История и философия классической науки

рых рассматривается либо порядок, либо мера, и со­ вершенно несущественно, будут ли это числа, фигуры, звезды, звуки или что-нибудь другое, в чем отыскивает­ ся эта мера. Ввиду этого, у него возникла мысль о созда­ нии «всеобщей математики», науки, которая объясняет все, что относится к порядку и мере. «Всеобщая» и «уни­ версальная» математика, включающая в себя все мате­ матические дисциплины, должна дать общие правила для решения любой конкретной задачи.

Разработкой начал «всеобщей математики» Декарт занимался долгие годы. Она основывалась на его ме­ тоде. Декарт предполагает сначала сводить «темные и неясные» положения к более простым, а затем «восхо­ дить по тем же ступеням к познанию всех остальных». Этому подчиняется всякое математическое рассужде­ ние. Основным понятием «всеобщей математики» и философии Декарта является понятие отношения, все математические дисциплины исследуют отношения и пропорции. Вообще процесс познания состоит в том, что человек устанавливает, в каком отношении иссле­ дуемое явление находится с другим — простейшим и очевидным. По Декарту, предметом «всеобщей мате­ матики» являются величины самого общего вида. Все отношения между величинами устанавливаются с по­ мощью измерения, а для этого вводится единица изме­ рения. Непрерывные величины Декарт изображает прямолинейными отрезками. Любую геометрическую задачу, считает он, можно свести к такой, что для ее решения не требуется ничего, кроме знания длины некоторых прямолинейных отрезков («прямых линий»). Для этого нужно уметь производить над отрезками действия, аналогичные арифметическим. Произвольно выбранный отрезок Декарт называет единицей. Сло­ жению чисел соответствует прибавление одного отрез­ ка к другому. При вычитании строится отрезок, длина которого равна избытку одного из двух данных отрез­ ков над другим. Умножение — это построение отрезка, который является четвертой пропорциональной вели­ чиной к двум данным. Пусть, например, даны единич­ ный отрезок и отрезки а и Ь. Тогда произведение х = а#Ь ищется из соотношения: х/а = Ь /1. С помощью той же

операции построения четвертой пропорциональной находится степень данного'отрезка. К построению чет­ вертой пропорциональной сводится и действие деле­ ния: оно соответствует отысканию отрезка, который относится к одному из двух данных отрезков так, как единичный отрезок к другому: х /а= 1/Ь.

Таким образом, Декарт разработал новое исчисле­ ние отрезков, полностью соответствующее обычной арифметике. Тем самым была установлена определен­ ная зависимость между арифметикой и геометрией. Это сыграло важную роль в развитии основного поня­ тия математики — понятия числа. С помощью методов «всеобщей математики», по замыслу Декарта, можно было решить любую задачу, касающуюся величины того или иного вида.

Декарт рассуждал, что всякая задача может быть представлена геометрически. Решить ее — значит най­ ти, каким образом пересекаются некоторые линии. Значительную часть «Геометрии» Декарт посвятил этим вопросам, где классифицировал их с этой точки зре­ ния. Согласно ему, любая линия в то же время выра­ жается уравнением. Чтобы найти точку пересечения линий, нужно решить уравнение, построив его корень как отрезок. Это направление в математике получило название аналитической геометрии. Последняя уста­ навливает связь между линиями на плоскости и алгеб­ раическими уравнениями с двумя неизвестными. Ана­ литическая геометрия основывалась на идее коорди­ нат, позволившей сопоставить любой точке кривой точку на числовой оси. Это дало возможность рассмат­ ривать вечное алгебраическое уравнение F(x,y) = 0 как определенную линию на плоскости, координаты точек которой удовлетворяют указанному уравнению. Таким образом, был получен метод для исследования геомет­ рических объектов с помощью алгебры. Развивая эти идеи, Декарт положил начало буквенной алгебре — другому направлению в математике.

Основные идеи математики были сформулирова­ ны Декартом в его «Геометрии». Работа, как писал в предисловии Декарт, предназначена не «для всех», а Ш для ученых, знакомых с классическими трудами по

к кривой (неопределенных коэффициентов, проведе­ ние нормали в любой точке кривой). Во второй книге сделано еще одно важное замечание — применение метода координат к трехмерному пространству.

Третья книга «Геометрии» содержит общую тео­ рию решения уравнений. В конце ее разъясняется общий геометрический способ решения уравнений третьей, четвертой, пятой и шестой степени.

Выяснилось, что многие задачи не допускают чис­ то алгебраического решения, что необходимы методы, основанные на действиях с бесконечно малыми вели­ чинами. Эти методы зародились еще в Античности, позже на их основе возникло дифференциальное и интегральное исчисление. В разработку основ исчис­ ления бесконечно малых внес свой вклад и Декарт.

Одной из задач, которая во второй четверти XVII века привлекла всеобщее внимание, была задача о касательных. Декарт дал алгебраическое решение за­ дачи о касательных с помощью предложенного им ме­ тода неопределенных коэффициентов. Этот метод он проиллюстрировал, построив касательные к эллипсу, овалам, получившим его имя, и к другим кривым. В ходе возникшей по этому поводу дискуссии, Декарт настоял на преимуществе своего метода (чисто алгебраическо­ го) по сравнению с методом, разработанным Ферма. Самый важный результат этого спора — новый подход к понятию касательной. Здесь касательная понимается как предельное положение секущей, и в неявном виде предполагается предельный переход. Однако в работах Декарта эта идея не получила развития.

Декарт решил и другие задачи (о циклоиде, лога­ рифмической спирали, о параболе), применяя инфинительземальные методы. Однако эти вопросы для Декарта не представляли самостоятельного интереса. Он обращался к ним изредка, стараясь решить задачу, вызывавшую у кого-либо затруднение.

Определенное внимание Декарт уделил теории чисел. В частности, он затронул вопрос о совершенных числах. Совершенное — это такое натуральное число 226 Ь, у которого сумма несобственных (то есть меньших

Ь) делителей у(Ь) равна самому числу у(Ь) = Ь. Он ка­ сался также так называемых кратных совершенных чисел, то есть чисел Ь, для которых у(Ь) = пГа, где ш — некоторое целое число. Он указывает несколько таких чисел с кратностью, равной 3: среди них 30240, 32760, 403031236608 и другие.

Вторым важным направлением естественно-науч­ ных и технических вопросов, которым уделял внима­ ние Декарт, были проблемы оптики. Еще в колледже его интересовали вопросы, связанные с изобретением телескопа. Позже Декарт занимался, прежде всего, вопросами, связанными с конструированием и усовер­ шенствованием телескопа (способы шлифовки стенок, конструирование машин для этих целей и так далее). Декарта волновали две стороны проблемы. Во-первых, обработка сферической поверхности линз, трудности, связанные со сферической аберрацией, — искажение линзами геометрического подобия между объектом и изображением. Во-вторых, поиск поверхности, дающей наилучший в этом смысле эффект. Декарт считал, что применяющиеся телескопы были обязаны своим появ­ лением чистой случайности и поэтому страдают серь­ езными недостатками. Чтобы их устранить, следует обратиться к систематическому изучению теории. Одной из первых проблем, занимавших Декарта, была проблема об отыскании форм поверхности линзы, ко­ торая преломляла бы таким образом пучок лучей, ис­ ходящий из одной точки, чтобы они шли строго парал­ лельно. Решая ее, он пришел, в конце концов, к форму­ лировке закона преломления. Декарт много внимания уделил вопросу о природе света. Свои взгляды по это­ му вопросу он изложил в «Трактате о свете» и «Диоп­ трике». Декарт считал, что свет есть некоторое дей­ ствие среды, через которую проходят лучи, а не излу­ чение от видимого предмета. Он писал, что свет есть перемещение тем же способом, «каким перемещение или сопротивление препятствий, встречаемых слепым, проходит к его руке через палку». Декарт считал, что пример с палкой очень точно отражает сущность про­ цесса распространения света. Он отмечал, что при распространении света воздух и некоторая прозрач-

ная среда играют ту же роль, какую играет палка в описанном примере.

В «Трактате о свете» Декарт перечисляет основ­ ные свойства света: свет распространяется во все сто­ роны вокруг тел, называемых светящимися, на всевоз­ можные расстояния мгновенно, обычно по прямым линиям, называемым лучами света; некоторые из этих лучей, исходя из различных точек, могут собираться в одну, или, исходя из одной точки, могут расходиться в разные пункты; исходя из разных точек и направляясь к разным точкам, лучи эти могут пройти через одну и ту же точку, не мешая друг другу, но иногда, когда сила их значительно не равна, могут мешать друг другу; направление лучей может быть изменено посредством отражения или преломления; сила лучей может быть увеличена или уменьшена различными положениями или качествами материи, передающей эти лучи. Декарт систематизировал все сведения о свете, полученные физиками к этому времени, и пополнил их собствен­ ными наблюдениями. Он применил свой метод к ана­ лизу проблем оптики. Созданная им теория была по­ строена как образец новой науки, уподобленной мате­ матике, доказывающей плодотворность разработанного им метода. Декарт ошибался лишь в вопросах о скоро­ сти света и в том, что при непрерывной силе лучей они могут мешать друг другу. Распространение света он считал мгновенным. Определенный шаг вперед сделал Декарт в объяснении природы цвета. Различие цвета видимых предметов, по его мнению, происходит из-за того, что эти предметы по-разному воспринимают свет и отражают его в направлении наших глаз.

Явлению преломления — рефракции — посвящена вторая глава «Диоптрики». Декарт объясняет его на примере с бросанием мяча. Определение величины преломления луча он начинает с анализа явления отра­ жения, которое происходит согласно углу, всегда рав­ ному тому, который принято называть углом падения.

Переходя к анализу явления рефракции, Декарт рассматривает в этом примере не поверхность земли, а кусок материи, которая «настолько слаба и редка»,

228 что мяч может прорвать ее и пройти насквозь, теряя

только часть своей скорости. При этом меняется толь­ ко перпендикулярная составляющая скорости. Декарт подчеркивает, что, исследуя преломление светового пучка при переходе из одной среды в другую, нужно иметь в виду не отношение угла падения к углу пре­ ломления, а соотношение их синусов, которое для дан­ ных двух сред есть величина постоянная. Поэтому, изучая какое-либо прозрачное вещество с точки зре­ ния его преломляющей способности, достаточно найти экспериментальным путем указанное отношение для одного какого-либо угла падения луча.

Специальные разделы «Диоптрики» Декарт посвя­ тил разъяснению природы чувств, строению глаза, вопросу об изображениях, возникающих на дне глаза, о сущности процесса зрения, а также о средствах улуч­ шения зрения. Сведения по анатомии глаза были по­ лучены Декартом, в основном, из собственных экспе­ риментальных исследований и наблюдений. Он ана­ лизирует вопрос о строении нервной системы и механики воздействия внешней среды на органы чувств. Декарт показал, каким образом видимые пред­ меты передаются нам благодаря только тому, что они приводят в движение посредством прозрачных тел, на­ ходящихся между ними и нами, соответствующее ме­ сто маленьких ниточек оптических нервов, находящих­ ся в глазном дне, а затем то место мозга, откуда выхо­ дят эти нервы. Они приводят в движение нервы столь разнообразно, что дают нам возможность видеть раз­ нообразие вещей и движение, передающее нашей душе эти предметы, которое происходит непосредственно не в глазу, а в мозгу.

Декарт рассматривает искусственные приспособ­ ления, с помощью которых можно исправить недостат­ ки зрения, в частности, описание зрительной трубы. В последних двух главах «Диоптрики» описаны зри­ тельные трубы и микроскопы. Декарт проявляет боль­ шую осведомленность в работе с ними и предлагает методику шлифовки гиперболических поверхностей с помощью станка специальной конструкции.

Среди работ Декарта по оптике важное значение имеет его исследование явлений радуги. Оно проведе-

ним из разделов общего учения о природе. Поэтому в исследовании живых организмов решающим был тот же механический принцип. Законы механики для него тождественны законам природы. Живой организм, по Декарту, это простая машина, а все его действия и происходящие в нем процессы сводятся к механичес­ ким движениям. Тело человека построено по тому же принципу, что и у животных. Единственное отличие между ними, считает Декарт, в том, что человек наде­ лен разумом. Никакую машину, даже очень схожую с человеческим телом, нельзя спутать с человеком. Ма­ шина никогда не сможет пользоваться словами или другими знаками, чтобы сообщить свои мысли. Чело­ век проявляет себя по-разному в зависимости от об­ стоятельств, машина же может совершить только ка­ кие-то заранее определенные действия.

Декарт нанес своими рассуждениями чувствитель­ ный удар по схоластике в вопросе о происхождении человека и его месте в системе природы. Рассматри­ вая живой организм как автомат, Декарт тем самым утверждает его материальность. Основу жизни он видит в теплоте, которая концентрируется в сердце и по кровеносным сосудам сообщается всем частям тела. В этом вопросе он опирался на учение известного английского физиолога Гарвея. Во взглядах на сердце и его работу Декарт придерживался устаревшей точки зрения. Он полагал, что движение сердца зависит от движения крови, не принял установки Гарвея, что сер­ дце человека — это своеобразный мотор, который на­ делен способностью к сокращению и вызывает движе­ ние крови.

Особое значение имело введенное Декартом по­ нятие о рефлексе, которое также основывалось на представлении о чисто механическом процессе. Но предложенная им схема связи между раздражением органов чувств и мышечной реакцией, несомненно, является прототипом учения о рефлекторной дуге И.П.Павлова. Все движение в организме, согласно Де­ карту, совершается благодаря наличию нервов, кото­ рые наподобие тончайших нитей тянутся от мозга ко всем частям прочих членов тела.