Механика композитных материалов 4 1982

волокна разрушаются, когда их деформация достигнет своего предель­ ного значения. Если принять, что между волокнами и связующим су­ ществует тесное сцепление, т. е. отсутствует скольжение, то деформация волокон будет равняться деформации армированного пластика в направ­ лении армирования < е ц > .

Отдельные элементарные слои слоистого материала армированы в различных направлениях, определяемых углом р. На рис. 2, например, показан произвольный слой k. Критерий прочности этого слоя имеет вид

где е/я — предельная деформация волокон на растяжение или сжатие.

слоистых материалов при условии, что отсутствует скольжение между

Критерий (3) определяет момент разрушения волокон в слое k. Этот критерий повторно должен применяться ко всем слоям, имеющим раз­ личную ориентацию волокон. В результате такого повторного расчета можно установить, который из слоев разрушится первым, т. е. найти кри­ тический угол P/i. Зная критическое значение угла P/t и строение слоис­ того материала, при помощи критерия (3) можно определить прочность слоистого материала в целом. Это объясняется тем, что после разруше­ ния наиболее нагруженных волокон в результате скачкообразного пере­ распределения напряжений обычно начинается лавинное разрушение всего материала.

Таким образом, критерий (3) является обобщенным структурным критерием прочности армированных пластиков в случае, когда первыми разрушаются волокна. Коэффициенты а, Ь, с, входящие в этот критерий, зависят от структуры материала и определяются по зависимостям

;А= ЛП (Л22Л66—Л262) —А\2(А\2Абе—А16Л26) +

+Л16 (Л12Л26—Л22Л16) .

Напряжения в элементарном слое. В общем случае плоского напря­ женного состояния, показанного на рис. 1, напряжения в направлениях упругой симметрии слоев определяются по зависимостям [1]

Рис. 3. Зависимость структурного параметра ог от объемного содержания волокон ф и отношения модулей поперечной упругости волокон и связующего Ев Г/Еа. Цифры у

кривых — значения ф.

Рис. 4. Зависимость структурного параметра oTZ от объемного содержания волокон ф и отношения модулей сдвига волокон и связующего GBrzlGa. Цифры у кривых — значе­

ния ф.

Если разрушение однонаправленно армированного слоя, ориентиро­ ванного под углом Р/г, является типичным для продольного сдвига, тогда

^К<Т1»Л; <тщ>,() = Y ) + ( 1 +Vm)( <T^ + ft ) +. ^

В формулах (8) —(10) введены следующие обозначения: Rm+, Тт — прочности полимерного связующего на растяжение и сдвиг; vm, VJ.II — коэффициенты Пуассона полимерного связующего и однонаправленно армированного пластика; ( R ± ~ ) k — прочность однонаправленно армиро­ ванного слоя k на поперечное сжатие. Прочность R±~ определяется по формуле [2]

(1+Vl||)ary i —Vm2

Разрушение сцепления. В случае разрушения сцепления между во­ локнами и связующим для получения аналитического выражения функ­ ции F используем критерий прочности анизотропного материала в виде тензорного ряда

Используя прочностную симметрию контактной поверхности и прини­ мая, что связи, через которые осуществляется механическое взаимо­ действие волокон и связующего, могут разрушиться только в результате удлинения, из критерия (И) получаем следующую формулу для F [3]:

случая нагружения определяются формулами (5) и (6). Если напряже­ ние <oj_>/i является сжимающим, то в формулы (9) —(12) оно вводится

со знаком минус. Параметры ог и orZy входящие в формулы (8) и (12), зависят от структуры материала, объемного содержания волокон, упа­ ковки волокон и упругих свойств волокон и связующего; величины их параметров определяются методами теории упругости. На рис. 3 и 4 по-

казаны зависимости этих параметров от от­ ношения модулей упругости волокон и свя­ зующего при различной объемной доле во­ локон. В формуле (12) через Rb и Тъ обозначены прочности сцепления на отрыв и на сдвиг. Экспериментально эти проч­ ности определяются по зависимостям [3]:

Rb = R±+or; Ть= Тц±<Угг- В этих формулах че­ рез и Т\\± обозначены экспериментально установленные прочности однонаправленно армированного пластика при поперечном растяжении и продольном сдвиге, а пара­

метры От и Grz определяются по кривым, приведенным на рис. 3 и 4.

Двухосное нагружение ортогонально ар­ мированного пластика. Предельные кривые прочности и потери сплошности для эпок­

Рис. 5. Предельные кривые сидного стеклопластика при двухосном на­ прочности ортогонально арми­ гружении представлены на рис. 5. Кривые

рованного стеклопластика. прочности ортогонально армированного пластика, связанного с разрушением воло­ кон, показаны на этом рисунке сплошными линиями, а кривые потери

сплошности, связанные с разрушением связующего, — штриховой. Для построения предельных кривых прочности использован критерий (3), а для кривых потери сплошности — критерий (7) с учетом формул (8) и

(9). Из этих критериев следуют рабочие зависимости:

((cri))^22—((02))Al2 = £/Я+(^11-^22~~Л\22) \

— < < ( T l > M i 2 + <<СГ22> М п = £ /Я + ( А \ \А 2 2 — А \ 2 2) I

(SG\>yA.22 — ((p2>'>.A\2= efR-(AnA22--A\22) ;

< ( f f i » 4 i 2 + <<cr2> > Л ц = 0 / я " ( А \ \А 2 2 — А \ 2 2) \

На рис. 5 у отдельных кривых указаны номера формул, по которым онЯ

построены. На этом рисунке представлены также опытные данные, при' веденные в работе [4].

Комбинированное осевое нагружение и сдвиг ортогонально армиро­ ванного пластика. Рассмотрим случай, когда ортогонально армирован­ ный пластик нагружен параллельно направлениям армирования* При ^аком нагружении в наиболее невыгодных условиях оказываются Неко­ торые слои, на которые одновременно воздействуют касательные ((Tli±i>) и растягивающие (<ai>) напряжения перпендикулярно направлению ар­ мирования. Механизм разрушения таких слоев зависит от отношения

<^01^

предела, разрушение слоя b не вызывает одновременного разрушения слоя а. После разрушения слоя b в слоистом материале происходит су­ щественное перераспределение напряжений. Учитывая фактическое нап­ ряженное состояние слоя а, из критерия (7) получаем

где

»[Or(1-m i) Vi,№ Us= (1—Vm!

Здесь rri\ — отношение суммарного объема слоев, армированных в нап­ равлении 1, к общему объему материала; Е2 — модуль упругости слоис­ того материала в направлении 2; V ± II, £ц — коэффициент Пуассона и мо­ дуль упругости однонаправленно армированного слоя.

При дальнейшем увеличении напряжения <Cai3> происходит разрыв волокон, как это схематически показано на рис. 6. В таком случае из критерия (3) получаем

где ф — относительное объемное содержание волокон; EBZ, Еа — мо­ дуль упругости волокон и матрицы.

Следует отметить, что вид суммарной предельной кривой в большой мере зависит от коэффициента укладки волокон т\. Так, например, при

1 -Л

где Л ——----- =■ т -—==• одновременно с разрушением полимерного ■ciiViiKTre/n+yl —vm2

связующего в слое а происходит разрыв волокон.

Далее рассмотрим случай комбинированного нагружения сжатием и сдвигом. При изменении сжимающего напряжения — <goi^> от нуля до некоторого предела остается в силе критерий (13), в который напряже­ ние >CoiS> надо ввести со знаком минус.

При дальнейшем увеличении сжимающего напряжения меняется ме­ ханизм разрушения слоя: разрушение его принимает вид, типичный не для продольного сдвига, а для поперечного сжатия. В таком случае из критерия (7) с учетом (10) получаем

применим при изменении сжимающего напряжения •Ccri^» до предела

прочности R - ортогонально армированного пластика на сжатие & на­ правлении армирования 1 ;

где Ei модуль упругости ортогонально армированного пластика в направлении 1.

Предельные кривые прочности, построенные по формулам (1 3 )— (1 8 ), для ортогонально (1 : 2 ) армированного стеклопластика показаны на рис. 6 . На рисунке в скобках указаны номера формул, по которым они

построены.

В заключение следует отметить, что изложенный в настоящей работе подход к определению прочности армированных пластиков при комбини­ рованном нагружении по заданным свойствам волокон и матрицы и за­ данной структуре материала позволяет решить и обратную задачу — задачу подбора структуры материала для обеспечения заданной проч­

ности.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Скудра А. А. Прочность спирально армированных оболочек, усиленных в танген­

циальном направлении. — В км.: Механика композитных материалов, 1980, вып. 3,

2.Скудра А. М., Булаве Ф. Я. Структурная теория армированных пластиков. Рига,

1С7/О. 1ДЛL.

3.Скудра А. М., Кирулис Б. А., Захаров А. В. Прочность контакта между волок

УДК 539.4.001:624.073

А.Н. Гузь, Г В. Гузь

КМЕХАНИКЕ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

СКРУПНОМАСШТАБНЫМ ИСКРИВЛЕНИЕМ НАПОЛНИТЕЛЯ

При разработке методов исследования элементов конструкций из композитных материалов наибольшее распространение получил подход, когда в континуальном приближении композитный материал считается однородным и анизотропным (ортотропным) с приведенными свойст­ вами. Практически все исследования, за незначительным исключением, выполнены при указанном подходе, причем значительное большинство разработок выполнено в рамках модели линейно-упругого ортотропного

тела.

Существенные усложнения возникают при разработке методов иссле­ дования элементов конструкций с искривленным наполнителем (арми­ рующими элементами). В этом вопросе, по-видимому, можно выделить два характерных случая.

Первый случай характерен тем, что наполнитель имеет мелкомас­ штабные искривления периодической структуры, период которых зна­ чительно меньше (на порядок и более) наименьшего размера элемента конструкции. При этих условиях влияние искривления наполнителя можно учитывать посредством количественного изменения приведенных свойств композитного материала в рамках континуального подхода. Ме­ тоды определения значений приведенных постоянных в указанном слу­ чае (без учета изменения свойств симметрии анизотропного тела) раз­ работаны в [1—3]. Дальнейшая разработка методов исследования элементов конструкций из композитных материалов с искривленным на­ полнителем в этом случае проводится так же, как и для композитных материалов с наполнителем без искривлений.

Второй случай характерен тем, что наполнитель имеет крупномас­ штабные искривления, которые можно описать периодической функцией с периодом, сравнимым с наименьшим размером элемента конструкции (или большим его). В этом случае необходимо при континуальном под­ ходе разрабатывать методы исследования для тел с криволинейной ани­ зотропией.

В настоящей статье рассмотрим некоторые вопросы разработки ме­ тодов исследования элементов конструкций из композитных материалов с искривленным наполнителем, свойства которых в континуальном при­ ближении можно описать в рамках модели цилиндрически-ортотропного тела. Предполагается, что центр ортотропии лежит вне области, занятой телом; в связи с этим в декартовой системе координат, связанной с те­

лом, приходим к задачам для неодно­ родных анизотропных тел, привлекая обычную технику пересчета упругих постоянных [4, 5]. Для рассматривае­ мых задач теории упругости неодно­ родного тела, как и для других задач

-механики неоднородных тел [6—8], посредством применения метода ма­ лого параметра сформулированы соот­ ветствующие задачи для однородного тела в каждом из приближений. Рас­ смотрен также пример, иллюстрирую­

щий существование исследуемых эффектов.

1. Основные соотношения. В декартовых координатах Xj рассмотрим цилиндрическое тело из композитного материала, которое в плоскости поперечного сечения х3 = const занимает область D (рис. 1). Будем счи­ тать, что наполнитель композитного материала (армирующие элементы) слегка искривлен одинаковым образом (вставка на рис. 1), так что с определенной степенью погрешности можно считать армирующие во­ локна или слои расположенными вдоль окружностей цилиндрической системы координат (г, 0,хз), ось которой расположена на достаточном удалении от области D. Обозначим через L расстояние до оси цилиндри­ ческой системы координат от начала декартовой системы координат; че­ рез 2а — наибольший размер области D\ декартовы координаты Xj бу­ дем считать безразмерными, отнесенными к а. При континуальном опи­ сании деформирования композитного материала в рассматриваемом слу­ чае можно его считать цилиндрически ортотропным в системе координат (г, 0, JCз). В дальнейшем ограничимся случаем линейно-упругого ортотропного тела, тогда в системе координат (г, 0,x3) можем записать [4, 5] соотношения упругости в следующем виде:

Отг==А\\&гг+А\2&вв+А\3г33; а0з=Л44уе3; Л44= С 2з; аее= Л128гг+Л22ее0+ + Л2збзз; вгз — А$5Угз\ ^ 55= G I3;

033= л 138rr+ л23В00+ Аззезз; 0г0=ЛббУ/-0; Лб6= G12; 703= 2803; угз= 2егз; уГ0 = 2еГ0.

Исследование задач для рассматриваемого тела удобно проводить в декартовых координатах Xj. В этом случае, например, линейные уравне­ ния движения, граничные условия в напряжениях на части поверхности S1 и граничные условия в перемещениях на части поверхности S2 имеют вид

доц

—— -р й ; = 0; xu^D) щац = Ру, *A& SI; Uj=f3; xh^ S 2. (1.1) QX\

В (1.1) через tii обозначены орты нормали к поверхности S\. Введем в этих же координатах — составляющие тензора деформаций Грина. При использовании выражений (1.1) соотношения упругости также не­ обходимо записать в системе координат {х\,х2, х3). Используя обычную технику перехода к новой системе координат [4, с. 77—79; 5, с. 39—44], в системе координат (х\, х2у х3) получаем соотношения

011 =А'\\Ъ\\ +Л/12822 + Л/1з8 зз+ 2 Л/16812; СГ22 = Л'^бп + Л/22822 +Л'2зеЗЗ +

+ 2Л/2б812^ 033= Л/1з8ц + Л'23822+ Л'33833+ 2Л'36812; 023= 2Л'44823+ 2Л'45813*, 013= 2Л'45623+ 2Л'55813; 012 = Л'16811+ Л'26822+ Л'36833+ 2Л'ббб12. (1.2)

Учитывая результаты [4, 5], выразим величины А'ц через величины Ац и угол ср. Заметим, что в [4, 5] приведены выражения для пересчета ве­ личин a,ij — констант податливости материала [4]; здесь же приведем выражения для пересчета величины Ац — констант упругости мате­ риала [4]. В результате получаем

Л,ц=Лц cos4 ф+ 2(Л12 + 2С12) (sin ф cos ф)2+Л22 sin4 ф; Л'22= Лп sin4 ф + + 2 (Л12+2Gi2) (sin ф cos ф)2+Л 22COS4 ф; Л '12= (Л12+Л 22—2Л12 —4G12) X

Заметим, что выражения [4. 5] для пересчета величин а7-7- несколько от­ личаются от выражений (1.3) для пересчета величин Ац; объяснение этого изложено в [4].