2768.Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность

ресурсы (модальный, медианный или средний); у пР°чвнтный ресурс, т. е. ресурс, соответствующий вероятности работы без разрушения у в %, рас­ сеяние ресурса и т. д.

Результаты расчета характеризуют прочность изделия в аспекте надеж­ ности с учетом вероятностной оценки изменчивости нагрузки и усталост­ ного сопротивления деталей.

Представительная выборка изделий, изготовленных из металла данноймарки, но большого числа плавок имеет межплавочный разброс механических ха­ рактеристик. Этой выборке также свойственны отклонения фактических размеров деталей от номинальных в пределах допусков, вследствие чего оказывается изменчивым уровень кон­ центрации напряжений (например, в ре­ зультате отклонения величины радиуса канавок, галтелей, профилей резьб

ит. п.).

На разброс усталостных свойств

оказывают влияние также возможные отклонения от нормального техноло­ гического процесса (вариации режимов термической и механической обработки, сварки, процессов упрочнения и т. д.). Пределы выносливости деталей следует, рассматривать также как случайные.

Выше было показано, что с достаточ­ ной для практики точностью распре­ деление пределов выносливости можно принять за нормальное и характери­ зовать предел выносливости его медиан­

ным значением а-хд с коэффициентом вариации 1%_1д (методика определения

этих'величин дана в п. 2 гл. 6). Изменчивость степени нагруженности

и напряженности для выборки изделий, характеризуемая функцией распреде­ ления амплитуд напряжений и пока­ зателями рассеяния параметров этих функций, отражает изменчивость нагру­ женности генеральной совокупности изделийсерийной имассовой продукции.

Эти функции распределения описы­ вают изменчивость степени нагружен­ ности деталей в различных условиях эксплуатации машин данного типа, для которых определяется надежность и долговечность по критерию сопротив­ ления усталости. Такие функции рас­ пределения устанавливаются путем измерений нагруженности и напряжен­

ности в представительных выборках, достаточных для статистической оценки параметров этих функций в харак­ терном диапазоне условий эксплуата­ ции данного типа машины или детали.

Методы расчета на прочность при переменных нагрузках могут быть различными в зависимости от стадии расчета и проектирования, от уровня ожидаемой надежности изделия, от объема имеющейся экспериментальной информации, от характера изменения нагрузок и несущей способности во времени и от некоторых других фак­ торов.

Наименьшее количество эксперимен­ тальной информации имеется на стадии технического проектирования. Однако и на этой стадии возможно испытание моделей с целью изучения напряжен­ ного достояния и прочности, а также оценка характеристик сопротивления

расчетов и аналогового моделирования методами статистической динамики.

Расчет на прочность в этом случае производится с помощью методов соп­ ротивления материалов путем вычис­ ления запасов прочности (гл. 3), обычно без учета статистически описы­ ваемых факторов или по эквивалентным напряжениям. При получении надле­ жащей информации о нагрузках и проч­ ности и на этой стадии возможны стати­ стические оценки ресурса.

На стадии доводки опытного экземп­ ляра машины на стендах и полигонах в ряде случаев могут быть получены путем тензометрирования функции рас­ пределения амплитуд напряжений. Проводят также усталостные испытания наиболее ответственных элементов кон­ струкции. Полученные данные позво­ ляют оценить в первом приближении функцию распределения ресурса дета­ лей машины с помощью вероятностных методов и вычислить запасы прочности.

На ,стадии эксплуатации опытной серии машин существенно увеличи­ вается объем необходимой для расчета экспериментальной информации о на­ грузках и прочности, а также появляют­ ся данные об отказах в эксплуатации. Все это позволяет уточнить расчетную

оценку надежности в смысле сопро­ тивления разрушению.

Уровень требуемой надежности де­ тали также имеет значение при выборе тех или иных методов расчета.

Рассмотрим два случая:

а) предположим, что вероятность раз­ рушения детали должна быть чрезвы­ чайно малой, например, Р<Ч0- 7 — 10-в [квантиль нормального распределения ир < (—6) — (—5)]. Такие требования

предъявляются, например, к элементам авиационных конструкций, космиче­ ским аппаратам, объектам техники, обеспечивающей безопасность эксплу­ атации сложных и трудно доступных для контроля систем.

Для надежного вычисления столь малых вероятностей требуется настоль­ ко большой объем экспериментальной информации, получение которого прак­ тически невозможно.

В этом случае предлагается вычис­ лять запас прочности по формуле [5]

^min n==Lшах *

где Qmin, Lmax— минимально возмож­ ное значение прочности и максимально возможное значение нагрузки, найден­ ные статистическими методами с учетом возможных случайных вариаций Q и L.

Для п необходимо выбрать такое минимально допустимое значение [л], которое«гарантируетбезусловную наде­ жность» [5]. Величину [п] предлагается определять на основе сопоставления результатов расчета с оценкой надежжности больших совокупностей дета­ лей в условиях эксплуатации. Надежность такрго определения оче­ видно звисит от достоверноси оценок прочности объектов и объема инфор­ мации об их надежности в эксплуата­ ционных условиях;

б) вероятность разрушения детали за срок службы должна лежать на уровне Р ^ 10-2 н- 10-5[«р — (—2) —

— (—4)]. В этих пределах обычно находятся вероятности появления тре­ щин или разрушения деталей вмашинах, для которых допускается замена по­ врежденных деталей и которые конт­ ролируются в процессе эксплуатации (железнодорожный, автомобильный и морской транспорт, сельскохозяйствен­

ные, горные, дорожностроительные, подъемнотранспортные и другие маши­ ны). Вэтомслучае приближенная оценка вероятности становится уже возможной на основе имеющегося объема инфор­ мации.

Различный характер изменения во времени нагруженности деталей и раз­ личные требования к несущей способ­ ности определяют выбор метода расчета. Из всех возможных расчетных случаев можно выделить следующие:

1а. Напряжения изменяются во вре­ мени по периодическому закону (цикли­ ческие напряжения), причем уровень напряженности отдельных однотипных деталей является случайным, вследствие влияния ряда производственных и эксплуатационных факторов, но неиз­ менным во времени.

16. Напряжения циклические, но с течением времени амплитуды напря­ жений изменяются медленно и моно­ тонно (например, в коленчатых валах за счет неравномерного износа шеек; в лопатках турбин за счет постепенного изменения демпфирующих свойств или сил возбуждения и т. п.). Монотонно изменяться во времени могут также и пределы выносливости деталей за счет старения, коррозии, релаксации остаточных напряжений и т. п.

Если законы изменения во времени указанных величин известны, то в пер­ вом приближении расчет может быть проведен каки вслучае 1а по значениям нагрузок и запасам прочности,соответ­ ствующим заданному сроку эксплуа­ тации (если условия работы ухудшаются со временем). Более детальное рассмот­ рение указанной задачи основывается на сопоставлении двух монотонных случайных процессов.

Если процесс изменения напряжений во времени случайный или является суммой (или произведением) детерми­ нированного и случайного процессов (при линейном напряженном состоянии), то функцию распределения амплитуд напряжений рекомендуется находить путем обработки осциллограмм напря­ жений, полученных для представитель­ ной выборки деталей одним из способов систематизации, изложенных ниже. При этом наиболее целесообразными спо­ собами являются метод полных диклов и метод укрупненных размахов.

Расчет функции распределения ресур­ са можно производить двумя методами в зависимости от суммарного за срок службы числа циклов с амплитудами напряжений, превышающими 0,5б_1д (более низкие амплитуды не оказы­ вают повреждающего действия и из рассмотрения исключаются).

2. Если NcуМ< 107 -т- 108 циклов, то расчет производится по линейной гипо­ тезе суммирования усталостных повреж­ дений с внесением поправок, учитываю­ щих влияние формы функции распре­ деления амплитуд.

ственно меньше среднего значения пре­ дела выносливости а_1д деталей данной генеральной-совокупности, то расчет проводится по методу, основанному на учете постепенного снижения пре­ дела выносливости вследствие цикли­ ческих перегрузок, возможных за счет вариаций пределов выносливости и нагруженности (вообще эти методы дают весьма близкие результаты в диапазоне 10е < /VcyM< 108).

Разделение процесса усталостного разрушения на две стадии (до начала образования первой макроскопической трещины усталости и от этого момента до окончательного разрушения) также может находить отражение в расчетах на усталость. Однако, несмотря на большое количество работ, посвященных изучению закономерностей развития усталостных трещин, до настоящего времени нет общих методов оценки закономерностей распространения тре­ щин в зависимости от числа циклов в деталях сложной конфигурации при случайном нагружении.

В отдельных случаях для количест­ венного описания процесса развития трещин усталости применяются методы линейной механики разрушения с ис­ пользованием решений соответствую­ щих краевых задано напряженном со­ стоянии в окрестности трещин данной конфигурации, ориентированных раз­ личным образом относительно поля основной напряженности. Закономер­ ности скорости роста и направленности трещим усталости также необходимо рассматривать в статистическом аспекте в силу случайного характера проте­ кания процессов разрушения. Эти зако­

номерности следует использовать в тех случаях, когда можно применить мето­ ды механики разрушения или когда имеются непосредственные эксперимен­ тальные данные о развитии трещин усталости, позволяющие произвести вероятностную оценку живучести эле­ ментов конструкций на стадии роста трещин и обосновать соответствующие ограничения эксплуатационного ресур­ са изделий.

В тех случаях, когда оценить живу­ честь конструкции на стадии развития трещины затруднительно, расчеты на усталость при проектировании целе­ сообразно осуществлять по условию появления первой макроскопической трещины усталости. Протяженность этой первой трещины может быть принята равной нескольким мм, что определяется возможностями простей­ ших средств наблюдения (визуальное, с помощью лупы, магнитной дефекто­ скопии и т. п.)., а также тем, что в ряде случаев даже такая протяженность трещины может быть критической с точки зрения возможности хрупкого разрушения. В связи с этим, характе­ ристики сопротивления усталости, ис­ пользуемые в таком расчете, должны соответствовать стадии появления пер­ вой макроскопической трещины.

Следует отметить, что пределы вынос­ ливости деталей, найденные по условию образования трещины и по окончатель­ ному разрушению практически совпа­ дают при <ха < 2 -т- 3 (что имеет место в большинстве правильно сконструиро­ ванных деталей).

Величина показателя наклона левой ветви кривой усталости по началу трещины выше, чем по окончательному разрушению, причем эта разница увели­ чивается с ростом аа.

Объем имеющейся эксперименталь­ ной информации о характеристиках прочности и нагруженности определяет уровень достоверности (доверительные интервалы) оценки средних значений и показателей рассеяния указанных величин, а следовательно, и функции распределения долговечности детали, рассчитываемой на их основе.

Практические рекомендации по опре­ делению числа испытуемых изделий для получения с определенной доверитель­ ной вероятностью заданной точности

нарным и гауссовским, находят рас­ пределение амплитуд напряжений и суммарное число циклов, пользуясь по существу лишь простейшими способами схематизации (методом максимумов [70] или размахов [71]). Более сложные методы схематизации, такие как метод полных циклов Или укрупненных размахов, на основе теории случайных процессов в настоящее время не описы­ ваются вследствие значительных мате­ матических трудностей.

Более широко" применяемые методы, относящиеся к первой группе, сводятся к следующему.

Метод максимумов. Схематизация реального процесса нагружения по этому методу пояснена на рис. 23, на котором приведен график изменения напряжений а в зависимости от вре­ мени t. Величина оср= ат характери­ зует средний уровень процесса и опре­ деляется как среднее арифметическое значение случайных ординат процесса на достаточно представительном от­ резке времени Т:

п

1 V

° с р — a m — п ^ a h

i = 1

где п — число случайных ординат, взятых при подсчете сгСр.

За амплитуды напряжений отдель­ ных цолуциклов принимают отклоне­ ния между всеми максимумами данного процесса и средним уровнем,-т. е. вели­ чины ст01, Од2, и т. д. При этом предполагают, что распределение ми­ нимумов процесса симметрично рас­

ция распределения амплитуд напряже­ ний. Величина определяет число циклов всех амплитуд за опре­ деленный период эксплуатации, ко­ торый в дальнейшем будем обозначать /б и называть блоком нагружения.

Метод максимумов приводит к схе­ матизированному процессу, который вызывает, как правило, более сильные повреждения в смысле усталости, чем реальный процесс. В случае процесса, показанного на рис. 23, б, небольшие колебания нагрузки между максимума­ ми 1, 2, 3, 4, 5 могут не оказывать повреждающего действия (при доста­ точной малости этих промежуточных колебаний). Поэтому изменение на­ грузки в пределах от точкиЛ до точки В можно было бы рассматривать как один полуцикл с амплитудой ста3, наиболь­ шей в этом интервале'. По методу же максимумов фиксируются пять полу-

повреждающей, чем реальный процесс. Метод учета одного экстремума между двумя соседними точками пересечения­ ми среднего уровня. В этом методе (рис. 24) учитывают только один наи­ больший экстремум между каждыми двумя пересечениями кривой процесса с линией среднего уровня, а именно, на отрезке АВ берется оа1, на ВС — оаг, на CD — ой3 на DE — оа4 и т. д. Эту совокупность используют для пост­ роения функции распределения амплн-

туд. Таким образом, в этом методеустра­ няется отмеченный выше недостаток ме­ тода максимумов, хотя появляется про­ тивоположная возможность получения схематизированного процесса менее по­ вреждающего, чем реальный процесс.

Метод размахов. В этом методе за амплитуду напряжений принимают по­ ловину размаха между двумя сосед­ ними экстремумами процесса, причем учитывают все экстремумы, как пока­ зано на рис. 25.

Таким образом, получают последо­ вательность величин ста1, оа2, ... , оап, по которым можно построить функцию распределения амплитуд напряжений. При этом число циклов за срок службы, соответствующий отрезку тензометри-

п

рования, определяют как \ 6 = — f

так как в расчет принимают размахи, соответствующие полуциклам напря­ жений.

Метод размахов приводит к схемати­ зированному процессу, обладающему меньшим повреждающим действием, чем реальный процесс (получаемые при этом расчетные оценки долговеч­ ности являются верхними оценками для срока службы).

Это можно видеть из рис. 25. Если размахи 1—2, 2—3, 3—4, 4—5,. 5—6 могут не достигать предела выносли­ вости детали, то в этом случае соот­ ветствующие амплитуды оа1, оа2 ..., оа5 не будут превышать 0,5о_1д, и, как показывают опытные данные, не будут оказывать повреждающего действия. В то же время размах 1—6, который не учитывают в этом методе, может оказывать повреждающее действие.

Разновидностью этого метода яв­ ляется метод учета размахов, превы­ шающих некоторуюзаданную величину. В этом случае размахи, не превышаю­ щие эту величину, не учитываются.

Метод укрупненных размахов [14, 34]. Согласно этому методу, на основании линейной гипотезы суммирования по­ вреждений сравнивают повреждающее действие, оказываемое совокупностью промежуточных полуциклов, с повреж­ дающим действием основного полуцикла, образованного крайними экс­ тремумами. Для регистрации выбирают вариант, оказывающий наибольшее повреждающее действие. Так, приме­ нительно к рис. 25, следует сравнить повреждение от совокупности полу­ циклов 1—2, 2—3, 3—4, 4—5, 5—6

с повреждением от полуцикла 1—6. Соответствующие вычисления выпол­ няются на ЭВМ или с помощью номо­ грамм [14,34].

Метод полных циклов. При обра­ ботке осциллограмм обычно рабочий диапазон изменения напряжений раз­ бивают на несколько участков (раз­ рядов), причем каждому разряду со­

ответствует некоторое приращение на­ пряжений Да кгс/мм2. По этому методу (см. рис. 26) вначале выделяют простые промежуточные циклы, размах которых не превышает 2-х разрядов по оси на­ пряжений. На рис. 26,а такими цик­ лами являются циклы, образованные экстремумами 2—3, 8—9, 13—14, 17— 18, 23—24 и т. д. Подсчитывают коли­ чество этих циклов и исключают их из рассмотрения; в результате приходят к процессу, изображенному на рис. 26,6. Далее выделяют циклы, размах кото­ рых лежит в пределах от двух до трех разрядов (циклы, образованные экстре­ мумами 5—6, 10—11, 25—26, 35—36).

После подсчета числа этих циклов их также исключают из рассмотрения, в результате приходят к схеме, показан­ ной на рис. 26, в. Далее подсчитывают циклы с размахами в пределах от трех до четырех разрядных единиц {12—15, 19—20, 32—33 на рис. 26, в) и т. д.

Таким образом, устанавливают зави­ симость между уровнем амплитуд На­ пряжений и числом циклов их дейст­ вия, т. е. функцию распределения ам­ плитуд напряжений Ф (а*), показы­

вающую, какая относительная доля от общего числа циклов за срок службы Nсущ соответствует амплитудам аа

Блоком нагружения называется сово­ купность последовательных значений переменных во времени напряжений, которые возникают в детали за опреде­ ленный период эксплуатации, напри­ мер, за 1 км пробега (транспортные

Тогда общая наработка детали L, измеренная в тех же единицах, что и

вают, что можно исключить из рассмот­ рения при описании блока нагружения, амплитуды напряжений не превышаю­ щие половины предела выносливости, т. е. оп < 0,5ст_1д.

Введем обозначение: Vg — число цик­ лов, соответствующее амплитудам аа >

> 0,5а_1д в одном блоке нагружения. Подбор вида функции распределения Ф(ста) целесообразно производить после отбрасывания указанных выше малых амплитуд. Под суммарным числом циклов за весь срок службы /Усум будем понимать величину

Таким образом, при однопараметри­ ческой систематизации (когда учитыва­ ются только амплитуды отдельных полуциклов напряжений) в результате об­ работки получают величину vg и функ­ цию распределения амплитуд Ф (ста), описанную некоторым законом распре­ деления или заданную в табличной форме в относительных величинах, как показано в табл. 2.

В качестве ста1 = aumax следует вы­ бирать такое значение аа, вероятность

Таблица 2

Распределение амплитуд напряжений

1 2 3

aai/aa шах

превышения которого составляет Р ~ ~ 10-с — 10"°, а величина относитель­ ного числа циклов за срок службы

>Ч_ ^1^сум < 0 ,0 0 1 -0 ,0 1 ,

Ж~TNT~

где N1 — число циклов по кривой усталости при оа = аа1.

Описанные выше методы схематиза­ ции случайного процесса нагруженности основаны на однопараметриче­ ской систематизации, в результате которой принимается во внимание только один параметр — амплитуда напряжений. Более полной является двухпараметрическая систематизация, в результате которой получается кор­ реляционная таблица, характеризую­ щая двухмерную плотность распреде­ ления амплитуд аа и средних напряже­ ний цикла ат (рис. 27). В этом случае для учета асимметрии цикла целесооб­ разно перейти к функции распределе­ ния эквивалентных амплитуд, приве­ денных к симметричному циклу по соотношению

где фст — коэффициент влияния асим­ метрии цикла (обычно ф0 = 0,05—0,3, см. гл. 3).

Различие условий эксплуатации учи­ тывается при планированиитензометрических измерений путем разбиения

параметры функций распределения амплитуд, а закон их распределения остается в ряде случаев практически неизменным, т. е. имеет место подоб­ ное преобразование функций распре­ деления.

Пусть, например, закон распределе­ ния амплитуд является нормальным

с параметрами оа (среднее значение амплитуды) и Saa (стандартное откло­

нение). Вследствие влияния случайных нерегламентируемых факторов, вели­

чины Од и 5СТа будут иметь также слу­ чайные отклонения. Но при подобном

ва

менным.

Если в результате п повторных из­ мерений нагруженности в условиях заданного сочетания регламентируемых эксплуатационных условий работы по­ лучены п значений средних амплитуд

aar (г =F 1, 2, п), то среднее значе­

ние Од, среднее квадратичное отклоне­ ние S- и коэффициент вариации

- =-=-^ величины Од опреде-

аава-

ЛЯЮТСЯ по известным формулам

п

Если закон распределения амплитуд представлен в виде ступенчатого гра­ фика со ступенями стш-, то указанные выше случайные вариации функции распределения амплитуд при их по­ добном преобразовании могут быть описаны соотношением

где oai — среднее значение амплитуды 1-й ступени блока; е = 1 + upvR—

нормально распределенная случайная величина, имеющая среднее значение, равное единице; ve — коэффициент ва­ риации е, характеризующий случайные отклонения уровня нестационарной нагруженности (при ступенчатой апроксимации нормального закона рас­ пределения амплитуд ve = и- ); ир —

аа

квантиль нормального распределения. Предположение о нормальном рас­ пределении величины е оправдывается результатами непосредственных изме­ рений напряжений в рамах тележек локомотивов, электровозов, в полуосях автомобилей и в других случаях. Нормальное распределение е можно объяснить с помощью центральной предельной теоремы теории вероятно­ стей, ибо на величину е оказывают влияние значительное количество слу­ чайных факторов, каждый из которых

влияет незначительно.

Параметры функций распределения амплитуд напряжений значительнее1 зависят от регламентируемых условий работы. Поэтому функции распреде­ ления амплитуд находят при различ­ ных режимах эксплуатации (при раз­ личных сочетаниях регламентируемых условий работы). Для получения ре­ зультирующего смешанного закона рас­ пределения амплитуд используют ста­ тистические данные о долях времени работы машины при различных режи­ мах. В результате, плотность распре­ деления смешанного закона и его пара­ метры могут быть найдены по извест­ ным соотношениям [13]: