1237

УДК 621.399 Т89

Рецензенты:

доктор технических наук, профессор В.А. Твердохлебов (Институт точной механики и проблем управления РАН, г. Саратов); кандидат технических наук, доцент А.И. Дерябин

(Пермский филиал высшей школы экономики)

Тюрин, С.Ф.

Т89 Теория графов и её приложения : учеб. пособие / C.Ф. Тюрин. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2015. – 159 с.

ISBN 978-5-398-01501-0

Представлены основные характеристики графов и даны основные задачи, решаемые на них. Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 090303 «Информационная безопасность автоматизированных систем», 090104 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», изучающих дисциплину «Теория графов и её приложения», для магистров, изучающих дисциплину «Исследование операций», а также студентам, изучающим дисциплину «Дискретная математика», «Математическая логика и теория алгоритмов».

Будет полезно аспирантам для проведения научных исследований и преподавателям.

УДК 621.399

2

4

ВВЕДЕНИЕ

Считается, что теория графов ведёт свою историю с задачи Леонарда Эйлера о кенигсбергских мостах (1736 г.) [1–5].

Граф, соответствующий расположению островов (1, 4), берегов (2, 3), мостов (рёбра a, b, c, d, e, f, g – мосты), представлен на рис. В1.

Задача заключается в прохождении по всем мостам (рёбрам графа) и возвращении в исходную точку (вершину графа).

Эйлерова цепь в графе – это маршрут, проходящий по всем ребрам графа и притом только по одному разу. Эйлеров цикл – это эйлеров путь, являющийся циклом. Эйлеров граф – граф, содержащий эйлеров цикл.

а

Рис. В1. Задача о кенигсбергских мостах: а – семь мостов через реку Преголь, на которой два острова; б – соответствующий граф

Эйлер показал, что конечный неориентированный граф G имеет такой цикл тогда и только тогда, когда он связан и степени всех его вершин четны.

В графе, соответствующем задаче о кенигсбергских мостах, все вершины нечетны. Следовательно, эта задача на рис. В1 неразрешима.

5

Статья Эйлера, посвящённая этой задаче, написана на латинском языке в период его работы в Российской академии наук и использует «геометрическую» терминологию (рис. В2) [6].

Рис. В2. Оригинальная статья Эйлера на латинском языке и с «геометрической» терминологией

По существу, задача Эйлера – задача нахождения эйлерова цикла – это задача оптимизации, минимизации, например, при обеспечении безопасности, «охране» или «мониторинге» мостов – рёбер графов или других объектов – линий связи, дорог, трубопроводов, коридоров объекта сложной архитектуры и пр. Но она не всегда имеет решение в соответствии с условием Эйлера.

На данный момент в Калининграде, как ни странно, семь мостов, и граф, построенный на основе островов и мостов Калининграда, по-прежнему не имеет эйлерова цикла [5].

Дальнейшее развитие теория графов получила в ХIХ веке в связи с зарождением электротехники (законы Г. Кирхгофа) [7].

6

Теория графов стала активно применяться с 30-х годов ХХ века в связи с развитием вычислительной техники, информатики, программирования, кибернетики, дискретной математики, исследования

годы в СССР теория графов была явлением новым и вызывала иногда неприятие у математиков классического направления. Многим из

7

них казалось, что теория еще не достигла такого уровня, на котором возможны докторские диссертации. Поэтому Высшей аттестационной комиссией (ВАК СССР) была назначена его повторная защита – «перезащита» докторской диссертации в математическом институте им. В.А. Стеклова, которая прошла успешно, и А.А. Зыков получил учёную степень доктора физико-математических наук.

Александр Александрович Зыков (1922–2013)

Учитывая педагогический опыт Зыкова, ему сразу присвоили и учёное звание профессора.

Во время работы в Новосибирске он создал первый в Советском Союзе семинар по теории графов.

В1969 году Зыков издает классический труд «Теория конечных графов».

Внастоящее время теория графов является широко используемым математическим аппаратом, в том числе в информатике, в информационных технологиях и системах, в маршрутизации (Routing) – процессе определения маршрута следования информации в сетях связи, в новой науке компьютерной химии и пр.

Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

8

1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРАФОВ

Первую книгу конкретно по теории графов «Теория конечных и бесконечных графов» опубликовал в 1936 году венгерский математик Денеш Кёниг [10].

Он увлёкся графами, находясь под впечатлением известной задачи о раскраске любой географической карты всего четырьмя красками. Считается, что впервые её сформулировал студент Де Моргана Ф. Гутри [11] в 1852 году.

Рис. 1.1. Административная карта России, раскрашенная в четыре цвета (с Крымом и Севастополем!)

9

Для простых карт достаточно и трёх цветов, а четвёртый цвет начинает требоваться, например, тогда, когда имеется одна область, окруженная нечетным числом других, которые соприкасаются друг с другом, образуя цикл.

Хроматическое число графа G – минимальное число цветов, в которые можно раскрасить вершины графа G так, чтобы концы любого ребра имели разные цвета [11]. В теории графов теорема четы-

рёх красок формулируется так: хроматическое число плоского графа не превосходит 4. Кроме вершинной рассматривается также и рёберная раскраска графов.

Хроматическое число используется, например, в сотовой связи. Основной идеей, на которой базируется принцип сотовой связи, является повторное использование частот в несмежных сотах. Группа сот c различными наборами частот называется кластером (рис. 1.2, 1.3).

Рис. 1.2. Повторное использование частот в несмежных сотах: D – «защитный интервал»; R – радиус ячейки

10