ПРОБЛЕМЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ И РАЗРУШЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ И КОНСТРУКЦИЙ

СИММЕТРИЧЕСКИЕ МНОГОЧЛЕНЫВ РАСЧЕТАХ МАТРИЦ ПЕРЕНОСА Ю.Н. Беляев

Сыктывкарский государственный университет им. Питирима Сорокина

Для решения дифференциальных уравнений, описывающих распространение волн в слоистых средах, использовано матричное представление соответствующей граничной задачи. Компоненты волнового поля на границах слоя связаны матрицей переноса, для вычисления которой разработан метод симметрических многочленов (МСМ) n-го порядка. Преимущества вычисления матричной экспоненты и других аналитических функций матриц с помощью симметрических многочленов n-го порядка в сравнении с другими подходами обусловлены следующими главными особенностями МСМ: 1) формулы расчетов функций f(A) применимы к любой квадратной матрице A n-го порядка; 2) функция f(A) матрицы n-го порядка определяется n матрицами, из которых находить нужно лишь n – 2 матрицы A2, …, An−1, вычисление которых легко программируется в общем виде; 3) для использования расчетных формул по МСМ, в отличие от аналогичных формул других полиномиальных подходов (Бэкера–Вандермонда, Лагранжа–Сильвестра, Лапласа, Ньютона) и методов, основанных на преобразованиях подобия матриц (Жордана, Шура и др.), не требуется нахождение собственных значений матрицы A; 4) алгоритмы вычисления симметрических многочленов n-го порядка основаны на использовании рекуррентных формул, которые содержат только арифметические операции сложения (вычитания) и умножения, просты в программировании и использовании. Вследствие указанных особенностей метод симметрических многочленов позволяет получать аналитические решения для функций матриц 2–4-го порядков и эффективные алгоритмы вычислений функций матриц любого порядка. Примерами являются представляемые в работе алгоритмы вычислений высоких целочисленных степеней матриц (матрица переноса слоистопериодической среды) и матричной экспоненты (матрица переноса однородного слоя) n-го порядка. Эти алгоритмы по совокупности таких свойств, как простота программирования, легкость использования, надежность и точность при вычислении указанных функций матриц общего вида, не имеют себе равных среди других известных методов.

Примеры использования МСМ в расчетах матриц переноса различных волн в различных слоистых средах даны в работе Ю.Н. Беляева1. В данной работе применение МСМ иллюстрируется нахождением матрицы переноса шестого порядка, описывающей распространение упругих волн в анизотропном слое. Представлены результаты расчетов коэффициентов преобразования SH-волны в SV- и P-волны кристаллическим слоем.

1 Беляев Ю.Н. Симметрические многочлены в расчетах матриц переноса. – Сыктывкар: Изд-во Сыктывкар. гос. ун-та, 2015. – 209 с.

21

ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПРОЦЕССА ДЕФОРМИРОВАНИЯ В ЗАДАЧЕ О РАСШИРЕНИИ СФЕРИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ

К.В. Бердников, В.В. Стружанов

Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург

Учет стадии деформационного разупрочнения, как правило, приводит к тому, что при некотором значении внешней нагрузки процесс деформирования элемента конструкции или механической системы с элементом из разупрочняющегося материала теряет устойчивость. В связи с этим построение областей устойчивого и неустойчивого деформирования является необходимым для обеспечения безопасной эксплуатации таких конструкций. В работе на примере частного случая континуальных механических систем с использованием лагранжева формализма продемонстрировано построение в двумерном пространстве параметров, определяющих границы области упрочнения и разупрочнения, сепаратрисы, которая разделяет всё двумерное пространство на области устойчивости и неустойчивости процесса деформирования.

Рассматривается задача о расширении сферической полости в пространстве, расширение осуществляется при задании внутреннего давления, при этом часть материала может переходить на стадию деформационного разупрочнения. Свойства материала описываются моделью Генки с разупрочнением при неположительной объемной деформации1. В силу полярно-симметричного напря- женно-деформированного состояния в данной задаче границы областей упрочнения и разупрочнения материала определяются соответствующими расстояниями rT и rB от начала координат, расположенного в центре полости. Считая процесс деформирования активным, для рассматриваемой системы строим лагранжиан, обращение в нуль второй вариации которого определяет условия потери устойчивости процесса расширения полости.

Если предположить, что единая кривая с падающим участком, определяющая свойства материала, является кусочно-линейной, то условие потери устойчивости процесса деформирования принимает вид обращения в нуль функционала, зависящего от параметров rT и rB. В двумерном пространстве {rT, rB} строится кривая, представляющая собой геометрическую интерпретацию условия потери устойчивости процесса расширения сферической полости, которая разделяет пространство на области устойчивого и неустойчивого деформирования.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект

№13-08-00186).

1Стружанов В.В., Бердников К.В. Об определяющих соотношениях среды Генки для разупрочняющегося материала при диагональном тензоре деформаций // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. – 2012. – № 3(28). – С. 72–80.

22

ПЕРСПЕКТИВЫ ПРИМЕНЕНИЯ «СУПЕРЭЛЕМЕНТА» В АВИАДВИГАТЕЛЕСТРОЕНИИ

В.В. Березин1, А.А. Стром2

1Пермский национальный исследовательский политехнический университет

2ОАО «Авиадвигатель», Пермь

Возникает потребность в решении задачи, связанной с моделированием силовой схемы двигателя целиком. К таким задачам относится определение жесткости силовой схемы двигателя в целом (определение прогибов при эксплуатационных нагрузках) и определение нагрузок на узлы двигателя при действии эксплуатационных нагрузок.

Создание такой модели возможно с применением конечных элементов, однако прямое моделирование всей схемы нецелесообразно, так как сопряжено с большой размерностью задачи (1–10 млн степеней свободы), в то время как многие повторяющиеся элементы (стоечные) имеют линейное поведение и определять их жесткость несколько раз в одном расчете нерационально.

MATRIX 50 представляет собой группу предварительно сгруппированных элементов, которая рассматривается в качестве одного «суперэлемента» и после его генерации может быть включена в любую модель ANSYS для выполнения расчетного анализа.

В работе предложены постановка и решение следующих задач:

–определение участков конструкции, которые будут заменены на «суперэлементы»;

–формирование матриц жесткости и масс для «суперэлементов»;

–построение гибридной модели перспективного газотурбинного двигателя, в которой сложные стоечные узлы будут заменены на «суперэлементы» и будут сохранены все преимущества оболочечных и балочных элементов;

– выполнение расчетов для определения напряжений, возникающих в силовых узлах двигателя, посредством полученной гибридной модели.

23

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СТОМАТОЛОГИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

А.В. Биккулова2, А.Г. Рогожников1, В.Э. Вильдеман2, С.Е. Порозова2

1Пермский государственный медицинский университет им. академика Е.А. Вагнера

2Пермскийнациональныйисследовательскийполитехническийуниверситет

Механические свойства медицинских материалов в настоящее время остаются малоизученными. В процессе получения и отработки технологии изготовления новых материалов используются рекомендации медицинских стандартов, которые в основном регламентируют определение параметров биосовместимости, токсичности, химической стойкости, а также эстетических свойств получаемого продукта1. Наряду с традиционными параметрами, определяемыми в ходе эксперимента, отдельного внимания заслуживают износостойкость, трещиностойкость, поведение материалов и конструкций при сложных режимах нагружения. Рассмотрены вопросы применения методов экспериментальной механики для комплексного исследования свойств материалов, применяемых в ортопедической стоматологии. Последнее время не ослабевает интерес к керамике на основе ZrO2. Обладая уникальным комплексом свойств, таких как высокие прочностные характеристики, обусловленные эффектом трансформационного упрочнения, стойкость к коррозии и износу, низкая теплопроводность и др., она имеет широкий спектр применения: от машиностроения до медицины. В работе представлены результаты исследования механических свойств иттрий-стабилизированного диоксида циркония (Y-TZP) и нового конструкционного материала на основе нанопорошка диоксида циркония, стабилизированного диоксидом церия или смесью оксидов иттрия и церия. Нанодисперсные порошки синтезированы по авторской методике2 на кафедре «Материалы, технологии и конструирование машин» ПНИПУ. Компактирование порошков проведено по запатентованному способу3. Предусмотрено проведение испытаний с целью сопоставления «медицинских» и «механических» стандартов, определение дополнительных свойств, оказывающих значительное воздействие на эксплуатационные характеристики изделий, выполняемых из данных материалов.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект

№15-08-02222-а).

1ГОСТ 31571–2012. Керамика стоматологическая. Технические требования. Мето-

ды испытаний; ISO 6872. Dentistry – ceramic materials; ASTM C1421-01b. Standard test methods for determination of fracture toughness of advanced ceramics at ambient temperature.

2Порозова С.Е., Кульметьева В.Б., Поносова А.А. Влияние водных растворов по-

лимеров на размеры и морфологию частиц диоксида циркония при осаждении из растворов солей // Золь-гель–2010: тез. докл. Первой Всерос. конф., 22–24 ноября 2010, г. Санкт-Петербург. – СПб., 2010. – С. 212.

3 Пат. RU 2545578. Способ изготовления керамических изделий / РогожниковА.Г., ВохмянинД.С., ПорозоваС.Е., КульметьеваВ.Б.

24

РАЗРАБОТКА КОМПЬЮТЕРНОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ АНАЛИЗА ОСОБЕННОСТЕЙ РАСПРОСТРАНЕНИЯ УПРУГИХВОЛН ВТРУБОПРОВОДЕ С ПОВРЕЖДЕНИЯМИ И ВНУТРЕННИМИ ДЕФЕКТАМИ

А.В. Блинов, П.В. Максимов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Общее направление исследований связано с развитием математических моделей трубопроводов, а также алгоритмов их численной реализации, разрабатываемых с целью изучения картины распространения упругих волн в материале трубопровода, имеющего повреждения и внутренние дефекты. Предпринята попытка математического обоснования основанной на принципах вибродиагностики методики оценки остаточной работоспособности трубопроводов.

В рамках текущей работы на основании серии вычислительных экспериментов оценивается возможность определения типа, размера и местоположения дефекта трубопровода путем анализа закономерностей распространения упругих волн в материале трубопровода и оценки спектральных характеристик поля перемещений в локальной области на поверхности трубы. Для отработки методических подходов к созданию расчетной методики анализа работоспособности трубопроводов на более простых моделях на текущем этапе выполнения задача решалась в осесимметричной постановке для трубы, изготовленной из изотропного материала.

Решены следующие задачи:

–разработаны нестационарные диссипативные конечно-элементные модели распространения упругих волн в материале трубопровода;

–выполнена верификация разработанных численных моделей;

–проведена серия вычислительных экспериментов для изучения картины распространения упругих волн, вызванных приложением импульсного силового воздействия с известными характеристиками;

–определен динамический отклик системы в характерных точках;

–для проведения спектрального анализа поля перемещений точек на поверхности трубопровода использован алгоритм быстрого преобразования Фурье.

25

К РАСЧЕТУ И ОПТИМИЗАЦИИ ГОФРИРОВАННЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ, ДЕМПФИРУЮЩИХУДАРНЫЕНАГРУЗКИ

В.В. Богданов, В.М. Богомольный, М.Ю. Репрев

Университет машиностроения (МАМИ), Москва

На основе анализа напряженно-деформированного состояния краш-бокса автомобиля, вычисленного методом конечных элементов (МКЭ), показана целесообразность применения для снижения силы удара торообразной оболочки с отрицательной гауссовой кривизной срединной поверхности1 [1] и составных гофрированных оболочек, содержащих участки торообразных оболочек с положительной и отрицательной гауссовой кривизной. В монографии [1] показано, что в торообразной оболочке вращения, образующая которой цепная линия (катеноид), возможно напряженное состояние чистого изгиба без удлинений и сдвигов срединной поверхности. При этом энергия упругих деформаций катеноида имеет минимальную величину.

При выборе конструктивных параметров оболочки краш-бокса в качестве критерия оптимальности по параметру динамической прочности принята энергия упругих деформаций, при снижении которой увеличиваются осевые перемещения и время удара. За счет этого при одинаковом внешнем ударном импульсе автоматически (до трех раз) снижается сила удара, передающаяся посредством краш-бокса на автомобиль.

Выбор формы гофров оболочки вращения методом последовательных нагружений в геометрически нелинейной постановке [3] выполнен на основе физической аналогии. Оптимальная форма гофрированной оболочки (при определенном соотношении длины оболочки и диаметра ее срединной поверхности) выбрана в соответствии с поверхностью прогибов типовой конструкции цилиндрической оболочки краш-бокса (вычисленной МКЭ при одинаковых геометрических параметрах и условиях нагружения).

Приведены результаты сравнения расчета МКЭ осевой жесткости, растягивающих и изгибных напряжений для катеноида, гофрированной и цилиндрической оболочки при осесимметричных перемещениях верхнего торца оболочки краш-бокса и жестком закреплении нижнего торца. Показано, что осевая жесткость сегментов торообразных оболочек уменьшается до 1,6 раз по сравнению с типовой цилиндрической конструкцией крашбокса. На наружной поверхности катеноида вблизи закрепления нижнего торца напряжения уменьшаются в 2 раза, а на внутренней в 1,3 раза.

Список литературы

1.НовожиловВ.В. Теория тонких оболочек – Л.: Судпромгиз, 1951. – 344 с.

2.Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. – Саратов: Изд-во Саратов. ун-та, 1975. – 120 с.

1 Пат. Российская Федерация. Ударозащитное устройство транспортного средства с пассивной системой демпфирования / В.В. Богданов, В.В. Богомольный. –

№ 201412588211; 26.06.2014.

26

ОПТИМАЛЬНОЕУПРАВЛЕНИЕПРОЦЕССОМ ОХЛАЖДЕНИЯ ИЗДЕЛИЙ ИЗ СТЕКЛУЮЩИХСЯ ПОЛИМЕРОВ

И.Н. Бояршинова

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Актуальной проблемой производства изделий из полимерных материалов является улучшение их прочностных характеристик, которые во многом обусловлены величиной технологических остаточных напряжений. Последние неизбежно возникают в процессе охлаждения, являющемся неотъемлемым этапом изготовления изделий из стеклующихся полимеров.

Предлагаемая работа посвящена разработке методики оптимального управления процессом охлаждения изделий из стеклующихся полимеров с целью снижения остаточных напряжений, возникающих в процессе производства.

В качестве критерия оптимизации выбран обобщенный критерий в виде линейной свертки двух целевых функций задачи: максимальной интенсивности остаточных напряжений и времени процесса охлаждения. Процесс управления осуществляется при помощи регулирования температуры окружающей среды во время охлаждения изделия.

Для определения технологических остаточных напряжений решается задача термовязкоупругости в конечно-элементной постановке. Задача определения параметров оптимального управления в виде экспоненциальной функции решается методом Нелдера–Мида.

Вкачестве численного эксперимента решена задача охлаждения цилиндра из аморфного полимера (эпоксидная смола ЭДТ-10).

Врезультате решения поставленных задач показано, что применение к процессу охлаждения найденного оптимального управления позволяет снизить технологические остаточные напряжения на порядок по сравнению

сохлаждением изделия без управления.

27

ТРЕЩИНОСТОЙКОСТЬ ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ МЕТАЛЛОИЗДЕЛИЙ С УЧЕТОМ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

А.Ю. Вавель, Е.В. Кузнецова

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Согласно современным представлениям теории разрушения металлоизделие после пластической деформации оказывается пораженным микротрещинами, кроме того, при изготовлении в детали могут формироваться технологические остаточные напряжения, которые существенно влияют на качество. При высоком уровне напряжений и развитых микротрещинах достаточно легких ударных нагрузок для наступления хрупкого излома.

При постоянной нагрузке трещина может стабилизироваться, при переменных нагрузках выше определенного уровня длина трещины l постоянно растет. Скорость развития трещины и ее критическая длина lкр, при достижении которой возникает опасность быстрого разрушения конструкции, зависят

от коэффициента интенсивности напряжений в вершине трещины K1 l,

измеряемого в МПа·мм1/2 [1]. При медленно возрастающей нагрузке условием начала разрушения является равенство

где K1c – вязкость разрушения.

В настоящее время опубликовано много работ по математической трактовке и практическому определению вязкости разрушения [2].

Для конструкционных сталей значения растягивающих окружных остаточных напряжений значительно выше, чем значения радиальных и осевых напряжений. Опасными при этом с позиций механики разрушения являются возможные продольные трещины в металлоизделиях. Эксплуатационные нагрузки могут быть учтены суммированием (суперпозицией) эксплуатационных и остаточных окружных напряжений:

гдеσ0 – остаточноенапряжение; σн – напряжениеотэксплуатационныхнагрузок. Таким образом, методика, предлагаемая в работе, позволяет учитывать наличие трещин в изделиях при последующем прочностном расчете, а также, используя принцип суперпозиции остаточных напряжений и эксплуатационных нагрузок, прогнозировать прочность, долговечность и надежность ци-

линдрических металлоизделий.

Список литературы

1.Пестриков В.М., Морозов Е.В. Механика разрушения твердых тел: курс лекций. – СПб.: Профессия, 2002. – 302 с.

2.Мураками Ю. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений:

в2 т.: пер. с англ. – М.: Мир, 1990.

28

ИДЕНТИФИКАЦИЯНАГРУЗОК В ДЕФОРМИРУЕМЫХ ЭЛЕМЕНТАХ НАСОСНЫХ СИСТЕМ

И.Н. Вассерман

Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь

Объектом исследования данного проекта являются динамические процессы

впоршневых насосных системах, имеющих широкое применение в нефтедобыче. Этасистемасостоитизглубинногонасоса, наземногопривода, колоннынасосных штанг, передающей движение от привода к насосу. Действие клапанов приводит ксильно нелинейной и даже многозначной зависимости нагрузки на нижнем конце колонны от перемещения плунжера. Для моделирования подобных систем необходимо использование специальных подходов, например основанных на примененииквазивариационныхнеравенств[1].

Данные о подобных нагрузках, как правило, труднодоступны. Коэффициент трения в реальном процессе может сильно отличаться от полученного в лаборатории и зависеть от большого числа условий, таких как температура, износ контактных поверхностей. Получение данных о нагрузках, действующих на плунжер

вштанговой глубинной насосной установке, связано с большими техническими трудностями – такими, как спуск в скважину глубинных приборов и прокладка линий связи для передачи данных от этих приборов. Вследствие этого возникает задача идентификации вышеупомянутых сил по усилиям и перемещениям (динамограммам), снятымвверхнейчастиколонны.

Ввертикальных скважинах на боковую поверхность насосных штанг действует только гидродинамическое трение, линейно зависящее от скорости, следовательно, штанговая колонна является линейной системой. В этом случае достаточно эффективно могут быть использованы такие подходы, как разделение

переменных и представление временной составляющей ввиде ряда Фурье[2].

Внаклонных и, особенно, криволинейных скважинах в дело вступает кулоново трение, действующее на боковую поверхность штанг, и штанговая колонна становится сама по себе нелинейной системой. Для этого случая вышеупомянутый подход неприменим. Здесь необходимо использовать идентификацию на основе минимизации методами поиска критерия соответствия с решением в каждой точке пространства параметров полной задачи на всем интервале времени.

Вкачестве критерия соответствия используется среднее квадратичное отклонение результатов расчета от экспериментальных результатов в интервале времени, соответствующем периоду возбуждения системы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-08-96055р_урал_а).

Список литературы

1.Sahardakov I.N., Wasserman I.N. Numerical modelling of longitudional vibrations of a sucker rod string // Journal of Sound and Vibration. – 2010. – Vol. 329, iss. 3. – Р. 317–327.

2.Gibbs S.G. Rod Pumping. 2012. – 682 р.

29

ОПИСАНИЕ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ МОНОКРИСТАЛЛОВ С УЧЕТОМ РОТАЦИЙ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

А.С. Ведров, П.С. Волегов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Работа посвящена моделированию неупругого деформирования монокристаллов с учетом упрочнения и поворота кристаллической решетки. Важно учитывать, что почти при любом пластическом деформировании металлические материалы испытывают изменение физико-механических свойств, что сказывается на параметрах изделий, произведенных из этих материалов. Следовательно, построение математических моделей, учитывающих изменение физикомеханических свойств в процессе деформирования материала, является актуальной задачей [1].

Главной задачей работы является описание хорошо известного эффекта, заключающегося в изменении ориентации кристаллографических осей монокристалла в процессе интенсивной неупругой деформации, согласованные ротации кристаллографических осей зерен в поликристалле и приводят к появлению наведенной анизотропии свойств образца [2]. В данной работе в качестве модели ротации выбрана модель стесненного поворота Тейлора.

Математическая постановка задачи моделирования содержит закон Гука в скоростной форме с учетом геометрической нелинейности, выражение для неупругой составляющей тензора деформации скорости, упруговязкопластическое соотношение для скоростей сдвигов по системам скольжения, уравнения, описывающие скорости изменения критических касательных напряжений по системам скольжения, уравнение, описывающее изменение ориентации кристаллита при деформировании, модель стесненного поворота по Тейлору, определяющую спин решетки как разность тензора вихря и антисимметричной части тензора пластических сдвигов.

В ходе исследований рассмотрены различные варианты вида нагружения монокристалла, получены кривые зависимости интенсивности напряжений от интенсивности деформаций, а также траектория стереографической проекции ориентации кристаллита.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ № МК4917.2015.1, РФФИ (проект № 14-01-96008 р_урал_а).

Список литературы

1.Constitutive relations and their application to the description of microstructure evolution / P.V. Trusov, V.N. Ashikhmin, P.S. Volegov, A.I. Shveykin // Physical Mesomechanics. – 2010. – Т. 13, № 1–2. – С. 38–46.

2.Трусов П.В., Волегов П.С., Кондратьев Н.С. Физические теории пластичности: учеб. пособие. – Пермь: Издво Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 244 с.

30