Механика композитных материалов 4 1982

лее интенсивно развивается в краевой зоне, моментное напряженное состояние в которой существенно неоднородно.

2. Критерий прочности и анализ первого разрушения слоя. Предпо­ ложим, что многослойный пакет оболочки состоит из ортотропных слоев, каждый из которых может быть произвольным образом ориенти­ рован относительно образующей. Деформации ех, гу в произвольной точке оболочки определяются через найденные в результате численного интегрирования уравнений движения перемещения и, w или усилия Nx, Ny по известным формулам. В силу принятой кинематической модели Кирхгофа—Лява они непрерывны на поверхностях контакта слоев. Де­ формации, преобразованные к главным осям i-го слоя, обозначим че­ рез ei(i>, е2(г), ei2{i)- Напряжения ai(f), <Т2(г’\ ai2(i) в главных осях i-го слоя связаны с ei(i), е2(г), ei2(i) обобщенным законом Гука для ортотропного материала. Для неоднородных по толщине слоистых пакетов эти на­ пряжения претерпевают разрывы на поверхностях контакта слоев.

Зная'напряжения (х,/), 02{i)(x>t), оn{i){xj) в каждой точке i-го слоя оболочки, можно, используя некоторое условие прочности, опре­ делить момент возникновения t = t*W и координату x = x*W первого де­ фекта в этом слое, а проведя такой анализ по всем слоям, определить номер слоя i*, в котором произошло первое разрушение, момент воз­ никновения t* и координату х* первого дефекта в оболочке.

В качестве условия прочности i-го слоя используем тензорно-поли­ номиальный критерий [10], ограничиваясь квадратичным приближе­ нием и случаем плоского напряженного состояния:

Рассмотрим в качестве примера оболочку из однонаправленных уг­ лепластиковых слоев, результаты расчетов для которой были представ­ лены в п. 1. Для характерных прочностей слоя примем следующие

мальное значение прогиба w* в момент образования в оболочке первого дефекта. Как видно, во всех случаях первое разрушение про-

Табл. 1

Коэффициент динамичности, координаты первого дефекта

воболочке и максимальная величина прогиба

вмомент первого разрушения для различных

граничных условий

Табл. 2

Коэффициент динамичности, координаты первого дефекта

воболочке и максимальная величина прогиба

вмомент первого разрушения при различных значениях скорости нагружения

изошло на внутренней поверхности оболочки. Определить точное зна­ чение координаты х* для условий свободного края не удалось, так как критерий прочности практически одновременно выполняется для до­ вольно широкой области в окрестности торца. Среди остальных гранич­ ных условий наиболее близкое расположение первого дефекта к торцу дают условия шарнирного опирания. Этим же условиям соответствует минимальная величина критической динамической нагрузки. Макси­ мальное значение прогиба в момент первого разрушения приблизи­ тельно одинаково для всех типов граничных условий, кроме (15), (16). Что касается влияния скорости нагружения, то при увеличении ее в 25 раз критическая динамическая нагрузка для условий шарнирного опирания увеличилась почти втрое, а расстояние от места разрушения до торца уменьшилось вдвое. Заметим, что при высоких скоростях, когда изгибные деформации не успевают развиться до начала разру­ шения, величина Kg, определяемого по моменту первого разрушения, перестает зависеть от скорости нагружения. Значение K g ~ l3 является для рассматриваемой оболочки предельным. Критерий прочности при этом выполняется практически одновременно для всех значений коор­ динаты z.

3. Расчет оболочки с укладкой слоев ± 0 °. В качестве еще одного примера рассмотрим оболочки со слоями из описанного выше одно­ направленного углепластика, расположенными под углами ± 0 к обра­ зующей. Интересная особенность этого случая состоит в том, что не­ смотря на осесимметричность нагрузки и геометрическую осесимметричность оболочки перемещение v в окружном направлении отлично

от нуля. В результате система уравнений движения дополняется еще одним уравнением и имеет вид

где Kis — компонента матрицы мембранно-изгибной жесткости, отлич­ ная от нуля при О<0 < я /2. Выражения (9) для Nx и Nv остаются в

силе. Необходимое дополнительное граничное условие на каждом из торцов зададим в виде

где Т —vкольцевое усилие.

Численное интегрирование уравнений (18) проводилось по схеме, описанной в п. 1. На рис. 6 представлены зависимости безразмерного

времени х* до первого разрушения слоя, определяемого по критерию (17) , и максимальной величины прогиба до* при т=т* от угла укладки слоев 0. Результаты относятся к условиям шарнирного опирания. При

рассматриваемом виде нагружения максимальная величина критиче­ ской динамической нагрузки достигается при 0 = 0. Обратим внимание на сильную зависимость от 0 величины прогиба в момент начала раз­ рушения. Она свидетельствует о том, что критерий динамической по­ тери устойчивости, основанный на задании критической величины про­ гиба, для оболочек из композитов страдает еще большей неопределен­ ностью, чем для оболочек из изотропных материалов.

В заключение отметим, что согласно результатам, приведенным в табл. 3, окружное перемещение у* = у(т*), возникающее вследствие не­ симметричности пакета, для всех © значительно меньше, чем w*. Вследствие этого величины т*, рассчитываемые при граничных усло­ виях (19) и (20), для всех 0 различаются менее чем на 1% (макси­ мальное отличие-соответствует 0 = 30°), а пренебрежение в уравнениях (18) членами с К\6 практически не изменяет величины г*

Заключение. Проведенный анализ осесимметричного деформирова­ ния цилиндрических оболочек при осевом ударе показал, что при огра­ ниченной подвижности торца в радиальном направлении в непосредст­ венной близости от него происходит наиболее интенсивное развитие изгибных деформаций. Адекватное описание этого процесса может быть проведено лишь на основе уравнений нелинейного динамического крае­ вого эффекта. Послойный анализ прочности, проведенный на основе тензорно-полиномиального критерия, позволяет сделать вывод, что для большого числа исследованных типов граничных условий в широком диапазоне скоростей нагружения первые очаги разрушения оболочки (при условии осесимметричности деформации) возникают в краевой зоне. При высоких скоростях нагружения разрушение начинается уже на стадии безмоментного деформирования и распространяется практи­ чески одновременно на обширные области как вдоль поверхности обо­ лочки, так и по толщине.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Гордиенко Б. Л. Экспериментальное исследование поведения стержней и ци­

линдрических оболочек при ударе. — В кн.: Тр. VII Всесоюз. конф. по теории оболо­ чек и пластин. М., 1970, с. 190— 193.

2. Гордиенко Б. А., Нечипорук Г. С., Тен Ен Со. Реакция цилиндрических и ко­

нических оболочек на осевой удар. — В кн.: Теория оболочек и пластин. М., 1973,

с.431—436.

3.Нечипорук Г. С., Тен Ен Со. Экспериментальное исследование ударного

выпучивания цилиндрических и конических оболочек. — Изв. АН СССР. Механика

твердого тела, 1974, № 3, с. 175— 182.

4.Утешев С. А. Выпучивание полимерных конических и цилиндрических оболочек

при ударе1по торцу. — Механика полимеров, 1977, № 1, с. 75—79.

5.Борисенко В. И., Клокова А. И. Закритическая деформация цилиндрической

оболочки при ударе. — Прикл. механика, 1966, т. 2, № 10, с. 29—35.

6. Гордиенко Б. А. Ударное выпучивание упругих систем. — Изв. АН СССР.

Механика твердого тела, .1971, № 4, с. 109— 115.

7. Гордиенко Б. А. Динамика ортотропных цилиндрических оболочек при осевом

ударе. — Механика полимеров, 1977„ № 5, с. 892—895.

8. Амбарцумян С. А. Общая теория анизотропных оболочек. М., 1974. 448 с.

9.Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость оболочек. М., 1978. 360 с.

10.Малмейстер А. К. Геометрия теорий прочности. — Механика полимеров, 1966,

№4, с. 519—534.

УДК 672.2:624.074

Л.А. Егоров, В. Д. Протасов, Ю. А. Афанасьев, В. С. Екельчик,

В.К. Иванов, С. Н. Кострицкий

НЕКОТОРЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМ ПРОЦЕССОМ ОХЛАЖДЕНИЯ ТОЛСТОСТЕННЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Низкая прочность при растяжении композитных полимеров в транс­ версальном, неармированном направлении нередко приводит к расслое­ ниям как в процессе эксплуатации [1, 2], так и в процессе изготовле­ ния при термообработке конструкций [3—5]. К настоящему времени разработаны конструктивные и технологические приемы, позволяющие повысить трансверсальную прочность материала или понизить вели­ чину технологических температурных напряжений [6—14]. В работах [15—19] показано, что одним из возможных факторов управления тех­ нологическими температурными напряжениями на стадии охлаждения может служить намеренно создаваемое неоднородное по толщине тем­ пературное поле. В развитие этих работ в настоящей статье рассмат­ ривается задача об оптимальном управлении параметрами технологи­ ческого процесса при неоднородном охлаждении толстостенных цилин­ дрических оболочек из композитных полимерных материалов.

В качестве критерия оптимальности принимается условие минимума функционала упругой энергии осесимметричной деформации для длин­ ного цилиндра [20]

обеспечивающее минимальное в среднем на протяжении всего процесса охлаждения от 0 до tjt напряженное состояние цилиндра. В качестве функций управления принимаются температуры среды внутри U\(t) и снаружи U2 (t) цилиндра. Распределение температуры Г(г, t) по толщине цилиндра г(г0^ . г ^ . г i) в произвольный момент времени t(0^

описывается известным уравнением нестационарной теплопро­ водности [21]

где а — коэффициент температуропроводности; К — коэффициент теп­ лопроводности; аь сб2 — коэффициенты теплообмена между средой и поверхностью цилиндра. В дальнейшем предполагается, что как тепло­ физические, так и механические характеристики материала цилиндра не зависят от температуры. Влияние технологической оправки на рас­ пределение температуры внутри цилиндра может быть приближенно учтено соответствующим выбором коэффициента а\.

где обозначено R (г, t) =>а<р ^ + а ^ 2 аг Т (г, /); ©2 = ; а Ф, а г -

коэффициенты линейного температурного расширения.

Нахождение функций U\(t) и U2{t), реализующих экстремум функ­ ционала (1) на решениях уравнения теплопроводности и уравнения термоупругости (5) и (7), представляет значительные математические трудности. Один из способов упрощения задачи был использован в [19], где предполагалось логарифмическое распределение температуры по толщине цилиндра (4) в любой момент времени, а в качестве уп­ равляющих параметров принимались температуры внешней и внутрен­ ней поверхности цилиндра Т(г0,0) и 7 (0 , 0).

В настоящей работе не используется предположение о стационар­ ном характере распределения температуры (4) и рассматривается ре­ шение нестационарной задачи теплопроводности (5), а упрощение за­ дачи достигается за счет выбора определенного класса функций управ­ ления — кусочно-линейных функций вида

где 6i> 0 и &2>0 — скорости охлаждения среды соответственно с внут­ ренней и внешней поверхности цилиндра; 4 , и — время охлажде­

ния среды с соответствующих поверхностей цилиндра. Использование такого предположения позволяет свести задачу определения оптималь­ ных функций управления к нахождению оптимальных параметров вы­ бранных кусочно-линейных функций управления £/i(0), U2(0), bь Ь2. При этом на искомые параметры необходимо наложить определенные ограничения, связанные со специфическими особенностями полимерных

где Tg, Та — температуры стеклования и деструкции, которые предпо­ лагаются известными. С учетом (3) и (4) неравенство (9) позволяет получить ограничения непосредственно на параметры управления Ui(0) и U2(0) через температуры наружной и внутренней поверхности ци­ линдра:

В результате сделанных допущений нахождение оптимального ре­ жима охлаждения толстостенного цилиндра приводится к вариацион­ ной задаче определения экстремума следующего функционала от че­ тырех независимых переменных — параметров управления:

Ч г>

П = ~ J Jf[r, t, £7,(0), U2(0), bh Ь2, a]drdt, (10)’ 0 To