1237

Тут надо бы «огранить» фигуру, а то некоторые грани в одной плоскости лежат (рис. П1.18).

Рис. П1.18. Выпуклая фигура проективной плоскости (!) Фано

Так ещё лучше, видны все 10 граней.

Платоновы тела

Куб, рассмотренный выше, – это одно из пяти так называемых платоновых тел – гэксаэдр (др.-греч. κύβος), или правильный гексаэдр («правильный шестигранник» от др.-греч. ἑξάς – «шесть» и др.-греч. ἕδρα – «седалище, основание») – правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Частный случай параллелепипеда и призмы.

А вот тетраэдр – (др.-греч. τετρά-εδρον – четырёхгранник, от др.-греч. τέσσᾰρες, τέσσερες,

ники, называется правильным (рис. П1.19).

121

Число вершин S = 4, число граней H = 4, число рёбер A = 6. По теореме Эйлера получаем: S + H = A + 2, т.е. 4 + 4 = 6 + 2. Вид сверху дан на рис. П1.20.

Рис. П1.20. Тетраэдр в виде графа

Цикломатическое число тетраэдра:

λ(G) = A – S + 1 = 6 – 4 + 1 = 3.

Опять же как бы цикл нижней грани включает в себя три цикла и не учитывается.

Октаэдр (греч. οκτάεδρον, от греч. οκτώ, «восемь» и греч. έδρα – «основание») – один из пяти выпуклых правильных многогранников

(рис. П1.21).

Рис. П1.21. Октаэдр

Число вершин S = 6, число граней H = 8, число рёбер A = 12. По теореме Эйлера получаем:

S + H = A + 2, т.е. 6 + 8 = 12 + 2.

Вид сверху дан на рис. П1.22.

122

Рис. П1.22. Октаэдр, вид сверху

Цикломатическое число октаэдра:

λ(G) = A – S + 1 = 12 – 6 + 1 = 7.

Всё правильно!

Икосáэдр (от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»; ἕδρον «сидение», «основание») – правильный выпуклый многогранник, двадцатигранник, одно из платоновых тел. Каждая из 20 граней представляет собой равносторонний треугольник. Число ребер равно 30, число вершин –

12 (рис. П1.23).

Рис. П1.23. Икосáэдр – двадцатигранник

Число вершин S = 12, число граней H = 20, число рёбер A = 30. По теореме Эйлера получаем:

S + H = A + 2, т.е. 12 + 20 = 30 + 2.

Цикломатическое число октаэдра:

λ(G) = A– S + 1 = 30 – 12 + 1= 19.

123

Додекаэдр (от греч. δώδεκα – двенадцать и греч. εδρον – грань) – один из пяти возможных правильных многогранников. Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников, являющихся его гранями. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся

3 ребра.) (рис. П1.24).

Число вершин S = 20, число граней H = 12, число рёбер A = 30. По теореме Эйлера получаем:

S + H = A + 2, т.е. 20 + 12 = 30 + 2.

Цикломатическое число додекаэдра:

λ(G) = A – S + 1 = 30 – 20 + 1 = 11.

Следовательно, в платоновых телах цикломатическое число на единицу меньше числа граней – как бы на эту единственную грань «ставятся» – проектируются на плоскость эти фигуры.

Рассмотрим конус (рис. П1.25).

Конус – одна вершина, две грани, одно ребро? Число вершин S =1. Число граней H =2. Число рёбер A =1? По теореме Эйлера S + H = = A + 2, т.е. 1 + 2 = 1 + 2. Но конус в проекции не даёт граф

(рис. П1.26).

124

Не может быть ребро отдельно от вершины. А проведём две линии от вершины вниз, получим то (рис. П1.27), что уже было на шаре

(рис. П1.13).

Число вершин S =3. Число граней H =3 (одна нижняя). Число рёбер A =4. По теореме Эйлера S + H = A + 2, т.е. 3 + 3 = 4 + 2. Верно!

λ(G) = A – S + 1 = 4 – 3 + 1 = 2. Правильно!

Рассмотрим усеченный конус (рис. П1.28).

Число вершин S = 0. Число граней H = 3. Число рёбер A = 2. По теореме Эйлера S + H = A + 2, т.е. 0 + 3 не равно 2 + 2.

Не бьёт «ведро» – вершин нет! Так и его проекция – тоже не граф (рис. П1.29).

Введём парочку вершин (рис. П1.30).

Число вершин S = 2. Число граней H = 3 (нижнее и верхнее основания и «труба»). Число рёбер A = 3. По теореме Эйлера S + H = = A + 2, т.е. 2 + 3 = 3 + 2. Идёт! Бьёт и цикломатическое число:

λ(G) = A – S + 1 = 3 – 2 + 1 = 2.

125

И, наконец (рис. П1.31).

Число вершин S = 4. Число граней H = 4 (нижнее и верхнее основания и «труба»). Число рёбер A = 6. По теореме Эйлера S + H = A + 2, т.е. 4 + 4 = 6 + 2. Идёт! Идёт и цикломатическое число:

λ(G) = A – S + 1 = 6 – 4 + 1 = 3.

Матроид Фано

Создадим граф проективной плоскости Фано с различными весами рёбер и получим решение задачи коммивояжёра (рис. П1.32).

Рис. П1.32. Решение задачи коммивояжёра в графе Фано

126

Оказывается, этот граф Фано представляет собой такую интересную математическую структуру, как матроид.

Матроид – классификация подмножеств некоторого множества, представляющая собой обобщение идеи независимости элементов, аналогично независимости элементов линейного пространства, на произвольное множество.

Матроиды с маленьким числом элементов часто изображают в виде диаграмм. Точки – это элементы основного множества, а кривые «протянуты» через каждую трёхэлементную цепь (3-element circuit). Диаграмма показывает 3-ранговый матроид, называемый матроидом Фано, пример, который появился в 1935 году в статье Уитни (Whitney).

Матроиды хорошо описывают класс задач, допускающих «жадное» решение.

Если каждому элементу носителя матроида сопоставлен его вес, и вес подмножества носителя определяется как сумма весов элементов этого подмножества, то алгоритм Радо–Эдмондса позволяет найти среди всех баз матроида базу минимального веса.

Пусть дана матрица [12]:

Задача 1. Требуется выбрать из каждого столбца по одному элементу так, чтобы их сумма была максимальна.

Жадный алгоритм выбирает элементы

И они действительно являются решением задачи.

127

Задача 2. Требуется выбрать из каждого столбца и из каждой строки по одному элементу так, чтобы их сумма была максимальна.

Жадный алгоритм выбирает неоптимальное решение. Вот оптимальное решение:

Теорема Дезарга [15]

Граф Фано рассматривается и в так называемой проективной геометрии. Проективная геометрия изучает проективные плоскости и пространства. Главная особенность состоит в принципе двойственности, который прибавляет изящную симметрию во многие конструкции. Симметрия графов рассматривалась нами в теме «Автоморфизмы». Проективная геометрия может изучаться как с геометрической точки зрения, так и с аналитической, и с алгебраической, рассматривая проективную плоскость как структуру над полем.

Жерар Дезарг (фр. Girard Desargues) (1591–1661) – известный французский геометр. Теорема, носящая его имя, формулируется следующим образом: если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников, проходят через одну точку, то три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников, лежат на одной прямой (рис. П1.33).

Обратное тоже верно: если два треугольника расположены на плоскости таким образом, что три точки, в которых пересекаются продолжения трёх пар соответственных сторон треугольников,

128

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Строгое нахождение множеств устойчивости графа

Множество внутренней устойчивости графа – это множество несмежных вершин. «Шахматный» пример – задача о восьми ферзях: как расставить на шахматной доске восемь ферзей, чтобы они

ства сотрудников, которые не могут непосредственно передавать служебную информацию друг другу.

Используем метод Магу.* Метод Магу – метод нахождения максимального внутренне ус-

тойчивого множества предполагает получение по матрице смежности КНФ, описывающей условия существования такого множества, по каждой вершине, смежной с другими вершинами.

Записываем логическое выражение непосредственно по графу:

(0 →1)(0 → 2)(0 →4)(1 →0)(1 →3)(1 →5)(2 →0)(2 →6)(2 →3)...

* (Магу (K. Maghout). Applications de e’Algebre de Bool a la Theorie des Graphes // Cahiers du Centie d’Etudes de Recherche Operationnelle. Bruxelles 5. 1963. No 1–2.

130