АКАДЕМИЯ НАУК ЛАТВИЙСКОЙ ССР

механика

композитных

материалов

Июль — август

Журнал основан в 1965 г. Выходит 6 раз в год

УДК 539.3.001:678

В. А. Маньковский

НЕЛИНЕЙНАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ФУНКЦИЙ

В наследственной механике твердых тел широкое распространение получили слабосингулярные двухпараметрические наследственные функ­ ции влияния — дробно-экспоненциальная Э-функция Работнова [1]

^-функция Ржаницына—Дэвидсона—Колтунова [2—6] и /С-функция Кольрауша—Слонимского [2, 5, 6]

Р^О ■— параметры, далее определяемые из эксперимента на простую ползучесть:

где e(ti) =Ei — опытные значения текущей деформации, снятые в момент времени tu е0 — мгновенноупругая деформация; %— равновесный пара­ метр; П = {Э,/?, /С, £, А) — ядра ползучести; Д(/*) — текущая невязка как малодисперсная случайная функция. R, /(-функции представлены в нормированном виде [4—6] таким образом, чтобы в предельных вариан­ тах — при а = 0 и р= 0 — ядра вырождались в экспоненциальное ядро и ядро Абеля—Дюффинга [2]:

Е (р, t) = exp ( - РО; A (a, t) =/«/Г (а+1).

Ниже остановимся лишь на статистическом оценивании параметров П-ядер, свободном от графических операций неконтролируемой точности. Именно такой подход позволяет [7] корректно решать задачи прогнози­ рования и надежности для вязкоупругих сред. В реологии наиболее пер­ спективными в этом отношении являются усовершенствованные тради­ ционные численные процедуры [8, 9], реализуемые для Э-функции на ЭВМ большой мощности. Эти методы исходят из минимизации средне­ квадратичного критерия по четырем параметрам ео, К -а, р формулы

(1) и обычного допущения Dx\ М[Д(^)] = 0; £)[Д(/i)] = const, где М, D — впредь символы математического, ожидания и дисперсии.

Практическая реализация упомянутых методов наталкивается на ти­ пичные трудности Tj, свойственные проблеме статистического оценива­ ния параметров, нелинейно входящих в математические модели. В ста­ тистике ее принято называть проблемой параметризации. В марте 1978 г. была открыта общесоюзная дискуссия [10] по данному вопросу, столь актуальному и для реологии. Основные из этих трудностей таковы. Т\ — процедура параметризации оказывается неоднозначной и весьма неус­ тойчивой [1] ввиду слабой обусловленности корреляционных матриц оши-

рывать машинный счет из-за обращения к таблицам. В окончательных формулах (6) теперь

F(Xi) =axi —0,434 exp(£**/0,434) —lg T (a + l),

причем для R-ядра: £ = 1, для К: £= а + 1, для Е: а = 0.

Значения параметров а, 6 приведены в табл. 2; на рис. 1 показана процедура графоаналитической параметризации, результаты которой а = ао, 6= 60 являются начальными приближениями итерационного цикла

(6). Значения параметров ядер, наиболее адекватных рассматривае­ мому опыту, приведены в табл. 1. Критерий Фишера при р = 5% не поз­ воляет отдать предпочтение какому-либо из Э-, R- и /(-ядер. Действи­ тельно, как следует из рис. 1, формы их при одинаковом а достаточно близки. Более того, экстраполяционные возможности этих ядер, судя по значениям равновесного параметра g, также достаточно близки между собой. Для сравнения в этой же таблице представлены параметры, отве­ чающие стандартному линейному телу (ядро Е) и степенному закону ползучести (ядро А). Дискриминация по Фишеру при р = 5% не позво­

Э-функции по методам [8, 9]. Соответствующий в-опыт приведен на рис. 2 в логарифмических координатах. Уже визуально можно убе­ диться в том, что экспериментальные точки можно аппроксимировать прямой линией. Иными словами, ядром ползучести для данного опыта может служить ядро А. В этом случае в формулах (6) d\-+0 и парамет­ ризация по СМЛС также будет неустойчивой и неопределенной. Однако

что вновь позволяет обойти трудность Т\. В случае же методов [8, 9] в подобной неустойчивой ситуации в усугубление неопределенности еще дополнительно определяется четвертый параметр. Другими словами, на­ бор искомых параметров по принципиально близким методам [8, 9] для опыта на рис. 2 при той же точности аппроксимации может быть самым произвольным. На эту особенность метода [8] ранее было обращено вни­ мание в (и. Отмеченное обстоятельство особенно неблагоприятно сказы­ вается на экстраполяционных значениях деформации ползучести при /—оо}не говоря уже о принципиальной невозможности определить основ­ ные ошибки найденных параметров. Так, в табл. 3 приведены предель­ ные характеристики ползучести £. Они резко расходятся по методам [8, 9] и в то же время принципиально отличаются от аналогичной характе­ ристики по СМЛС, которому отвечает наименьшее значение критерия адекватности.

В заключение заметим, что вместо е-опыта с помощью СМЛС можно было осуществить параметризацию рассмотренных ядер и на основании функции ползучести. Соответствующие эталоны формы для интегралов от Э, /?, /(-функций ранее были приведены в работе [6].

Пользуясь случаем, автор благодарит М. И. Розовского за конструк­ тивное обсуждение данной статьи.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1977. 384 с.

2.Уржулщев Ю. С., Максимов Р. Д. Прогностика деформативности полимерных

материалов. Рига, 1975. 416 с.

3.Колтунов М. А. Ползучесть и релаксация. М., 1976. 277 с.

4.Маньковский В. А. К феноменологической теории ползучести анизотропной уп­

руго-наследственной среды. — Прикл. механика, 1969, т. 5, N° 5, с. 46—52.

5. Маньковский В. А., Розовский М. И. Общий способ сопоставления наследствен­

ных функций влияния и определения их параметров. — Прикл. механика, 1971, т. 7, N° 1, с. 18—24.

6.Комяков А. А., Маньковский В. А. Общий способ определения параметров эм­

пирических формул с помощью номограмм. — Завод, лаб., 1975, N° 5, с. 589—592.

7.Маньковский В. А. Алгоритмизация прогнозирования с заданным уровнем риска

длительной прочности и жесткости материалов. — В кн.: Тез. докл. ВсесоюЗ. конф. «Современные методы и алгоритмы расчетов и проектирования строительных конструк­ ций с использованием ЭВМ». Таллин, 1979, с. 157— 158.

8.Звонов Е. Н., Малинин Н. И., Паперник Jl. X., Цейтлин Б. М. Определение

характеристик ползучести линейных упругонаследственных материалов с использованием ЭЦВМ. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1968, № 5.

9.Гольдман А. Я., Щербак В. В., Кислое Е. Н., Дворский Е. И. Способ определе­

ния параметров для описания кривой ползучести упругонаследственных материалов на основе таблиц Эа-функции Работнова. — Машиноведение, 1977, N° 6, с. 77—82.

10. Налимов В. В. Анализ трудностей, связанных с построением нелинейных по па­

раметрам моделей в задачах химической кинетики. — Завод, лаб., 1978, N° 3

с.325—331.

11.Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. М., 1973. 957 с.

УДК 539.4:539.2:678

А. С. Овчинский, Ю. С. Гусев

МОДЕЛИРОВАНИЕ НА ЭВМ ПРОЦЕССОВ ОБРАЗОВАНИЯ, РОСТА И СЛИЯНИЯ МИКРОДЕФЕКТОВ

В СТРУКТУРНО-НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛАХ

Определенный этап в статистических представлениях о развитии раз­ рушения на различных структурных уровнях композитных материалов связан с построением кинетических моделей [!]• Наиболее общий под­ ход к стохастическому описанию разрушения материала состоит в рас­ смотрении его в виде случайного процесса, развивающегося во вре­ мени [2]. Реальное прогнозирование длительной или циклической проч­ ности, оценка ресурса эксплуатируемого материала требуют введения понятий о различных стадиях разрушения. Как правило, рассматрива­ ется рассеянное (диффузное) разрушение, т. е. этап накопления повреж­ дений, и локализованное разрушение, т. е. этап развития макродефектов. При этом накопление повреждений может происходить как на микроструктурном уровне, например, в виде разрушения структурных элемен­ тов композитных материалов, так и на субмикроструктурном уровне, т. е. в отдельных компонентах [3].

Несмотря на универсальность аналитических методов стохастиче­ ского описания процессов разрушения и на известные достижения в этой области, в целом в рамках кинетических вероятностных моделей пока не удается в полной мере преодолеть барьер, разделяющий кинетику равно­ мерного накопления повреждений в объеме материала и кинетику разви­ тия отдельных очагов разрушения. Хотя формально оба эти процесса могут быть описаны единой системой уравнений, численная реализация ее на ЭВМ вызывает принципиальные трудности. С другой стороны, не­ которые физические концепции разрушения наряду с кинетическими мо­ делями могут быть эффективно алгоритмизированы, т. е. переведены на язык имитационного моделирования на ЭВМ. Это позволяет в рамках уже имеющихся представлений учесть большое многообразие факторов, влияющих на развитие процессов разрушения, придать уже существую­ щим подходам большую направленность в прогнозировании прочност­ ных свойств конкретных материалов в реальных условиях нагружения. Данная работа посвящена такой алго­ ритмизации и анализу модели твердого тела, состоящего из структурных элемен­ тов [1], разрушение которых, согласно имеющимся концепциям [4], происходит термоактивационным путем.

1. Моделируемый материал представ­ ляется состоящим из совокупности эле­ ментов. Размер структурного элемента

Рис. 1. Схема моделирования твердого тела на ЭВМ: 1 — выделение в твердом теле структурных элементов; б — фрагмент моделируемого сече­

ния материала и схема получения случайных зна­ чений y t и а*; в — статистическое распределение

параметров уг, г — статистическое распределе­ ние локальных значений прочности о*.

соответствует величине микрообъема, не воспринимающего нагрузки при образовании зародышевой трещины или поры. Возникающие стабильные поры или микротрещины в твердых телах имеют примерно одинаковые размеры порядка 102—103 нм, в зависимости от рассматриваемых мате­ риалов [3—5]. Развитие процесса разрушения исследуется в некотором слое, расположенном нормально действию растягивающей нагрузки (рис. 1—а). Предполагается, что структурные элементы имеют одинако­ вые размеры и уложены гексагонально. Таким образом, каждый элемент окружен шестью соседними (рис. 1—б) .

Наиболее вероятное время для разрушения /-го микрообъема исходя из кинетических представлений [6] определяется как

где to, К — известные константы, отражающие термоактивационный ха­ рактер разрушения; Т — температура, /С; (U0—yiOi) — пороговое зна­ чение энергии активации. В свою очередь составляющая U0 характери­ зует кинетические свойства тела в целом, и ее можно считать одинако­ вой для микрообъемов, но коэффициент уг-, стоящий перед значением локального напряжения в микрообъеме а и имеющий различные физи­ ческие трактовки, является структурно-чувствительным параметром. Предполагается, что каждому микрообъему соответствует свое значе­ ние уif распределение которых имеет случайный характер, и, следова­ тельно, каждый материал характеризуется некоторым статистическим распределением параметров у*.

Вероятность разрушения Z-го микрообъема P(t) или вероятность воз­ никновения достаточно мощной флюктуации, приводящей к возникнове­

При имитационном моделировании необходимо получить случайные значения времени до наступления очередного акта микроразрушения. Они вычисляются путем выражения t через P(t) из (2) и подстановкой Тг из (1):

Подставляя в (3) вместо P(t) случайные числа, равномерно распреде­ ленные в интервале от 0 до 1, а вместо уг- — случайные значения пара­ метров у из его статистического распределения, получаем случайные зна­ чения времени U до разрушения отдельных микрообъемов.

Кроме пороговых значений энергии, необходимой для зарождения микротрещины, представляется целесообразным каждый микрообъем характеризовать еще и предельным уровнем напряжений, т. е. локальной прочностью аВ2. Таким образом, предусматривается возможность разру­ шения некоторого микрообъема и при выполнении силового критерия:

Вопросы, связанные с получением статистических распределений па­ раметров уг и ствг по микрообъемам для различных материалов, требуют отдельного обсуждения. Пока имеется довольно ограниченная информа­ ция о характере распределения у* по микрообъемам, и представляется целесообразным при моделировании материала на ЭВМ аппроксимиро­ вать статистическое распределение у бимодальным равномерным рас­ пределением (рис. 1—в). Случайное распределение локальных значений прочности отдельных микрообъемов сгВг задается вейбулловским, отра­ жающим масштабные эффекты [7] (рис. 1—г). Таким образом, случай­ ные значения параметра у,- определяются согласно выражениям