2768.Несущая способность и расчёт деталей машин на прочность

fu (аа) — плотность распределения ам­ плитуд напряжений в условиях с но­

мером k\ Ъак, vk — математическое ожидание и коэффициент вариации амплитуды в условиях с номером /г;

Ъ , S* — среднее значение и диспер-

сия амплитуды смешанного закона рас­ пределения.

Найденные таким образом функции распределения амплитуд напряжений используются далее для расчета на усталость.

Расчет на усталость при регулярной нагруженности в вероятностном аспекте (1-й расчетный случай)

Под регулярной нагруженностью в данном случае следует понимать пе­ риодический закон изменения напря­ жений во времени с периодом, соответ­ ствующим одному циклу, при неизмен­ ности во времени характеристик цикла напряжений.

Вероятностная трактовка условий прочности деталей машин и элементов конструкций при регулярной пере­ менной напряженности основывается на статистической оценке возможных слу­ чайных отклонений амплитуды перемен­ ных напряжений и величины предела выносливости или его значений, огра­ ниченных по числу циклов, если рас­ сматриваются условия прочности для данного ресурса по числу циклов [41].

Случайные отклонения величины ам­ плитуды регулярной переменной на­ пряженности деталей порождаются как случайными нарушениями режима ра­ боты, связанными с воздействием ре­ гулирующих и управляющих систем (флуктуации мощности, числа оборо­ тов, технологических сопротивлений и т. д.), так и случайными отклонения­ ми нагруженности одинаковых деталей машин вследствие производственных и эксплуатационных влияний (допуска на неточность изготовления, частотной отстройки, регулировки; вариации на­ груженности деталей стационарно ра­ ботающих машин данного типа, постав­ ленных в разные эксплуатационные ус­ ловия по используемым мощностям, по степени износа, по режимам ремонта и т. д.). Случайные отклонения вели-

чины предела выносливости деталей яв­ ляются следствием неоднородности ис­ ходного металла и условий технологии термической и механической обработки идругих производственных, а на стадии эксплуатации и ремонтных факторов.

Изменчивость амплитуд действующих переменных напряжений и пределов выносливости для данной совокупно­ сти деталей статистически описывается соответствующими кривыми плотности распределения. Рассмотрение сопротив­ ления усталостному разрушению в ве­ роятностной трактовке для этого слу­ чая имеет много общего с рассмотрерением статической прочности кон­ струкций при однократном стати­ ческом нагружении применительно к инженерным сооружениям [39, 51].

Расчет вероятности разрушения по напряжениям выполняется наиболее просто при использовании нормального закона распределения пределов вынос­ ливости и амплитуд напряжений. Ус-

Если о_1д и оа распределены нормаль­ но и независимо, то согласно известным положениям теории вероятностей вели­ чина М также распределена нормально

с параметрами (М, SAI), где среднее значение М и стандартное отклонение

сти Р. Значение М = 0 разграничивает области отрицательных и положитель­ ных величин М, так что вероятность разрушения определяется из равенства

(6.71), можно определить величину квантиля ир, по которому по табли­ цам нормального распределения на­ ходится вероятность разрушения Р.

Зависимость квантилей ир и соответ­ ствующих им вероятностей разруше­

2 = о_1Д| взятая при значении г = у =

= °а, т. е.

Фг(У)=Фг (аа) = $ M *) dz,

численным способом как показано да­ лее на примере.

Пример вычисления вероятности разру­ шения. Пусть амплитуды эксплуатацион­ ных напряжений для данной детали в про­ цессе работы не меняются, но на совокуп­ ности всех деталей амплитуды распреде­ лены нормально со средним значением 5 =9,3 кгс/мма и коэффициентом вариа-'

цин v = 0,3. Распределение пределов вы-

носливости деталей на основании экспери­ ментальных данных примем логарифмиче­ ски нормальным с нижней пороговой гра­ ницей и = 26,3 кгс/мм*, т. е. будем счи­ тать, что величина х = Ig (а_\р&а —“)

распределена формально со средним значе­

= 18,6 кгс/мма — медианное значение пре­ дела выносливости детали в номинальных напряжениях (соответствующее вероятно­ сти разрушения Р = 50%); а а = 2 — теоре­

тический коэффициент концентрации на­ пряжений. Результаты вычислений сведены в табл. 3. Во втором и третьем столбцах при­

ствующнх им значений плотностей вероят­

= Ф (ыр) найдем квантиль ыр из следую­ щего выражения:

Так как значение интегральной функции

вместо а_нужно подставить ofl^, в ре­ зультате чего получим

г1 .

“Р£ = Т ]5Г1'

где

и

и

(6. 75)

1Д“а и паа

этому выражению найдены значения г.

Далее определяются значения lg г- и

ФВ последнем столбце вычислены

Врезультате получаем

Р„ _ = ~ -29.535-10- 4 = 5,91 • 10- *

разр 0,3

= 0,06, см. табл. 3 ].

предполагаются неизменными, то ве-

(Тд/ I

личины Oai, — —— . I;, а следователь- o'а шах

но,и ар можно считать детерминирован­

ными, т. е. в расчетах их вариацией пренебрежем.

При больших числах циклов за срок службы детали (Мсум > 107 циклов), что соответствует большинству слу­ чаев в инженерной практике, лишь сравнительно небольшое число ампли­ туд напряжений (и ненамного) превы­ шает предел выносливости. В этом случае, как показывают расчеты, даже 1,5—2-кратные изменения величины т приводят к несущественным измене­ ниям долговечности. Поэтому можно пренебречь вариацией этого параметра, т. е. рассматривать его как детермини­ рованный.

Медианный ресурс детали (соответ-* ствующий вероятности разрушения 50%), выраженный количеством блоков нагружения,

(6.78)

Для оценки дисперсии долговечности прологарифмируем выражение (6.77), в результате чего получим при oai =

Расчет па усталость при нерегулярной напряженности и ограниченном ресурсе

(/VcyM< 107—10» циклов, 2-й расчетный случай)

Для подсчета среднего ресурса сово­ купности деталей может быть исполь­ зована линейная гипотеза суммирова­ ния усталостных повреждений с кор­ ректировкой по формулам, приведен­ ным в гл. 3.

Подставляя в уравнение (3.68) вы­ ражение (6.62) для oai, получаем

Так как форма графика распределе­ ния амплитуд в относительных вели­ чинах, а также его средний уровень

= W -

\ g l = A + m ( \ g ст_гд— lg б),

*6 я нированные величины.

Следует отметить, что величины Л'а и V(5 могут иметь некоторое рассеяние. Но как показывает опыт практических расчетов, их рассеянием можно пре­ небречь и расчет вести по средним значениям этих величин. Так как величины а_1л, е можно считать взаимно независимыми, дисперсия величины lg/. определяется по формуле, выражающей дисперсию суммы независимых случай­ ных величин:

формуле дисперсии функции случайной

Без большой погрешности можн<? принять, что распределение ресурса логарифмически — нормальное.

В этом случае логарифм ресурса Lp,

(6.84)

tf-lHCX

содержащего амплитуды оа > a_v По­ этому расчет на прочность при не­ регулярном нагружении может ба­ зироваться на учете снижения пре­ дела выносливости вследствие пере­ грузок.

Распределение амплитуд напряже­ ний может описываться любым зако­ ном. Рассмотрим пример расчета с нор­ мальным законом распределения ам­

плитуд со средним значением оа, стан­ дартным отклонением Sad и коэффи­

циентом вариации амплитуд напря-

оа

циклов за весь срок эксплуатации обо­ значим через NcyM. Примем, что предел выносливости имеет фиксированное зна­

<*-1Д

разрушений не будет, назовем пре­ дельным коэффициентом нагруженности. Наиболее удобным с практиче­ ской точки зрения методом определе­ ния величины пр является табличный

метод последовательных приближений (табл. 4).

Вначале непрерывное распределе­ ние амплитуд заменяется дискретным, как показано в первых трех строках табл. 4, где ир — квантили нормаль­

ного распределения; tt — относитель­ ное количество циклов (по отношению к NСум), приходящееся на амплитуду

aai

oai't h = $ Ф' (cr) do, причем при­

нято, что эти величины отнесены к правой границе интервала напряже­ ний (оа, /_х; oai), т. е. к величине сгш-; погрешность в этом случае находится в безопасной зоне. Величину t-t нахо­ дят по таблице нормального закона распределения. Числа циклов дей­ ствия амплитуд oai

где принято up max= 5,5 Для нормаль­

ного закона; более высокие амплитуды практически не сказываются на ре­ зультатах расчета вследствие весьма малых для них величин ^ (но могут иметь значение для расчета на стати­ ческую прочность, что в данном случае не рассматривается); в табл. 4 также

все напряжения блока действуют по­ следовательно в порядке убывания, начиная с самого высокого значения амплитуды оа1, что приведет к некото­ рой погрешности в безопасную сторону. Как показывают расчеты с разбиением общего количества циклов Ncум на различное число блоков, эта погреш­ ность мала.

Допустим, что оа1 = статах > ст_1д.

В этом случае, в результате действия первой ступени нагружения оа1 дли­ тельностью пх предел выносливости снижается, что вытекает из формулы (6.84). Новое значение предела вынос­ ливости

Действие 2-й ступени нагружения вызовет новое снижение предела вы­ носливости и его значение составит (в предположении, что по отношению к кривой первоначально поврежден­ ного напряжением оа1 материала про­ цесс дальнейшего снижения подчи­ няется той же закономерности)

4,5

2,86-10-»

1,9-10-»

0,867

4,0

1,98.10-»

1,98-10"

1,32

0,8

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Исходя из этих же предположений, получим, что после приложения i-й ступени нагружения величина предела выносливости поврежденного матери­ ала

*^-1ПОВ(--- tf-lnO B . 1-1 X

Обозначим для упрощения записей че­ рез xi = а_ lnoB; величину предела вы­ носливости поврежденного материала, получающуюся после действия i-й сту-

пени. Кроме того, из выражения для кривой усталости

где /V; — число циклов, соответствую­ щее амплитуде оа1 по кривой усталости поврежденного материала, получив­ шейся после приложения (i — 1)-й ступени нагружения. Величины абс­ циссы точки перелома кривой уста­ лости N0, а также показателя на­ клона кривой усталости т полагаем постоянными. С учетом указанных со­ отношений выражение (6.87) запишем в виде:

(см. табл. 4). В качестве первого при­ ближения выбираем некоторое значе­ ние Яф например, пр = 1,25, как

принято в табл. 4. В этом случае можно вычислить величины отношений

умножая числа 6-й строки на величину пр = 1,25.

Далее вычисления ведут в следующем

порядке. Для i = l : £* = = —* )

хо ’

т. е. число 1,25 переписывается из-7-й

Умножая на это число величину Nn

ния £; нужно разделить число из 7-й строки и г-го столбца на число из 12-й

вие не выполняется, а при некотором i получится <; 1, то это означает что разрушения не будет при данном значении пр. Проделав указанные вы­

числения при 3—4 значениях пр, можно получить значения пр, соответ­

ствующие появлению разрушения. Так, в табл. 4 при пр = 1,25 получено:

жение) £4 = 0,997 < 1, что означает отсутствие разрушения. Можно было

бы ограничиться этими приближениями и принять пр = 1,23. Дополнительные

вычисления при пр = 1,23 показали

разрушение ( ^ - = 1,23 при £4 = 1,025j .

Поэтому окончательно величина пр принята равной пр = 1,22. Следует

заметить, что если принять какой-либо вид закона распределения амплитуд напряжений, например, нормальный закон, то величина пр будет зависеть

т и vn N0 ’ ....... ад*

что позволяет проделать все указанные вычисления заранее и построить номо­ грамму для пр . Пример такой номо­

граммы для ряда значений т и vaa

представлен на рис. 29, 30. Как видно из этих рисунков величина т слабо влияет на величину пр . Основное влия-

М сун

ние оказывают величины vaa и —^ — .

Соответствующие диаграммы, приве­ денные в работах [29, 43], построены

для коэффициентов п'р = °11д- . Новые

Ga

° - 1 Д

старыми коэффициентами для нормаль­ ного распределения следующим соот­ ношением:

По = •

—1Д

1+ W, max VОа

Пр

где цРmax = 5,5, как следует из табл. 4. Переход к новым значениям пр связан

с удобствами единообразия вычисле­ ний для различных законов распреде­ ления амплитуд напряжений. Зависн­

ет мости новых коэффициентов пр= Qmax

Ст-1д

1о KNW*

от '8 —гг— (рис. 29, 30) представляют

No

собой вторичные кривые усталости в относительных (по отношению к а_1д) величинах. Аналогичные диаграммы

Рис. 31. Диаграмма для определния пр

при экспоненцианальном распределении ам­ плитуд напряжений

могут быть построеныдля любого закона распределения амплитуд напряжений. Так, на рис. 31 представлена анало­ гичная диаграмма для экспоненциаль­ ного закона распределения амплитуд 'напряжений, выражаемого уравнением

где аа — средняя амплитуда напряже­ ний'.

В расчете диаграммы для пр (рис. 31)

были приняты ступени напряжений и относительных длительностей их дей­ ствия, полученные в результате сту­ пенчатой апроксимации экспоненци­ ального закона [42] (табл. 5)

В работах [29, 43] в качестве коэф­ фициента пр для экспоненциального

распределения было выбрано отноше­

связаны со старыми п р соотношением