1209

Для первого интеграла / i имеем следующее выражение:

=se

По аналогия с (ПЛ4) н (НЛ5) каждый из интегралов, вхо­ дящих в (1L22), равен 7а* Поэтому с учетом того, что, соглас­

но (ШН), /*^0, а выражение (ПЛ9) превращается в тождество* Наконец» определим, чему равна дисперсия при нор­ мальном законе распределения. Получим

вычисления (IL23) введем, как и ранее» величину 31= (к— =^V/W'%- Тогда та (U M ) имеем

Ш

ШЩ

s w t f ^ a+l ^ A) = w ! ^ ^

Ещдащйй в (ИМ )) окредешйимй шююграш таблшчшшй. Ош»

р.38%

Плотность логарифмически нормального распределения пока­ зана на рис. 34. Найдем F(k). Подставляя (11.27) в (II.9), по­

лучим

®(Вш к—1ш AJ*

Отсюда ашалюгачшо (II.17) шодучим

(П.30)

Математическое шшдашоше шрошвдаемостж три лксягарифмшпе- <гвпшЕормалтжом замше рашредешенвшж пшшучшм лш формуле {IIАЩ. При этом

М т = к & № .

Рис. 35. График плотности гамма-распределения при а= 2, А=0,8 мкм2

3. Г а м м а-p а с п р е д е л е н и е . Плотность гамма-распреде­ ления абсолютной проницаемости в общем виде выражается следующим образом:

П лотность гамма-распределения представлена на рис. 35. Формула закона распределения проницаемости имеет вид

Математическое ожидание проницаемости при гамма-распре­ делении определяется следующим образом:

тах данных процесса разработки нефтяных месторождений ис­ пользуют формулу закона распределения Максвелла, получен­ ную им для описания распределения молекул газа по скорости. Форма записи формулы этого закона была изменена М. М. Саттаровым и Б. Т. Баишевым с целью описания распределения проницаемости реальных пластов. Так, формула плотности рас­ пределения проницаемости согласно закону Максвелла, видоиз-

54

Рис. 36. График плотности распределения по Максвеллу, видоизмененный М. М. Саттаровым при &=0,8 мкм2, а=0,1 мкм2

мененная М. М. Саттаровым, выражается таким образом:

где а, k0— параметры распределения, определяемые на основе обработки данных о геолого-физических свойствах пластов. Формула плотности распределения проницаемости, по Б. Т. Баишеву, имеет вид

(11.33). Как видно, закон допускает существование нереальных значений отрицательной проницаемости. Однако, как и в слу­ чае нормального закона, можно считать, что проницаемость из­ меняется в пределах О ^ ^ ^ о о , но следует учитывать, что в пла­ сте есть некоторая, отличная от нуля, доля слоев с нулевой про­ ницаемостью.

§ 5. МОДЕЛЬ ОДНОРОДНОГО ПЛАСТА С МОДИФИЦИРОВАННЫМИ ОТНОСИТЕЛЬНЫМИ ПРОНИЦАЕМОСТЯМИ

Строение нефтяного пласта может быть таким, что неко­ торые его слои не простираются на большие расстояния, срав­ нимые с расстояниями между скважинами, а выклиниваются, замещаясь слоями с иной проницаемостью. Длины отдельных слоев могут быть порядка толщины всего пласта. При этом слои не всегда изолированы друг от друга. Пласты такого типа нельзя представлять описанной моделью слоисто-неоднородного пласта. Они более похожи на однородные пласты. Тем не ме­ нее их слоистая неоднородность прослеживается при обработ­

55

ке данных лабораторных исследова­ ний извлекаемых из недр образцов- пород-коллекторов и при интерпрета­ ции данных промыслово-геофизичес­ ких исследований скважин.

Пласты описанного типа можно моделировать однородным пластом с осредненной абсолютной проницае­ мостью и модифицированными отно­ сительными проницаемостями для на­ сыщающих их веществ. Чтобы пост­ роить такую модель, выделим эле­ ментарный объем прямолинейного пласта длиной Ах, т о л щ и н о й h и ши­ риной b (рис. 37). Будем считать, что

в пределах каждого его элементарно­ го объема имеется такой набор слоев с различной абсолютной проницаемо­ стью, частота появления которых опи­ сывается формулой определенного ве­ роятностно-статистического закона.

Построим модель пласта с моди­ фицированными относительными про­ ницаемостями, полагая, что извлече­

ние из него нефти происходит путем вытеснения ее водой. Мож­ но рассматривать и другие процессы извлечения нефти.

Сложим мысленно отдельные слои пласта в «штабель» таким образом, чтобы слой с самой большой проницаемостью был рас­ положен внизу, а с самой низкой — вверху (см. рис. 37), и аб­ солютная проницаемость возрастала сверху вниз. Примем, что вода мгновенно поршневым способом вытесняет нефть из i-ro пропластка. Таким образом, в некоторый момент времени в об-

водннвшихся слоях толщиной h будет фильтроваться только во­

да, а в слоях толщиной h—h — только нефть. В обводннвпшхся

слоях остается нефть при остаточной нефтенасыщенности SHостг- В начальный момент времени слои пласта были насыщены нефтью и связанной водой с насыщенностью зсвМожно также считать, что зЯОст и зависят от абсолютной проницаемости слоев. Расход воды Д^ь, поступающей в слои толщиной М эле­

мента пласта, определим по формуле

i (1 '““ Эя о с т ■5си) ЪАЪАр

Здесь фазовая проницаемость для воды ОСТ Если бы в слоях толщиной Ah содержалась только вода, то рас­

ход воды Ад® выражался бы следующим образом:

А^„ = kbApM/{^Ax).

56

Обозначим модифицированную относительную проницаемость для воды через kB и определим ее как отношение

~к

1k ( 1 --- SH ост ---- SCB) d h

£= ^ = - ° —

Яв

l kdh

Используя вероятностно-статистическое распределение абсо­ лютной проницаемости, характерное для данного пласта, и счи­ тая, что k= k *— проницаемость обводнившегося в данный мо­ мент слоя, имеем

оо

j* (1'— s B ост— sCB) k f (k ) d k

J kf(k)dk

О

Модифицированные относительные проницаемости для нефти и воды должны зависеть от модифицированной водонасыщенно-

сти s. В рассматриваемый момент времени вода в элементе

пласта содержится в виде связанной воды в необводнившихся

57

слоях и в виде закачанной в элемент воды. Объем связанной во­ ды AFCB в элементе пласта можно выразить следующим обра­ зом:

Объем воды в обводнившихся слоях составит

оо

ЛУВ= mbhhx f (1 —s„ ост) f (ft) dk.

К

Полный объем воды в элементе пласта

ft. оо

ДУВ= ДУВ+Д У СВ= mbhAx Ц" scJ (k) d k + j* (1 —sH0CT) f (k) dk 0 ft*

oooo

=mbhLx [ J s j (k) dk-\- j (1 —sH0CT— sCB) f (k) dkj.

Поровый объем пласта ДVn= mbhhx.

Модифицированная водонасыщенность составит

Если известны f(k) и зависимость от абсолютной проницаемо­

сти sHост и sCB, то, задаваясь k*, можно определить s, kB и kH. При рассмотрении описанной -модели пласта с модифициро­ ванными проницаемостями была принята наиболее простая ги­ потеза о том, что фазовая проницаемость для воды в каждом из слоев пропорциональна произведению абсолютной проницаемо­ сти на водонасыщенность пласта. При этом считается, что свя­ занная вода занимает тупиковые поры, по которым не фильтру­ ется вода. Можно в принципе считать, что нефть из каждого слоя вытесняется не мгновенно, а постепенно, при постоянной по длине слоя, но изменяющейся во времени водонасыщенности. Таким образом, при построении такой модели можно учи­ тывать одновременно и физические относительные проницаемо­ сти образцов пород, и неоднородность по абсолютной проницае­

мости в элементе пласта.

Рассмотренная модель пласта с модифицированными про­ ницаемостями построена с учетом неоднородности пласта, в дан­ ном случае слоистого, и механизма вытеснения нефти водой из каждого слоя, в описанном случае — поршневого.

58

Однако модифицированными проницаемостями часто назы­ вают также относительные проницаемости, полученные в ре­ зультате сопоставления расчетных и фактических данных о про­ цессе заводнения нефтяных пластов, т. е. решения так назы­ ваемых обратных задач разработки нефтяных месторождений. Тогда модифицированные проницаемости могут зависеть не только от неоднородности разрабатываемых пластов, но и кос­ венно от системы разработки месторождения, особенностей экс­ плуатации скважин и других факторов.

§ 6. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ РАЗРАБОТКИ

Научно обоснованное применение каждого нового процесса разработки нефтяных месторождений начинают с его экспери­ ментального изучения в лабораторных условиях. Все существу­ ющие процессы извлечения нефти и газа из недр вначале были изучены при лабораторных исследованиях. В свое время про­ шло эту стадию и такое широко развитое на практике воздей­ ствие на нефтяные пласты, как заводнение. За стадией лабора­ торного исследования следуют первые промышленные испыта­ ния процессов. В этот период развития технологических процес­ сов становится весьма необходимым их количественная форму­ лировка, т. е. создание моделей.

Центральный этап моделирования — постановка соответству­ ющих процессу разработки нефтяного месторождения математи­ ческих задач, включающих дифференциальные уравнения, на­ чальные и граничные условия. Процедуры расчетов на осцове моделей называют м е т о д и к а м и р а с ч е т о в .

Дифференциальные уравнения, описывающие процессы раз­ работки нефтяных месторождений, основаны на использовании

химических законов и специальных законах фильтрации. Дифференциальные уравнения будут рассмотрены при изло­

жении соответствующих технологий извлечения нефти и газа из недр. Здесь рассмотрим вопросы использования только фунда­ ментальных законов, а также законов фильтрации, применяемых в той или иной степени во время моделирования всех процессов разработки нефтяных месторождений.

Закон сохранения вещества в моделях процессов разработ­ ки месторождений записывают либо в виде дифференциально­ го уравнения неразрывности массы вещества, именуемого часто просто уравнением неразрывности, либо в виде формул, выра­ жающих материальный баланс веществ в пласте в целом. В последнем случае закон сохранения вещества используют не­ посредственно для расчета данных процессов разработки место­ рождений, а соответствующий ему метод расчета получил на­ звание м е т о д а м а т е р и а л ь н о г о б а л а н с а .

59

Выведем вначале уравнение неразрывности массы вещества при его одномерном прямолинейном движении в пласте. Масса AM вещества плотностью р в элементе пласта (рис. 38) длиной Ах, толщиной h и шириной Ь, измеряемой в направлении, пер­ пендикулярном к плоскости при пористости пласта т, составит

Если считать, что в элемент пласта через его левую грань поступает вещество с массовой скоростью pvx, вытесняется из

элемента с массовой скоростью и рОхН— Л*» а накопленный

объем его бAM за время At, получим с учетом того, что в элемент вошло больше вещества, чем из него вышло:

Уравнение (11.41) и есть уравнение неразрывности массы вещества в пласте при одномерном прямолинейном движении насыщающего его вещества. Чтобы получить такое уравнение для трехмерного случая, необходимо рассмотреть баланс массы в объемном элементе пласта AV=AxAyAz (рис. 39). Рассматри­ вая массовые скорости поступления вещества в куб и вытесне­ ния из него, а также накопленный объем его в кубе, получим

60