Механика композитных материалов 4 1982

Уравнение равновесия для ортотропной пластины с жесткостными параметрами, претерпевающими разрывы однородности, имеет вид

Здесь Dxv= Dx\i2 + 2Du. Функцию, аппроксимирующую нормальный про­ гиб W, будем искать в виде двойного тригонометрического ряда:

оооо

Выбор способа аппроксимации W в виде (4) обусловлен следующими соображениями. Функция (4) удовлетворяет как статическим, так и гео­ метрическим граничным условиям на внешнем контуре пластины.

Введение сплошной модели делает необязательным удовлетворение граничным условиям на контуре выреза. Следует также отметить, что правомерность использования аппроксимации W в форме (4) для ап­ проксимации функции прогиба пластины с отверстием подтверждается результатами экспериментов работы [3], которые показывают, что форма срединной поверхности пластины с отверстием после потери устойчивости мало отличается от формы потери устойчивости сплошной.

Решение уравнения (3) ищем методом Бубнова. Вводя в уравнение

не равны нулю, если (т ± р ) и (n ± q ) принимают нечетные значения.

В результате интегрирования получаем систему линейных алгебраи­ ческих уравнений относительно коэффициентов Атп:

АрдВ{ (р-,ф Ф1{Р\Я) + ЕЕ АтпФг{т\ n; р; q) =

Здесь (m±p) и (га±р) — нечетные. В системе (5) использованы сле­ дующие обозначения:

А\\Фг+^12 ^ ФгН— д- *5кр j +Л 21(-S1Ф1+ Фг) +Л 22Ф2 = 0;

А ц ^ Ф2----g- SKр j +An®2+A2i®2+A22(Bi®i + Ф2) =0.

Приравнивая нулю определитель этой системы, получаем уравнение от­ носительно критической нагрузки SKp.

В качестве иллюстрации рассмотрим прямоугольную шарнирно опер­ тую пластину с вырезом, выполненную из материала СВАМ 10: 1. Пусть размеры этой пластины будут а = 0,2; Ь = 0,1; /г = 0,002 м. Параметры ма­ териала: £ х=198; £^ = 400; G = 71,5 кПа; рц = 0,222; pi2 = 0,110. Расчеты, выполненные «на руках» для пластины с вырезами различной площади, дают результаты, представленные в таблице и на рис. 2. Расчеты выпол­ нялись приближенно с учетом наиболее весомых членов системы (6).

В случае квадратной изотропной пластины без отверстия системы (6) дает следующий результат. Имеем: х\=х2 = у\ = у2; Dxo = Dyo = Dxyo=DQ\ a = b. В этом случае Ф2 = 0 при

любых индексах m, n, р, q\ Ф* =

кивание» оболочки вовнутрь и в конечном итоге образуется ряд кольце­ вых поясов вмятин и выпучин. В [7] методика расчета, разработанная в этих работах, была обобщена на случай однородных ортотропных оболочек. Отметим, что результаты в перечисленных работах приве­ дены лишь для двух типов условий закрепления торцов — жесткого защемления [5] и шарнирного опирания [2, 3, 6, 7].

В настоящей работе поставлены три основные цели. Во-первых, ис­ следовать применимость различных возможных типов уравнений дви­ жения (безмоментных, линейных моментных, уравнений нелинейного динамического краевого эффекта) для расчета осесимметричного на­ пряженно-деформированного состояния цилиндрической оболочки при осевом ударе. Во-вторых, проанализировать краевой эффект при раз­ личных видах граничных условий на торцах и установить расположе­ ние зон наиболее опасного выпучивания. В-третьих, путем послойного анализа прочности с использованием тензорно-полиномиального крите­ рия исследовать местоположение первой зоны разрушения и время до первого разрушения слоя в зависимости от скорости нагружения, усло­ вий закрепления торцов и структуры многослойного пакета оболочки.

1. Краевой эффект в цилиндрической оболочке при осевом ударе.

Рассмотрим ортотропную* круговую цилиндрическую оболочку длиной L, толщиной Л, радиусом срединной поверхности R. При описании на­ пряженно-деформированного состояния будем исходить из гипотез Кирхгофа—Лява и обобщенного закона Гука для ортотропного мате­ риала. Приведем возможные варианты уравнений осесимметричного движения, расположив их в порядке усложнения:

где и — осевое перемещение; w — прогиб; до0 — начальный прогиб; Nx, Ny — осевое и кольцевое усилия; р — масса единицы поверхности оболочки; Cij — жесткости ортотропного пакета [8]; штрихом обозна­ чена производная по координате х вдоль образующей. Используя (1) и (3), уравнения движения можно записать в усилиях:

где Dn — изгибная жесткость пакета [8]; связь между усилиями и перемещениями устанавливается формулами (2). После несложных преобразований система (5) может быть записана относительно про­ гиба и осевого усилия:

XNx+ C nNx"-

* Неортотропные оболочки рассмотрены в п. 3.

3) простейший вариант уравнений с геометрической нелинейностью можно получить, добавив во вторые уравнения (5) и (6) нелинейный член (Nxw')'\

4) дополнив систему (7) нелинейными соотношениями между уси­

придем к уравнениям, которые по аналогии с соответствующими урав­ нениями в статическом случае [9] будем называть уравнениями нели­ нейного динамического краевого эффекта. Подставляя (9) в (7), по­ лучаем

Си ( к '+ i » " ) -

Уравнения безмоментной теории будут интегрироваться в перемен­ ных Nx, Ny\ линейные моментные уравнения (6), а также уравнения

(8) — в переменных Nx, до; уравнения нелинейного динамического краевого эффекта (10) — в переменных и, до. Остальные неизвестные функции могут быть для каждого из случаев определены по формулам (3), (2) и (3), (9) соответственно.

В дальнейшем будут рассмотрены следующие шесть типов гранич­ ных условий на торцах оболочки:

Численное интегрирование всех приведенных вариантов уравнении движения проводилось по продольной схеме метода прямых. Входящие в уравнения и граничные условия дифференциальные операторы по пространственной координате аппроксимировались соответствующими конечно-разностными операторами, в результате чего исходная смешан­ ная краевая задача сводилась к задаче Коши для системы обыкновен­ ных дифференциальных уравнений. Если конечно-разностная сетка по координате содержит N + 2 узла, считая граничные точки л;= 0 и x = L, то получается задача Коши для системы 4N уравнений первого по­ рядка. Особую роль в рассматриваемой задаче играет неоднородное граничное условие Nx\x=0tL= —P(t), которое при решении уравнений

(10)нелинейно и содержит производные от искомых функций. В связи

сэтим при использовании равномерной конечно-разностной сетки это граничное условие аппроксимировалось с четвертым порядком точно­ сти, в то время как уравнения и остальные граничные условия — со вторым. Задача Коши интегрировалась методом Рунге—Кутта четвер­ того порядка. Сходимость вычислительной схемы проверялась измене­ нием числа узлов от N= 99 до N = 299. Для величины скорости нагру­

жения V=5P* (см. ниже) при N=199 и N = 299 были получены практически совпадающие результаты. Численные расчеты для этой ско­ рости (а также для более высоких скоростей) проводились при N = = 199. Для V= P* оказалось необходимым принять N=^299.

В качестве примера рассмотрим оболочку из однонаправленного

Осевое сжимающее усилие на торцах будем считать линейно растущим

во времени. Введем безразмерное время т = ^ -, где с= |/ —^ — скорость

продольной волны сжатия в оболочке; тогда Р(%) = Vx. Скорость на­ гружения V можно задавать через эйлерово критическое усилие, рав­ ное для рассматриваемой оболочки Р*= 0,265-Ю6 Н/м. В дальнейшем, если это не оговорено особо, принимаем V=5Р*.

Рассмотрим результаты интегрирования безмоментных уравнений

(4). На рис. 1 приведены зависимости осевого напряжения ox=Nx/h от координаты х в несколько моментов времени. Во-первых, отметим, что расчет точно дает введенную выше скорость распространения волны нагрузки с. Наиболее интересный результат состоит, видимо, в следую­ щем. Вскоре после того, как продольные волны, движущиеся симмет­ рично от обоих торцов, встречаются (при т = 0,25) в середине оболочки, напряжение ох становится весьма слабо зависящим от координаты.

-бхю 8н/м2

--------- U 6 -

Рис. 2. Зависимости прогиба от координаты л: при решении трех типов уравнении

движения.