ПРОБЛЕМЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ДВУХЛИСТОВОГО УПРУГОГО ЭЛЕМЕНТА С ЛИСТОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОФИЛЯ

А.А. Касаткин, М.А. Осипенко, Ю.И. Няшин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Листовые рессоры широко используются в качестве упругих элементов подвесок автомобилей и других транспортных средств [1]. Известно также их использование в качестве упругого элемента протеза стопы [2]. Контактные задачи расчета статического изгиба и оптимизации таких рессор являются, поэтому, актуальными. Несмотря на то что эти задачи в настоящее время активно изучаются, имеется лишь весьма небольшой набор решений для отдельных задач [2, 3]. Причина этого состоит в том, что даже при использовании простейшей теории изгиба одного листа задача о совместном изгибе листов является контактной. Численные методы решения контактных задач [4] в данном случае требуют значительной адаптации. В представленной работе модель рессоры и постановка контактной задачи соответствуют схеме, принятой в работах [2, 3]. Каждый лист представляет собой консольно закрепленную прямолинейную балку, испытывающую слабый изгиб в одной плоскости; нагрузка – сила, сосредоточенная на свободном конце длинного листа. Листы имеют различные, вообще говоря, переменные, толщины. При отсутствии нагрузки листы плотно прилегают друг к другу; трением пренебрегаем. Изгиб каждого листа описывается моделью Бернулли– Эйлера. Задача заключается в отыскании линий изгиба листов и сводится к отысканию плотности сил взаимодействия листов. В некоторых частных случаях построены аналитические решения контактной задачи изгиба двухлистовой рессоры с коротким листом параболического профиля и длинным листом постоянного профиля1. В общем случае построен численный метод решения контактной задачи, основанный на итерационном уточнении области контакта. Построенный численный метод позволяет решать задачи оптимизации конструкции двухлистового упругого элемента. Оптимизация состоит в отыскании параметров конструкции, минимизирующих максимальное напряжение при заданных размере и прогибе. Найдены параметры оптимальной конструкции двухлистового упругого элемента с длинным листом постоянного профиля и коротким листом линейного профиля. Показано, что оптимальным упругим элементом является равнонапряженный, нонекаждыйравнонапряженныйявляетсяоптимальным.

Список литературы

1.Пархиловский И.Г. Автомобильные листовые рессоры. – М.: Машино-

строение, 1978. – 232 с.

2.Mathematical modelling of the foot prosthesis elastic element under bending / M.A. Osipenko, Y.I. Nyashin, R.N. Rudakov, A.V. Ostanin, E.N. Kuleshova, T.N. Zhuravleva // Russian Journal of Biomechanics. – 2001. – Vol. 5, №2. – P. 18–29.

3.Осипенко М.А., Няшин Ю.И. Об одном подходе к решению некоторых одномерных контактных задач // Известия Саратов. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. – 2011. – Т. 11, вып. 1. – С. 77–84.

4.Li H., Dempsey J.P. Unbonded Contact of Finite Timoshenko Beam on Elastic Layer // Journal of Engineering Mechanics. – 1988. – July. – Vol. 114, №7. – P. 1265–1284.

1 Заявка Российская Федерация. Комбинированная листовая рессора / Губайдуллин И.Н., Таланцев Н.Ф., Езубченко В.Н., Морозова Т.И. – № 94028498/28; заявл. 28.07.1994; опубл. 20.03.1996.

51

ФОРМИРОВАНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ МЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКЕ МЕТАЛЛОВ

Н.А. Климов, Г.Л. Колмогоров

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Задачей исследования является определение предельных режимов механической обработки резанием из условия предотвращения образования остаточных напряжений.

Механическая обработка детали резанием сопровождается интенсивным выделением тепла в точке контакта резца и обрабатываемой детали. При значительном разогреве в детали возникают термические напряжения, которые носят упругий характер. Однако при определенных градиентах температур возможно появление термопластических деформаций, которые при последующем охлаждении приводят к возникновению остаточных напряжений в поверхностном обрабатываемом слое. Наличие остаточных напряжений является нежелательным, поскольку их величина и знак (растяжение или сжатие) определяют точность и качество поверхности обработанной детали. Остаточные напряжения могут привести к короблению и нарушению точности изделия, что особенно важно при производстве высокоточных деталей. Наличие остаточных растягивающих напряжений может приводить к появлению микротрещин с последующим ростом до макротрещин и разрушением деталей.

При механической обработке основными технологическими параметрами являются скорость резания v (м/мин); подача резца за один оборот заготовки s (мм/об.); t глубина резания (мм).

Поставленная задача была решена за счет того, что была получена формула, устанавливающая зависимости между критическим значением разности температур Tкp и скоростью резания:

опытным путем в процессе резания; s – подача резца за один оборот изделия, мм/об.; t – глубина резания, мм.

52

О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛИ ПЛОСКОГО СЛОЯ В ЗАДАЧАХ РАССЕЯНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН УПРУГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКОЙ

В.А. Ковалев, Е.Д. Ковалева

Московский городской университет управления правительства Москвы

Исследуется задача рассеяния стационарных акустических волн упругой цилиндрической оболочкой с помощью коротковолнового высокочастотного приближения. Предложен подход для нахождения приближенного асимптотического решения, основанный на развитии модели плоского слоя [1], который учитывает взаимодействие оболочки с акустической средой.

Вне окрестности нулевой частоты и частот толщинных резонансов используется модель типа плоского слоя [2, 3], которая эффективно описывает коротковолновые колебания тела. Эта модель применяется в области, когда длина волны деформации мала по сравнению с радиусом срединной поверхности и, следовательно, когда можно пренебречь кривизной оболоч-

а радиальная координата замораживается на срединной поверхности. Данные численного моделирования для относительно тонких оболо-

чек, когда безразмерный параметр относительной толщины оболочки μ ограничен величиной 1/9, показывают, что модель плоского слоя имеет области согласования с другими асимптотическими моделями: уточненной теорией Кирхгофа–Лява и длинноволновым высокочастотным приближением. В этом случае, сращивая асимптотические решения, можно осуществить синтез рассеянного давления в широком частотном диапазоне при различных параметрах оболочки и характеристиках акустической среды.

Данные численного моделирования для относительно толстой оболочки μ = 0,2 указывают на то, что область применения модели плоского слоя вэтом случаеограниченасверху значением, котороезначительно меньше, чем величины первого толщинного резонанса. Дело в том, что для мод больших номеров использование модели типаплоского слоя приводит кзначительным погрешностям. Следовательно, для относительно толстых оболочек использование модели плоского слоя ограничено в частотной области значением, которое существенно меньше, чемчастотапервоготолщинногорезонанса.

Список литературы

1.Вильде М.В., Каплунов Ю.Д., Ковалев В.А. Развитие приближения типа плоского слоя в задаче рассеяния акустических волн цилиндрической оболочкой // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2002. – № 3. – С. 180–186.

2.Ковалев В.А., Ковалева Е.Д. Математическое моделирование в задачах рассеяния акустических волн упругими оболочками с помощью асимптотических методов // Вестник Самар. гос. ун-та. Естеств.-науч. серия. – 2008. – № 6(65). –

С. 244–259.

3.Ковалев В.А. Сращивание асимптотических приближений в задачах рассеяния акустических волн упругой сферической оболочкой // Прикладная матема-

тика и механика. – 2002. – Т. 66, вып. 4. – С. 596–606.

53

ОПИСАНИЕ РЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ ТИТАНОВЫХ СПЛАВОВ

ВМНОГОУРОВНЕВЫХ МОДЕЛЯХ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ Н.С. Кондратьев

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Внастоящее время широкое распространение во многих областях промышленности нашли титановые сплавы, что обусловлено в первую очередь их эксплуатационными и техническими характеристиками – высокой прочностью, сопротивляемостью коррозии, хорошей свариваемостью. Придание требуемой формы исходной заготовке, как правило, осуществляется пластическим деформированием при высоких температурах, что связано с уменьшением предела текучести и скорости упрочнения. В результате этого происходит изменение не только дефектной (дислокационной) структуры, но и зеренной структуры материала. Наиболее часто в конструкциях используются двухфазные α+ β титановые сплавы: α-фаза является низкотемпературной с гексагональной плотноупакованной решеткой, высокотемпературная β-фаза имеет объемно-центрированную решетку и может существовать при низких температурах при наличии легирующих элементов, стабилизирующих данную фазу. При закалке сплава образуется игольчатая (мартенситная) структура (α′-фаза). Наличие нескольких разнородных по своим физико-механическим свойствам фаз создает дополнительную сложность при моделировании неупругого деформирования. Корректное описание физических процессов при интенсивных пластических деформациях на мезо- и микромасштабах является актуальной проблемой [1, 2]. С этой точки зрения интерес представляет многоуровневый статистический подход, основанный на физических теориях пластичности. Такие модели обладают высокой вычислительной эффективностью и могут использоваться для расчета реальных технологических процессов.

Врамках данного подхода рассматривается модификации двухуровневой модели высокотемпературного неупругого деформирования. На основе физического анализа механизмов деформационного упрочнения, динамического возврата и рекристаллизациипредлагаетсяихматематическоеописание.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ (базовая часть гос. задания ПНИПУ, № гос. регистрации 01201460535), РФФИ (проекты №13-01-96006 р_урал_а, 14-01-00069-а, 14-01-96008 р_урал_а).

Списоклитературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-воПерм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

2.Трусов П.В., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивная упруговязкопластическая модель ГЦК-поликристаллов: теория, алгоритмы, приложения: моногра-

фия. – Saarbucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. – 147 c.

54

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХОБРАЗЦОВ

М.А. Корионов, В.Н. Трофимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Остаточные напряжения (ОН) существуют в конструкции или природном телеприотсутствиивнешнихсиловых, тепловыхидругихвоздействий.

Чаще всего остаточные напряжения играют отрицательную роль и являются одной из главных причин разрушения конструкций и сооружений, ведущего к серьезным техногенным авариям. Это требует серьезных научных подходов к изучению остаточных технологических напряжений

испособов их регулирования.

Внастоящее время задача теоретического и экспериментального определения остаточных напряжений 1-го рода остается актуальной.

Для определения остаточных напряжений 1-го рода при малых упругопластических деформациях широко используется теорема о разгрузке А.А. Ильюшина.

Целью исследования является определение остаточных напряжений при одноосном растяжении цилиндрических образцов.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Теоретическое определение ОН на основе теоремы о разгрузке, включающее:

– решение задачи определения НДС при пластической деформации цилиндрических образцов.

– решение задачи определения НДС при упругой деформации цилиндрических образцов.

2. Экспериментальное определение остаточных напряжений с использованием метода рентгеновской дифрактометрии.

3. Сравнение и анализ результатов экспериментально-теоретического определения остаточных напряжений.

Для определения НДС при пластической деформации использовался метод Давиденкова–Спиридоновой [1].

Для определения НДС при упругой деформации использовался метод Г. Нейбера [2]. Экспериментальное измерение ОН производилось на роботи-

зированном комплексе XSTRESS.

Список литературы

1. Давиденков Н.Н., Спиридонова Н.И. Анализ напряженного состояния

вшейке растянутого образца // Заводская лаборатория. – 1945. – № 6. – С. 583.

2.Нейбер Г. Концентрация напряжений: пер. с нем. – М.; Л.: Гостехиздат, 1947. – 204 с.

55

МОДЕЛЬ ИЗОТРОПНОГО ГИПЕРУПРУГОГО МАТЕРИАЛА ГЕНКИ: ИНКРЕМЕНТАЛЬНАЯФОРМУЛИРОВКА И КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

С.Н. Коробейников1, А.Ю. Ларичкин1, А.А. Олейников2

1Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск

2Комсомольский-на-Амуре государственный педагогический университет

Развита новая лагранжева формулировка определяющих соотношений модели изотропного гиперупругого материала Генки. Эта модель является прямым обобщением закона Гука для изотропных упругих материалов из области малых деформаций в область умеренных деформаций после замены тензора деформаций Коши на правый тензор логарифмических деформаций (правый тензор деформаций Генки), а тензора напряжений Коши – на тензор напряжений Нолла. Для этой модели материала получено выражение тензора упругости четвертого порядка, связывающего материальные скорости тензоров Грина–Лагранжа и второго Пиолы–Кирхгофа. Показана главная симметрия тензора упругости, следствием которой является симметричная формулировка конечно-элементных уравнений. Для представления выражений тензора деформаций Генки и тензора упругости используются собственные проекции правого тензора деформаций Коши–Грина. Использование собственных проекций позволяет избежать трудностей стандартного представления тензоров деформаций Генки и тензора упругости в главных осях (эти трудности связаны с появлением кратных собственных значений тензора деформаций Коши– Грина).

Развитая формулировка определяющих соотношений изотропного гиперупругого материала Генки реализована в коммерческом пакете конечноэлементного анализа MSC.Marc. С использованием этого пакета получены решения задач о кручении сплошных стержней с круглым поперечным сечением из гиперупругого материала Генки со стесненными и со свободными торцами. Решения этих задач близки к точным решениям, приведенным в работах [1, 2].

Список литературы

1.Панов А.Д., Шумаев В.В. Применение логарифмической меры деформаций для решения задач кручения // Известия РАН. Механика твердого тела. – 2012. – № 1. – С. 92–100.

2.Bruhns O.T., Meyers A., Xiao H. Hencky's elasticity model with the logarithmic strain measure: a study on Poynting effect and stress response in torsion of tubes and rods // Arch. Mech. – 2000. – Vol. 52, № 4–5. – P. 489–509.

56

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ПЕРФОРИРОВАННЫХ ПРОФИЛЕЙ ЛЕГКИХ СТАЛЬНЫХ ТОНКОСТЕННЫХКОНСТРУКЦИЙ

П.А. Косых, Г.Г. Кашеварова

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Новая строительная система ЛСТК (легкие стальные тонкостенные конструкции) развивается в течение последних 10 лет в России и странах СНГ. Такие конструкции применяются при строительстве малоэтажных жилых, гражданских и универсальных производственных зданий, для устройства покрытий, надстройки мансардных этажей существующих и новых строений.

Основным несущим элементом системы является сплошной стоечный С-образный тонкостенный (толщиной 1,0–3,0 мм) профиль. Развитием технологии ЛСТК стало появление модифицированных профилей, отличительной особенностью которых является наличие перфорации на стенке профиля, благодаря чему снижено влияние профиля на теплосопротивление ограждающих конструкций, а в некоторых случаях повышена несущая способность.

В работе представлен сравнительный анализ двух конфигураций перфорированных профилей: термопрофиля и профиля ATLANT. Для определения несущей способности была создана расчетная модель в программном комплексе ANSYS. Расчеты проводились по деформированной схеме, для создания которой в модель вносились начальные геометрические несовершенства. Для каждой конфигурации профилей проводилась серия расчетов с дальнейшей статистической обработкой результатов, на основе которой были получены формулы для оценки значения критической силы, а также сделаны выводы о степени влияния на нее геометрических характеристик профиля. Кроме того, для верификации результатов расчетов проведены натурные испытания профилей, подтвердившие данные компьютерного моделирования.

По результатам расчетов и экспериментов проведен сравнительный анализ двух конфигураций профилей, на основе которых сделаны выводы о рациональности применения каждого из них.

57

ОПИСАНИЕ УПРОЧНЕНИЯ В МОНОКРИСТАЛЛАХ ПРИ НЕУПРУГОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ

Н.В. Котельникова, П.С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

В работе проводится моделирование неупругого деформирования монокристаллов с учетом упрочнения. Известным свойством металлических материалов является приобретение анизотропии физико-механических свойств практически при любом пластическом деформировании. Это влияет на характеристики конструкций, создаваемых из этих кристаллических материалов, в силу этого актуальным является создание моделей, позволяющих описывать эволюцию физико-механических свойств.

Моделирование формирования анизотропии свойств образца в процессе деформации требует умения описывать закономерности изменения его структуры, которые определяются действующими физическими механизмами деформации [1].

Важнейшей частью работы является описание упрочнения, основной причиной которого является изменение дефектной структуры материала

впроцессе обработки. Описание упрочнения должно основываться на физических причинах эволюции микроструктуры материала при больших деформациях. Выбор закона упрочнения зависит от самой модели, от учета

вней определенных процессов (например, аннигиляции дислокаций или возникновения и разрушения дислокационных барьеров Ломера–Коттрелла и др.) и оттого, рассматриваются ли границы внутри кристалла [2].

Интерес представляет возможность корректировать исходные данные (тип нагружения, некоторые физические параметры) и использовать удовлетворяющие этим данным законы упрочнения. В ходе исследований рассмотрены некоторые варианты закона упрочнения, учитывающие различные механизмы взаимодействия дислокаций. В результате получена кривая

№ 14-01-96008 р_урал_а), гранта Президента РФ № МК-4917.2015.1.

Список литературы

1.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

2.Trusov P.V., Volegov P.S. Internal variable constitutive relations and their application to description of hardening in single crystals // Physical Mesomechanics. – 2010. – Т. 13, №3–4. – С. 152–158.

58

ОПТИМАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ВТСП 2G-ПРОВОДОВ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ Н.А. Кошелева1, 2, И. Шахрур2, Г.Л. Колмогоров1

1Пермскийнациональныйисследовательскийполитехническийуниверситет

2Технический университет Лилль-1

Высокотемпературные сверхпроводниковые 2G-проводас ихмногослойной структурой должны обладать конкретно заданными электрическими, механическими и тепловыми свойствами. Нахождение оптимальной геометрии при использовании в некоторых приложениях до сих пор требует дополнительных механических исследований [1–3]. При процессе производства данных материалов возникают остаточные напряжения, которые заметно влияют на свойства сверхпроводника, ухудшая их [4, 5]. Необходимо провести анализ механического поведения высокотемпературных сверхпроводниковых 2G-лент для того, чтобы исследовать влияние их геометрии на их рабочие характеристики, в том числе при работевмагнитах, двигателяхикабелях.

2G-материалы включают в себя слои различной толщины (от чрезвычайно тонких – меньше 100 нм до относительно толстых – около 50 мкм), которые сделаны из совершенно разных материалов (твердых и мягких металлов, керамики). Общая структура показывает очень слабую устойчивость против касательных напряжений при изгибе, возникающих из-за малого диаметра и из-за низкой адгезии между различными слоями. Использование метода конечных элементов для анализа этого механического поведения требует очень мелкой сетки, мощных компьютерных ресурсов и большого количества времени. В данной работе предлагается упрощенная численная механическая модель, которая позволяет легко ибыстро исследовать поведение сложных многослойных 2G-лент. Затем эта модель используется при параметрических исследованиях. Как результат, даются рекомендации, касающиеся оптимальной конструкции 2G-лент (толщина металлических слоев, выбор и сравнение характеристик материалов). Данные рекомендации позволяют улучшить качество продукции при возникающих в процессе производства деформациях и напряжениях от обмоток, а также при гибке данных лентдляпроизводственныхпроцессовиприложений.

Список литературы

1.Van der Laan D.C. YBa2 Cu3 O7−δ coated conductor cabling for low ac-loss and high-field magnet applications // Superconductor Science and Technology. – 2009. – Iss. 22. – Р. 1–5.

2.Van der Laan D.C., Ekin J.W. Large intrinsic effect of axial strain on the critical current of high-temperature superconductors for electric power applications // Applied physics letters. – 2007. – Iss. 90. – Р. 1–3.

3.Maeda H., Yanagisawa Y. Recent developments in High-Temperature Su-

perconducting magnet technology (review) // IEEE Transactions On Applied Superconductivity. – 2014. – Iss. 3(24). – Р. 1–12.

4. Van der Laan D.C., Ekin J.W. Dependence of the critical current of YBa2Cu3O7−δ coated conductors on in-plane bending // Superconductor Science and

Technology. – 2008. – Iss. 21. – Р. 1–6.

5. Effect of strain, magnetic field and field angle on the critical current density of YBa2Cu3 O7−δ coated conductors / D.C. Van der Laan, J.W. Ekin, J.F. Douglas, C.C. Clickner, T.C. Stauffer, L.F. Goodr // Superconductor Science and Technology. – 2010. – Iss. 23. – Р. 1–7.

59

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДИНАМИКИ УЧАСТКА ВОЗДУШНОЙ ЛЭП Д.А. Красноруцкий, В.Е. Левин, А.Н. Кожевников

Новосибирский государственный технический университет

Топологические особенности России обусловливают широкую эксплуатацию воздушных линий электропередачи (ВЛ). Окружающая среда оказывает негативное воздействие на провода и опоры ВЛ: налипание снега на проводах приводит к увеличению статической и динамической нагрузки как на сами провода, так и на опоры; ветровые нагрузки порождают явление пляски проводов [1–4]. Опыт эксплуатации ВЛ показывает, что иногда происходит разрушение нескольких стоящих подряд промежуточных металлических опор даже в теплое время года. Для анализа причин таких разрушений необходимо создать математическую модель, описывающую динамическое деформирование совокупности опор с проводами ВЛ. В данной работе предлагается методика расчета нелинейных колебаний проводов, подвешенных на опорах ВЛ, при этом динамика опор описывается линейным уравнением движения редуцированной КЭ-модели [5, 6].

Предлагается методика расчета колебаний участка ВЛ как совместных колебаний системы стержней [7], моделирующих провода и изоляторы, точки подвеса которых являются узлами конденсации редуцированных КЭ-моделей металлических опор ЛЭП. Динамика опор учитывается при решении уравнения движения приближенным образом в виде краевых условий для системы стержней, при этом перемещения точек крепления зависят от внутренних усилий в стержнях-изоляторах. Таким образом, на каждом шаге по времени решается краевая задача для системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка, описывающих движения системы стержней-проводов и изоляторов, а перемещения точек крепления этих изоляторов находятся из уравнений движения редуцированной КЭ-модели опор.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ по гос. заданию № 2014/138 (проект № 435).

Список литературы

1.Арбузов Р.С., Овсянников А.Г. Современные методы диагностики воздушных линий электропередачи. – Новосибирск: Наука, 2009. – 136 с.

2.Кесельман Л.М. Основы механики воздушных линий электропередачи. – М.: Энергоатомиздат, 1992. – 352 с.

3.Крюков К.П., Новгородцев Б.П. Конструкции и механический расчет ли-

ний электропередачи. – 2-еизд., перераб. и доп. – Л.: Энергия, 1979. – 312 с.

4.Короткевич М.А. Проектирование линий электропередачи. Механическая часть. – Минск: Вышэйш. шк., 2010. – 574 с.

5.Craig R.R. Jr. Coupling of substructures for dynamic analysis: an overview //

AIAA Dynamics Specialists Conference. – Atlanta, 2000.

6.MacNeal R.H. A hybrid method of component mode synthesis // Computers and Structures. – 1971. – Vol. 1, № 4. – P. 581–601.

7.Пустовой Н.В., Левин В.Е., Красноруцкий Д.А. Алгоритм численного решения нелинейной краевой задачи динамического деформирования тонкого стержня // Вестник Пермского национального исследовательского политехни-

ческогоуниверситета. Механика. – 2014. – №2. – С. 168–199.

60