1237
.pdf
Рис. 1.3. Модели использования частот – «красок»: а – для 3 частот; б – для 9; с – для 12
Хроматическое число используется также и в теории расписаний, при распределении регистров процессора в процессе компиляции программ, в кластерном анализе, в технологии «цифровых водяных знаков» и пр.
Технология цифровых водяных знаков (англ. digital watermarking) позволяет вместе с данными (например, медиафайлы, исполняемые файлы и прочие) передать некое скрытое сообщение («водяной знак», Watermark). Такое скрытое сообщение, кодируемое в виде графа с определённым хроматическим числом, может быть применено в защите авторских прав для идентификации владельца дан-
ных [11].
Простой формулы для определения хроматического числа заданного сложного графа нет, и его определение является сложной комбинаторной задачей.
11
1.2. Теорема Кёнига
Теорема Кёнига, доказанная в 1931 году, утверждает эквивалентность задач нахождения максимального паросочетания и минимального вершинного покрытия в двудольных графах [12].
Паросочетание или независимое множество ребер в графе – это набор попарно несмежных ребер. Максимальное паросочетание (или максимальное по размеру паросочетание) – это такое паросочетание, которое содержит максималь-
ное количество рёбер (рис. 1.4).
|
У каждого ребра графа хотя |
|
бы один из концов входит в мини- |
|
мальное вершинное покрытие. |
Рис. 1.4. Пример двудольного гра- |
1.3. Планарность графов |
|
|
фа с наибольшим паросочетанием |
В 1752 году Эйлер опублико- |
(выделено голубым) и минималь- |
вал формулу, связывающую между |
ным вершинным покрытием (выде- |
|
лено красным), оба имеют размер |
собой количество граней трёхмер- |
шесть |
ного многогранника [13]: |
S + H = A + 2,
где S – количество вершин, H – количество граней, A – количество рёбер. Пример планарного графа, который может быть изображён на плоскости без пересечения рёбер [5], дан на рис. 1.5.
Рис. 1.5. Пример планарного графа: S + H = A + 2 : 8 + 6 = 12 + 2 = 14
12
Другой пример – планарность «на сфере» – молекула так называемого фуллерена представлена на рис. 1.6.
Фуллерéн – углеродное молекулярное соединение, представляющее собой выпуклые замкнутые многогранники, составленные из чётного числа трёхкоординированных атомов углерода [14].
Своим названием фуллерены обязаны инженеру и архитектору Ричарду Бакминстеру Фуллеру [14], геодезические конструкции которого построены по этому принципу (рис. 1.7).
В настоящее время активно развивается такое направление в строительстве, как «купольные дома».
Cогласно теореме Эйлера для многогранников [13], утверждающей справедливость равенства
S + H = A + 2,
где S – количество вершин, H – количество граней, A – количество рёбер, необходимым условием является наличие ровно 12 пятиугольных граней и S/2 – 10 шестиугольных граней:
12·5 + (12 + 60/2 – 10) = (12·5 + 30) + 2,
т.е. шестиугольные грани привносят ещё 30 рёбер, а вершины определяются вроде как пятиугольными гранями (новых вершин шестиугольные грани не дают).
Рис. 1.6. Фуллерен
Ричард Бакминстер Фуллер
(англ. Richard Buckminster
Fuller; 1895–1983) – амери-
канский архитектор, дизайнер, инженер и изобретатель
Рис. 1.7. Биосфера Фуллера (павильон США на Экспо-67, ныне музей «Биосфера» в Монреале, Канада)
13
1.4. Теорема Понтрягина – Куратовского
Казимир Куратовский – польский математик [15].
На рис. 1.8 изображен граф K5 – полный граф с 5 вершинами.
На рис. 1.9 изображён граф K3,3 – «домики и колодцы».
«Домики и колодцы» – игра, в которой необходимо провести тропинки от домиков к колодцам, чтобы тропинки не пересекались.
Теорема Понтрягина – Куратовского [16]. Граф планарен тогда и только тогда, когда не содержит подграфов, стягиваю-
щихся в K5 или K3,3.
В общем случае найти K5 или K3,3 довольно сложно. На первый взгляд кажется,
что граф Петерсена содержит K5. Оказывается, нет – в нём есть подграф, стягивающийся в K3,3 (рис. 1.10).
Рис. 1.8. Полный граф |
Рис. 1.9. Граф «домики |
Рис. 1.10. Граф Петер- |
K5 с 5 вершинами |
и колодцы» (K3,3) |
сена |
Необходимое и достаточное условия планарности
Достаточное условие – если граф содержит двудольный подграф K3,3 или полный подграф K5, то он является непланарным.
14
Необходимое условие – если граф непланарный, то он должен содержать больше 4 вершин, степень которых больше 3, или больше
5 вершин со степенью больше 2. |
|
Лев Семёнович Понтрягин – советский |
|
математик, один из крупнейших математи- |
|
ков XX века, академик АН СССР (1958; |
|
член-корреспондент 1939). |
|
Лев Семёнович Понтрягин – Герой Со- |
|
циалистического Труда (1969). Лауреат Ле- |
|
нинской премии (1962), Сталинской премии |
|
второй степени (1941) и Государственной |
|
премии СССР (1975) [17]. Внёс значитель- |
|
ный вклад в алгебраическую и дифферен- |
|
циальную топологию, теорию колебаний, ва- |
|
риационное исчисление, теорию управления. |
|
Родился 21 августа (3 сентября) 1908 го- |
|
да в Москве. Отец Понтрягина – Семён |
|
Акимович – происходил из ремесленников- |
Л.С. Понтрягин |
сапожников Орловской губернии, окончил |
(1908–1988) |
шесть классов городского училища, воевал |
в Русско-японскую |
и Первую мировую войны, оказался в германском плену и пробыл там долгое время, после возвращения в Россию работал счетоводом.
Мать – Татьяна Андреевна, до замужества Петрова, из крестьян Ярославской губернии, выучившаяся в Москве на портниху, была умной, незаурядной женщиной. В 14 лет Лев потерял зрение в результате несчастного случая (взорвавшийся примус вызвал сильнейший ожог лица).
Не обладая никаким специальным математическим образованием, Татьяна Андреевна вместе с сыном взялась за обучение математике, вместе с ним прошла подготовку к поступлению в университет, а после зачисления (1925 год) помогала сыну-студенту. Так, Т.А. Понтрягина выучила немецкий язык и много читала сыну, иногда сотни страниц в день специального текста научных статей немецких учёных.
15
Благодаря этому при полной слепоте Лев Понтрягин, окончив среднюю школу, получил высшее образование на математическом отделении физико-математического факультета Московского университета (1929).
Показателен следующий случай: идёт лекция, все слушают не очень внимательно, вдруг голос студента Понтрягина: «профессор, вы ошиблись на чертеже!» Оказывается, он, будучи слепым, «слышал» расстановку букв на чертеже и понял, что там не всё в порядке. Л.С. Понтрягин начал свою научную работу очень рано, в возрасте восемнадцати лет, будучи студентом второго курса. В 1930 году Понтрягина зачислили доцентом кафедры алгебры и сотрудником НИИ математики и механики МГУ. В 1935 году в СССР были восстановлены учёные степени и звания, и ему без защиты Высшей аттестационной комиссией (ВАК) была присуждена степень доктора физико-математических наук, в том же году он был утвержден в звании профессора. Принципом своей научной работы Понтрягин выбрал одно высказывание А. Пуанкаре (цитируя его по памяти): «Понять чужую математическую работу – это значит ощутить её как бы сделанную самим» [17].
Широко известен принцип максимума Понтрягина, применяемый в теории оптимального управления объектов, описываемых дифференциальными уравнениями.
Оптимальное управление – это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы.
1.5. Гамильтонов граф
Сэр Уи́льям Рóуэн Гáмильтон – ирландский математик, ме- ханик-теоретик, физик-теоретик, «один из лучших математиков
XIX века» [18].
16
Гамильтоновы цепь, цикл и граф [19] названы в честь ирландского математика У. Гамильтона, который впервые определил эти классы, исследовав задачу «кругосветного путешествия» по додекаэдру, узловые вершины которого символизировали крупнейшие города Земли, а рёбра – соединяющие их дороги (рис. 1.11).
Другая задача – о ходе коня – нахождение маршрута шахматного коня, проходящего через все поля доски по одному ра-
зу (рис. 1.12).
Сэр Уильям́ Рóуэн Гáмильтон (William Rowan Hamilton; 1805–1865)
Рис. 1.11. «Кругосветное путешествие» по додекаэдру
а |
б |
Рис. 1.12. Конь на доске 4×4 (а), граф, соответствующий шахматной доске 8×8 (б) (степени вершин показывают количество различных ходов коня из соответствующих полей доски)
17
1.5.1. Необходимое условие существования гамильтонова цикла в графе [19]
Если неориентированный граф G содержит гамильтонов цикл, тогда в нём не существует ни одной вершины x(i) с локальной степенью p(x(i)) < 2. Доказательство следует из определения.
Условие Г.А. Дирака (1952) |
|
|
|
|
Если степень каждой вершины не меньше, чем |
p |
, |
где p – чис- |
|
2 |
||||
|
|
|
ло вершин, то граф называется графом Дирака.
Граф Дирака относится к гамильтоновым. Дирак Габриэль Андрю – приёмный сын Поля Дирака – знаменитейшего физика.
Условие О. Оре (1960)
Если сумма степеней любых двух несмежных вершин не меньше общего числа вершин в графе, то граф называется графом Оре, т.е. для любой пары несмежных вершин x, y выполнено неравенство:
d(x) + d( y) ≥ p,
где p – количество вершин в данном графе, то это граф гамильтонов.
|
|
Ойстин Оре – норвежский математик, |
|||
|
специалист в области алгебры, теории чи- |
||||
|
сел и теории графов |
. |
|
||
|
Обратим внимание на норвежскую |
||||
|
букву |
Ø в его имени |
, обозначаемую как |
||
|
пустое множество, она произносится как- |
||||
|
то между русской О и Ё. Норвежская О |
||||
|
между тем произносится как У! Ну а уж |
||||
|
Ё-то – лучшее доказательство норманской |
||||
Ойстин Оре |
теории происхождения древнерусского го- |
||||
(норв. Øystein Ore, |
сударства… |
||||
1899–1968) |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
1.5.2. Задача коммивояжёра
Ранее в курсе дискретной математики и в исследовании операций уже рассматривалась задача коммивояжёра – задача нахождения кратчайшего (или самого «дешёвого», «лёгкого», «безопасного») гамильтонова цикла (если они вообще есть), относящаяся к задачам оптимизации или экстремальным задачам. Это так называемая задача коммивояжёра (англ. Travelling salesman problem, сокращённо TSP) характеризуется существенным перебором вариантов, и с целью его сокращения для различных конкретных типов графов используют различные эвристики, а также генетические алгоритмы.
Существует несколько частных случаев общей постановки задачи, в частности, геометрическая задача коммивояжёра (также называемая планарной или евклидовой, когда матрица расстояний отражает расстояния между точками на плоскости), метрическая задача коммивояжёра (когда на матрице стоимостей выполняется неравенство треугольника), симметричная и асимметричная задачи коммивояжёра.
Асимметричная и симметричная задачи
Вобщем случае асимметричная задача коммивояжера отличается тем, что она моделируется ориентированным графом. Таким образом, следует также учитывать, в каком направлении находятся ребра.
Вслучае симметричной задачи все пары ребер между одними
итеми же вершинами имеют одинаковую длину. В симметричном случае количество возможных маршрутов вдвое меньше асимметричного случая. Симметричная задача моделируется неориентированным графом.
На самом деле задача коммивояжёра в случае реальных городов может быть как симметричной, так и асимметричной в зависимости от длительности или длины маршрутов и от направления движения.
Обобщённая задача коммивояжёра – исходными данными для задачи является множество вершин, разбиение этого множества на так называемые кластеры, а также матрица стоимостей перехода из одной вершины в другую.
19
Задача заключается в нахождении кратчайшего замкнутого пути, который бы посетил по одной вершине в каждом кластере (существует также модификация, когда путь должен посетить хотя бы по одной вершине в каждом кластере).
Примеры решения этой задачи рассматриваются далее.
1.6. Метрические характеристики графов [20]
1.6.1. Диаметр и радиус графа
Длина кратчайшего (u, v)-маршрута (а он является простой цепью) называется расстоянием между вершинами u и v и обозначается через d(u, v). Полагают, что d(u, u) = 0.
Для фиксированной вершины u максимальное расстояние назы-
вается эксцентриситетом вершины u – е(u).
Максимальный среди всех эксцентриситетов вершин называется
диаметром графа и обозначается d(G)(Diameter).
Минимальный из эксцентриситетов вершин связного графа называется его радиусом и обозначается через r(G)(Radius).
Вершина v называется центральной, если e(v) = r(G). Множество всех центральных вершин графа называется
ЦЕНТРОМ.
Граф может иметь единственную центральную вершину или несколько центральных вершин. Наконец, центр графа может совпадать с множеством всех вершин.
Например, центр простой цепи Pn при четном числе вершин n состоит ровно из двух вершин (рис. 1.13).
Рис. 1.13. Центр простой «чётной» цепи – вершины 2, 3
Определим радиус и диаметр с помощью программы GRaph INterface [17] (GRIN) (рис. 1.14).
20