих процессов.

Влияние межплавочного рассеяния механических свойств металла учиты­ вается с помощью коэффициента вари-

ации u0 i — медианных значений пре­

делов выносливости гладких лабора­ торных образцов диаметром 7,5 мм. Вариации рассматриваются на совокуп­ ности всех плавок металла данной марки.

Если обозначить через значение О-t для i-й плавки, то среднее значение a_lt стандартное отклонение S- и

коэффициент вариации va_t величины а_х определяются по формулам

п

рения достаточно больших выборок деталей (не менее 30—50).

Допустим, что в результате п изме­ рений получены следующие значения радиусов р: рь р2, ..., р/( .... ря.

Среднее значение р и среднее квадра­ тичное отклонение Sp радиуса кривизны

Если прямых данных по межпла-

вочному рассеянию величин а_х нет, то учитывая практически линейную зависимость между пределами выносли­ вости и пределами прочности металла в первом приближении можно положить,, что V- = VCb, где %в — коэффициент

вариации предела прочности металла на совокупности всех плавок металла

размеров деталей (особенно в зонах концентрации напряжений) от номи­ нальных (в пределах допусков) учи­ тывается с помощью коэффициента

вариации va(y теоретического коэффи­ циента концентрации аа.

Относительные колебания основных размеров деталей (например, диамет­ ров валов) невелики, и, как показывают расчеты, ими можно пренебречь при оценке vaQ.

Основное влияние на величину vaa

оказывают случайные колебания ради­ усов кривизны в зоне концентрации напряжений р, которые можно охарак­ теризовать коэффициентами вариации ур. Значения этих коэффициентов сле­ дует определять по результатам изме­

£= 1

икоэффициент вариации v0 — по фор-

муле ур = — .

Р

Как показывают, например, резуль­ таты измерений 150 болтов, коэффици­ енты вариации радиусов перехода от тела болта к головке и закругления первого витка резьбы составляют, соот­

ф (*i, х2, •••,Xk) от k случайных вели­

+ 2 l ^ l i J c o v l A W , + - +

ческое ожидание и дисперсия слу­

величин Xi и Xf. Производные в формуле (6.47) берутся при значении аргумен­

где CLQ — среднее значение a CT, соответ-

берется при средних значениях опре­ деляющих параметров.

Для приближенного определения производной в выражении (6.49) можно осуществить линейную апроксимацию функции (6.45) в окрестности заданных значений параметров, используя урав­ нение прямой, проходящей через две точки:

Я . ■(Я,-

Суммарный коэффициент вариации предела выносливости натурной детали ua._i с учетом внутри- и межплавочиого

рассеяния механических свойств мате­ риала и отклонений фактических раз­

меров от номинальных может быть найден следующим образом.

Определяя из уравнения (6.32) вели­

мало зависящая от изменения радиуса кривизны в зоне концентрации, поэтому вариацией F при изменении р вполне можно пренебречь. В этом случае из уравнения (6.51) следует

(6.52)

°-1

так как

(6.53)

Величина а_1Д представляет собой медианное значение предела выносли­ вости деталей из металла данной плав­ ки при номинальных ее размерах.

следовательно, межплавочное рассеяние свойств и влияние случайных откло­ нений фактических радиусов закруг­ ления в зоне концентрации напряжений от номинальных.

Примем, что величина о_1д имеет

и возможных отклонений в размерах от номинальных).

Как уже отмечалось выше, в пре­ делах одной плавки и при отсутствии отклонений в размерах величину о_1д также можно считать распределенной по нормальному закону со средним

значением 6_1Д и коэффициентом вариа­ ции Уошах’ определяемым по формуле

(6.38). В этом случае, как показано в работе [29], величина а_1д на генераль­ ной совокупности, отвечающей воз­ можным внутри- и межплавочным откло­ нениям свойств и отклонениям раз­ меров от номинальных, будет подчи­ няться нормальному распределению со

средним значением а_1д и коэффициен­ том вариации уа_1д, определяемым по

следующим формулам [с учетом ра­ венств (6.26) и (6.52)]:

Формула (6.55) может быть приме­ нена к деталям, в которых нет значи­ тельных остаточных напряжений и ме­ ханические свойства которых по объему детали постоянны. В противном случае количество факторов, вызывающих рас­ сеяние пределов выносливости, воз­ растает.

Так, например, на сопротивление усталости сварного соединения кроме абсолютных размеров, концентрации напряжений и состояния поверхности влияют Механические свойства металла Шва, околошовной зоны и основного металла, распределение остаточных на­ пряжений, дефекты сварки (непровары, неметаллические включения, свароч­ ные трещины и т. д.). Эти факторы, в свою очередь, зависят от материала электродов и обмазки, от свойств основ­ ного металла, от технологии сварки, от квалификации сварщика, от методов контролй и выбраковки дефектных изделии и т. д.

Величина va_xд может служить надеж­

ным показателем уровня технологии изготовления Деталей. Оценка же сопро­ тивления деталей усталостному раз­ рушению на основании только средних значений пределов выносливости недо­ статочна, так как при этом не учиты­

вается рассеяние.

Результаты испытаний на усталость достаточно крупных сварных соедине­ ний показали, что vQ,1д лежит в преде­

лах от 0,05 до 0,15 [17, 73].

В работе [65] приведены коэффици­ енты вариации пределов выносливости различных автомобильных ^деталей (37 наименований), полученные путем пересчета данных о рассеянии долго­ вечности . Эти коэффициенты колеблются в диапазоне 'от 0;03 до 0,30. Величины

0сг_1д> 0,2 представляются завышен­

ными, а способ их определения, приме­

ненный в работе [65] — недостаточно надежным.

Обработка результатов натурных усталостных испытаний и подсчеты по формуле (6.55) показывают, что в боль­ шинстве случаев коэффициенты вари­ ации пределов выносливости деталей %_1д лежат в пределах от 0,05 до 0,20.

Двукратное различие значений коэф­ фициентов вариации случайной вели­ чины, найденных по двум выборкам деталей по 10—30 шт., обычно стати­ стически незначимо [16, 55]. Поэтому при отсутствии прямых данных о ист 1д

в приближенных расчетах можно при­

оценки коэффициентов вариации пре­ делов выносливости натурных деталей, а также "HX непосредственное опреде­ ление путем усталостных испытаний в различных отраслях машиностроения, позволяет накопить информацию, необ­ ходимую для широкого внедрения в практику вероятностных методов рас­ чета на прочность деталей машин.

Примеры определения расчетных характеристик сопротивления усталости деталей машин

вости вращающегося вала при изгибе в

Поверхностному упрочнению вал не под­ вергается.

1. Найдем значение а а по рис. 57 гл. 11:

для

Рис. № . Ст упенчат ый -ван % .галты&ю

3. Подсчитаем значение lg —

G

L = nd = 314 мм — при изгибе с вращением круглого вала;

lg 4 = lg 314 = 3,04.

G0,288

4.Для стали 4$ можно принять va = 0,10 (табл. 10, гл. 11). По рис. 31 гл. 11 найдем

при lg 4 = 3,04

G

F ( — , v a ) = 0,89.

5. Определим значение X, по формуле

6. Для случая чистовой токарной обра­ ботки по рис. 81 гл. 11 при ав = 6 5 кгс/мм2

Р = 0,88.

7. Определим значение /С по формуле

“('•82+w - ' ) - 1= 1’96.

8.Медианное значение предела выносли­ вости вала

°Отах П0ЛУчаетс" и по Рис<

10. Для подсчета коэффициента вариации va найдем по рис. 57 гл. 11 значения aQ

v= 0,25-0,067 = 0,017.

11.Коэффициент вариации v - . из-за от­ сутствия данных принимаем равным

12. Общий коэффициент вариации преде­ ла выносливости определим по формуле

и коэффициент вариации предела выносли­ вости пластины с отверстием при растяже­

<ха 9Z0.

10. Коэффициент вариации v - ^

®— 1

=v<7в= 0,06.

11.Общий коэффициент вариации преде­

ла выносливости пластины

5. Приняв, что после развертки отверстия коэффициент р имеет такое же значение,

OD

+1Х + И “ 0-571/ик-

3.Подсчитаем значение lg — :

Р

В=200мм

d=J80MM

p = t,8 ± 0 ,J M M

Рис. 21. Вал с канавкой при кручении

( 11. 2 ) :

9. Коэффициент вариации итт а х ПРИ КРУ‘

чении принимаем таким же, как и при из­

75р

v-------- vn О.ЗПр. ат а„ d р

Принимая отклонение величины радиуса 0,3 Mммl за ± 3 Sp, получаем = 0,1 мм;

Р0.1

v= - = — = 0,055;

11. Коэффициент вариации v -

т—1

отсутствия данных принимаем равным vo„:

= V = 0.07.

12. Общий коэффициент вариации преде­ ла выносливости вала

=Y 0,042 о,072 + 0.0172 = 0,083.

3.Вероятностные методы расчета на усталость деталей машин

Исходные положения

Действующие нагрузки и напряже­ ния, возникающие в деталях машин, в большинстве случаев представляют собой случайные функции времени, а характеристики сопротивления уста­ лости детали (срок службы, предел выносливости) — случайные величины, которым свойственно существенное рас­ сеяние. Изменчивость основных фак­ торов, определяющих прочность изделии в условиях эксплуатации, является причиной рассеяния их долговечности, особенно применительно к машинам серийного и массового производства.

Опыт эксплуатации и результаты испытания на усталость значительных партий изделий и их деталей свидетельствуюто значительном рассеяниисроков их службы до появления трещин или усталостного разрушения. Поэтому ме­ тоды расчета на прочность должны базироваться на методах теории вероят­ ности и математической статистики.

Расчет на усталость вероятностными методами позволяет определить функ­ цию распределения ресурса детали и установить связь сроков службы детали с надежностью, оцениваемой вероят­ ностью безотказной работы. По эгон функции можно определить средине