1209

диусом рс, где потенциал равен Фс. Тогда примем, что на расстоянии рк от центра скважины потенциал равен Фк. Для де­ бита скважины в плоскости £ можно написать формулу Дюпюи

2nh (Фк — Фс)

(11.103)

In (Рк/Рс)

Перейдем снова к плоскости z. При больших значениях у те­ чение в полосе — будет параллельным оси у. Для этой

оси из (11.101) имеем

р л; shny/o.

Поэтому, согласно рис. 46, можно положить

n L

Из этого выражения соответственно получим lnpK= nLfo—In 2.

При значительных расстояниях по оси у имеем nz^$>a. Тогда можно положить

In рк =55 nLfo.

При незначительных пу/а

я у я у

асГ

Следовательно,

1прс= 1п(лгс/ст).

Подставляя приведенные значения 1прк н 1прс в формулу (11.104), получим

r [ L + - r lai k )

По формуле (11.104) можно определить дебит одной скважины из бесконечной цепочки скважин, расположенных в неограни­ ченном пласте, при условии, что на некотором, достаточно большом расстоянии L от осп х давление равно рЕ, а в сква­ жинах малого радиуса гс оно составляет рс.

2. Рассмотрим решение одной из основных задач теории теплопроводности, весьма необходимое при расчетах тепловых методов разработки нефтяных месторождений. Пусть имеем полубесконечныи стержень площадью сечения S, полностью

теплоизолированный от окружающей среды. Начальная

Уравнение (11.107) есть уравнение теплопроводности при пря­ молинейном распространении тепла, а входящий в него коэф­ фициент хт называется к о э ф ф и ц и е н т о м т е м п е р а ­ т у р о п р о в о д н о с т и . В соответствии с условиями задачи

(11.108)

Т = Тг при х = 0, t > 0.

Рассмотрим функцию f(x, t), определяемую следующим об­ разом:

82

Функция f(x, t), очевидно, также удовлетворяет уравнению теп­ лопроводности (11.107), как и Т (х, t), т. е.

Для получения решения рассматриваемой задачи применим преобразование Лапласа, для чего умножим левую и правую части (11.111) на e~st (s — некоторый параметр) и проинтегри­ руем эти части в пределах от нуля до бесконечности. В резуль­ тате получим

Учитывая независимость переменных х и t, функцию f{x,t) можно дифференцировать под знаком интеграла. Из (11.113) имеем, помня, что s — некоторый параметр,

После интегрирования правой части выражения (11.112) полу­

Первый член в выражении (11.115) равен нулю, так как при верхнем пределе он равен нулю в результате стремления к нулю экспоненты, а при нижнем пределе вследствие того, что f(x, 0) =0 по условию задачи.

Для установления постоянной интегрирования С выполним граничное условие (11.110). Однако найдем прежде всего, че-

му равно F (О, s): Из граничного условия (11.110)

Функцию f(x, t ) по ее изображению F(x, s) найдем по табли­ цам оригиналов функций и их изображений по Лапласу. Имеем

X

2 Via

Получим, наконец, выражение для скорости переноса тепла на границе х=0. Из приведенного решения с учетом (11.106) на­ ходим

Поток тепла qT через сечение стержня площадью 5 при х = 0

тУ nxTt

3.Рассмотрим цриток жидкости (нефти) с постоянным де­ битом q к точечному стоку, расположенному в однородном бес­ конечно простирающемся плоском пласте толщиной h при упругом режиме. Сток находится в центре координат, и тече­ ние к нему в пласте радиальное. В начальный момент време­

.84

Учитывая закон Дарси и сжимаемость пласта (сжимаемость пород пласта и насыщающей их жидкости) из (11.123) полу­ чим уравнение упругого режима в следующем виде:

(11.124)

где рс и рж — сжимаемость соответственно пород пласта и на­ сыщающей пласт жидкости. Остальные обозначения такие же, что и принятые выше в формуле закона Дарси. Введем функ­ цию f(r, t) следующим образом:

2nkh(pK— р)

(11.125)

q\i

Следовательно, граничное и начальное условия будут

85

Для удобства решения задачи введем безразмерные коор­ динаты следующим образом:

При £= 0 из (11.137) qp.ll (kbh) =р0—р\. В связи с приведенным замечанием удобно искать решение задачи в следующем виде:

Решая уравнения (11.142) и выполняя начальные и граничные условия, приходим к следующему решению задачи:

Ро— Р (£,т) = (Ро—Pi) 0 —£)—

87

При этом было использовано известное разложение в ряд Фурье:

По формуле (11.143) можно определить время формирования1 установившегося распределения давления в пласте между дву­ мя галереями (рядами скважин), одна из которых нагнетатель­ ная, а другая — добывающая.

Первый из указанных методов используют при расчете устано­ вившихся течений жидкостей в плоских пластах со скважина­

тод интегральных соотношений хорошо разработан только для решения одномерных задач.

Рассмотрим вначале метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений. Справедливость этого метода покажем на при­ мере конкретного решения о притоке жидкости к бесконечной

радиуса гс. Ю. П. Борисов назвал фильтрационное сопротивле­ ние

Рф= ' 2стА7Г внешним, а рфС= ц1п ~ ~ I (2лkh) — внутренним и

предположил, что и в более сложных случаях установившихся плоских фильтрационных течений фактические фильтрационные сопротивления можно разделить на эквивалентные внешние и внутренние.

Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений по­ зволяет рассчитывать с достаточной для практики точностью

88

Рис. 49. Схема распределения давления ■в элементе однорядной системы разра­ ботки:

ды, являющиеся постоянными согласно модели поршневого вы­

рис. 49). При этом расстояния между добывающими и нагнета­ тельными скважинами равны. Дебит одной добывающей сква­ жины, равный расходу одной нагнетательной скважины, посто­ янен и составляет q. Требуется определить перепад давления между нагнетательной и добывающей скважинами.

Рассмотрим течение в одном элементе пласта, выделенном штриховкой на рис. 49, шириной Ь = 2а. Обозначим давление на расстоянии от нагнетательной скважины, равном rK=ofя, через р'н. В соответствии с условием задачи и формулой Дю­ пюи

2jikkBh (рн — Рн)

рв In Ягк

Согласно методу эквивалентных фильтрационных сопротив­ лений течение в рассматриваемом элементе складывается из трех: радиального (течение воды) от нагнетательной скважины радиусом /нс до контура радиусом сг/я, прямолинейного (те­ чение нефти) от галереи *=0, где давление р'я, до галереи х = 1, где давление рс\ и радиального (течение нефти) — от кон­ тура радиусом а/я, где давление также равно р'с, до добываю­ щей скважины радиусом гс. Учитывая, что ввиду симметрии прямолинейное течение происходит с расходом qj2 (вправо и влево от нагнетательной скважины уходит жидкость с расхо­

89