Механика композитных материалов 4 1982

В случае динамических задач к (2.4) и (2.5) необходимо еще присо­ единить соответствующие динамические граничные или начальные ус­ ловия.

Ввыражениях (2.4) и (2.5) слева (относительно функций с индексом п) соответствующие соотношения полностью совпадают с аналогичными соотношениями для линейно-упругого ортотропного тела с прямолиней­ ной ортотропией. Таким образом, в каждом приближении (относительно величин с индексом п) получаем задачи для линейно-упругого ортотроп­ ного тела с прямолинейной ортотропией, причем правые части каждый раз изменяются за счет учета предыдущих приближений. Величины на­ пряжений и перемещений подсчитываются по (2.1) с учетом (2.3). При указанном методе решения в нулевом приближении получаем задачу, полностью совпадающую с соответствующей задачей для линейно-упру­ гого ортотропного тела с прямолинейной ортотропией. Приведем опера­

торы, которые необходимы для решения задач также в первом и втором приближениях:

Аналогичным образом стро­ ятся дифференциальные опе­ раторы последующих при­ ближений. Заметим, что диф­ ференциальные операторы (2.6) удовлетворяют усло­ виям симметрии AAja(n_w)=

= Njia(n- m).

Соотношения, приведенные в настоящем параграфе, позволяют полу­ чить аналитические решения ряда классов задач, для которых можно построить решения соответствующих задач в случае тел с прямолиней­ ной ортотропией.

3. Пример. В качестве примера рассмотрим задачу об определении напряженно-деформированного состояния прямолинейной пластины, ко­ торая бесконечна в направлении 0 *3, а вдоль осей Oxi и Ох2 имеет раз­ меры 2у и 2 соответственно. Исследуем случай, когда при Х\ = ± у плас­ тина свободна и при х2= =Ы загружена равномерно распределенной на­ грузкой интенсивности р (рис. 2). При рассматриваемом армировании в случае указанной нагрузки должно произойти искривление нейтраль­ ной оси. В связи с этим при х2=±1 также приложим изгибающий мо­ мент, определяемый величиной q (см. рис. 2), и выясним вопрос, какой должна быть величина q (при заданной величине р), чтобы при дефор­ мировании не происходило искривления нейтральной оси? Заметим, что при равномерном сжатии искривление оси вызывается только искривле­ нием наполнителя, в связи с чем целесообразно в изгибающий момент внести множитель е, определяющий искривление наполнителя. Исследо­ вание выполним в рамках плоской деформации в плоскости Х\Ох2. Учи­ тывая изложенное и рис. 2, приходим к задаче для прямоугольника, на границе которого заданы следующие граничные условия:

OuL=±v=0; Oi2L=±v=0; a,aL - ± i=0; °22\ < 31)

Требуется при заданном р определить величину q таким образом, чтобы выполнялось условие

(3.2)

В соответствии с (2.3) для случая плоской деформации х{Ох2 получаем два уравнения в п-м приближении:

(3.3)

В соответствии с (2.3) и (3.1) получаем следующие граничные условия в ti-м приближении:

Заметим, что в первом приближении из условия (3.2) получаем условие

Решение задачи (3.8) и (3.9), удовлетворяющее условию (3.10), будем искать в виде

Подставив (3.11) в систему уравнений (3.8) и граничные условия (3.9), получаем систему уравнений для определения постоянных Сi и Сг, и также величины q в виде

кривление нейтральной оси не будет происходить, если на концах плас­ тины приложить изгибающий момент, определяемый величиной q (3.13); при этом величина изгибающего момента определяется выражением

М = — [ Лц Л22—12Л2—2 С 12(Л ц + Л i2)]e .

ЗЛц012

Указанный результат получен с учетом нулевого и первого приближе­ ний; учет последующих приближений можно выполнить, следуя методу предыдущего параграфа; все же следует заметить, что в случае малого крупномасштабного искривления наполнителя полученный результат яв­

ляется достаточно точным.

Если при осевом сжатии не прикладывать дополнительно изгибаю­ щий момент, то из изложенных результатов следует, что будет происхо­ дить (даже при незначительных величинах сжимающей нагрузки) ис­ кривление нейтральной оси. В этом проявляется специфический эффект небольшого по амплитуде, но крупномасштабного искривления наполни­ теля. Этот эффект может существенно проявляться в проблеме устойчи­ вости, так как в этом случае уже не будет наблюдаться (даже для та­ ких классических задач) чисто бифуркационной формы потери устойчи­ вости; в этом случае отклонения (возмущения) будут проявляться с самого начала приложения нагрузки и увеличиваться по мере увеличе­ ния сжимающей нагрузки. Аналогичное проявление имеет начальная погибь в механике тонкостенных конструкций применительно к вопро­ сам устойчивости.

Используя подход, изложенный в настоящей статье, можно обнару­ жить еще ряд специфических эффектов, вызванных малым по ампли­ туде, но крупномасштабным искривлением наполнителя в композитном материале.

Выводы. 1. В рамках континуального подхода в механике композит­ ных материалов дана постановка задач в случае малого по амплитуде, но крупномасштабного искривления наполнителя.

2.Предложен метод решения, основанный на идее метода малого па­ раметра, сводящий рассматриваемые задачи к последовательности задач для тел с прямолинейной ортотропией. В рамках модели линейно-упру­ гого тела приведены все соотношения для произвольного приближения.

3.Рассмотрен пример о сжатии пластины, в котором исследован спе­ цифический эффект влияния малого по амплитуде, но крупномасштаб­ ного искривления наполнителя.

1.Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.,

1980. 376 с.

2.Ван Фо Фы Г. А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев, 1971. 220 с.

3.Тарнопольский Ю. М., Розе А. В. Особенности расчета деталей из армированных

пластиков. Рига, 1969. 274 с.

4.Малмейстер А. К Там уж В. П., Тетере Г А. Сопротивление полимерных и ком­

позитных материалов. 3-е изд., Рига, 1980. 572 с.

5. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М., 1977. 416 с.

6. Колчин Г Б. Плоские задачи теории упругости неоднородных тел. Киши­

нев, 1977.

7.Ломакин В. А. Теория упругости неоднородных тел. М., 1976. 368 с.

8.Саркисян В. С. Некоторые задачи математической теории упругости анизотроп­

ного тела. Ереван, 1976. 534 с.

Киевский технологический институт легкой промышленности

УДК 539.4:624.073

В. Ю. Сирюс, Г. А. Тетере

МИНИМИЗАЦИЯ МАССЫ ПЛАСТИНКИ из композитов С УЧЕТОМ ПОЛЗУЧЕСТИ МАТЕРИАЛА

Исходная форма реальной пластинки отличается от идеальной и не лишена разного рода начальных несовершенств, таких, как начальные прогибы, неоднородность материала, несовершенства граничных усло­ вий и др.; все эти факторы отнесем к начальным неправильностям пластинки. Главной особенностью армированных пластиков является анизотропия их деформационных свойств, низкая сдвиговая жесткость как в плоскости слоев армирующей ткани, так и между слоями. Вслед­ ствие этого нормаль элемента в процессе деформации искривляется, и для описания потери устойчивости необходимы применение уточнен­ ных теорий и рассмотрение потери устойчивости как процесса нара­ стания прогибов. Уточненные теории позволяют также рационально использовать пространственные схемы армирования [1].

1. Рассматривается ортотропная прямоугольная вязкоупругая пла­ стинка из композита, сжатая с двух сторон (рис. 1), с начальными прогибами. Характеристики плоских и пространственных схем армиро­ вания и вязкоупругость учитываются согласно [2, 3]. Для исследова­ ния пластинки с вязкоупругим связующим учитывается деформация поперечных сдвигов (кинематическая модель типа Тимошенко) и прини­ мается, что ползучесть развивается не только в плоскостях, перпенди­ кулярных срединной поверхости, но и в плоскостях армирования и подчиняется закону линейной наследственности. В таком случае физи­ ческие соотношения записываются в следующей форме:

02—^21^1+^22^2“ j*#2l(^“0)ei(0)d0—J/?22^“0)£г(0)^0; (1)

о

ьгде t — время под интегралом, обозначен­ ное через 0 . Согласно принятой модели деформирования пластинки геометри­ ческие связи между деформациями эк­ видистантной и срединной поверхностей

представляются следующими выраже­ ниями [4]:

начальными прогибами.

в плоскостях хг и yz.

Рассмотрим устойчивость во времени ортотропной прямоугольной пластинки, сжатой с двух сторон постоянными усилиями р и Хр (X — коэффициент пропорциональности сжимающих усилий). Допустим, что пластинка имеет начальную неправильность формы, характеризуемую прогибом wQ(xyy). Поскольку движение при ползучести материала до­ статочно медленное, силами инерции пренебрегаем. В таком случае уравнения равновесия дифференциального элемента пластинки имеют вид

Для решения краевой задачи применяется метод Бубнова—Галеркина. Неизвестные функции представляются через неопределенные пара­ метры аппроксимации так, чтобы разложения удовлетворяли гранич­ ным условиям шарнирного опирания в каждый момент времени. Тогда

Прйнимая, что форма начального волнообразования находится «в резонансе» с формой ее волнообразования после нагружения сжимаю­ щими силами р и Хру для функции начального прогиба w0(xyy) имеем выражения вида (3), в котором *i(/) заменено на /°; последнее интер­ претируется как безразмерная амплитуда начального несовершенства пластинки.

Изгибающие моменты МХу Муу крутящий момент Н и перерезываю­ щие силы Ох и Оу вычисляются обычным образом и после подстановки их в (2) и интегрирования полученной системы методом Бубнова—Га­ леркина находим систему, состоящую из трех линейных интегральных

Решая систему (4), при экспоненциальных ядрах получаем систему линейных дифференциальных уравнений

x(x)=B-'[E-Dx(%)]. (5)

Здесь Ву D — постоянные симметричные матрицы, элементы которых содержат соответственно мгновенные и длительные параметры ма­ териала; х(т)Т= {х\ (т), х2{т)УХз(т)} — вектор неизвестных парамет­ ров аппроксимаций; матрица Е считается заданной и зависит от вели­ чины начального прогиба; точка означает дифференцирование по без-

размерному параметру времени т = t/r (г — время релаксаций напря­ жений). Представим элементы матрицы В в виде

К2

Bn =p(a2 + K^2) —h(A55a2+ A ^ 2); B\2 = hA^(x; £22= — “ (Лца2 +

h2

+ ^ 6бР2) -^55» ^13= ^44Pi £зЗ = —"У2"(^22р2 + ^ 6ба2) —Л44*,

h2

^23= —J2 (^12 + ^ 66)a P*

Чтобы получить элементы матрицы £, достаточно заменить в матрице В мгновенные жесткости материала длительными. Матрица Е содер­ жит всего один ненулевой элемент, Ei = B{\f°.

2. Рассмотрим несколько возможных структур армирования плас­ тинки и их сочетания [1]. S\ — пространственно-хаотическое армиро­ вание; S2 — армирование вдоль пространственных диагоналей куба;

S3 — плоское армирование под углом 0° к оси Ох; 54 — плоское арми­ рование под углом ±45° к оси Ox; S5 — плоское армирование под углом 90° к оси Ох. Отметим, что применение пространственных схем армирования не только повышает устойчивость, но в ряде случаев су­ щественно увеличивает прочность материала на поперечный сдвиг и межслойный отрыв, что предотвращает преждевременное рассслоение материала конструкции. Были приняты следующие упругие парам-етры исходных материалов: £ а = 4000000 кгс/см2; va = 0,2; £0 = 30000 кгс/см2; vc = 0,4; ра= 2,6 г/см3; рс=1,2 г/см3. Если принять следующие значения характеристики вязкоупругости связующего [3]: а = —0,5: А,с = 0,2дни-0’5; р.с= 0,05 дни-0»5, то технические характеристики связующего при t-*~oo принимают следующие численные значения [3]: £,соо = 6000 кгс/см2; vc°° = = 0,48. Система (5) решалась с применением метода Рунге—Кутта чет­ вертого порядка. Представим численные результаты решения системы

(5) для пластинки с размерами а = Ь= 100 см, h= 2 см. В результате решения системы получаем значения неизвестных параметров аппрокси­

После решения системы (6) для определенного уровня нагрузки полу­ чаем начальные значения неизвестных хг(т) (/= 1, 2, 3).

Рис. 2. График изменения прогибов квадратной пластинки с оптимальной структурой

армирования во времени в зависимости от модели учета ползучести материала. По­ яснения в тексте.

Пусть на пластинку со структурой армирования 54 и амплитудой начального прогиба /° = 0,1 действует сжимающая сила р = 1300 кгс/см. На рис. 2 представлены графики изменения амплитуды во времени в зави­ симости от принятой модели учета ползучести материала. Кривая 1 — общий случай согласно (1); кривая 2 — ползучесть в плоскости арми­ рования не учитывается; кривая 3 — учитывается ползучесть только от напряжений а4, as; кривая 4 — классическая теория. Если сжи­

случае неприменима. Аналогичные кривые были построены и при дру­ гих схемах армирования, в том числе и пространственных.

мгновенная критическая нагрузка для идеальной пластинки). Из ри­ сунка видно, если нагрузка р<р°° (р°° — длительная критическая на­ грузка), то прогибы стабилизируются во времени (кривые 1—5). При нагрузках р°°<р<р0 прогибы растут с увеличивающейся скоростью (кривые 6, 7). Если р = р°, то сразу после приложения нагрузки пла­ стинка теряет устойчивость. В данном примере длительная критическая нагрузка на 11% ниже мгновенной.

На рис. 4 представлены графики изменения амплитуды прогиба пластинки со структурой армирования S4 во времени в зависимости от значения амплитуды начального прогиба /°. В этом примере р = = 1200 кгс/см2. Если за критическое время т* принять время, при ко­ тором прогибы достигают заданное значение /*, то из рис. 4 видно, что на величину критического времени значительно влияет амплитуда на­ чальных неправильностей. Поэтому при теоретической оценке крити­ ческого времени необходим, возможно, более точный их учет.

Здесь G(u) =а6[рра+ (1 —р,)рс]Л — масса пластинки; ра, рс — плот­ ности материала арматуры и связующего; С — множество допустимых реализаций проекта пластинки; ф(и) — совокупность геометрических ог­ раничений, состоящая в данной задаче из неравенства вида: /i —

%(и) — совокупность структурных ограничений вида 0 / ^ 0; 1—0 / ^ 0;

JV-1

k= 1, 2 ,..., N —1; 1 —2 0 /^ 0 ; ф(м) — совокупность физических ограни-

Зависимости параметров оптимального проекта пластинки от времени эксплуатации

и*

f* — заданное значение прогиба; тэ — время эксплуатации системы. Сформулированная задача оптимизации (7) является задачей нелиней­ ного программирования с линейной функцией цели, линейными геометри­ ческими и структурными ограничениями и нелинейными ограничениями на устойчивость и принадлежит классу задач выпуклого программирова­ ния, поскольку f(n,m,u) — псевдовыпуклые функции (рис. 5). Для ре­ шения данной задачи использовался алгоритм [5].

Задача (7) была численно реализована при сжимающем усилии р = 800 кгс/см, амплитуде начального прогиба /°= 0,1 и предельном зна­

проекта пластинки от времени эксплуатации тэ. Доминирующей струк­ турой остается армирование под углом ±45° к оси Ох. Если время эксплуатации конструкции увеличивается, то запрос арматуры для схемы S4 до некоторого времени эксплуатации уменьшается, а потом уходит на асимптоту.

и здесь остается плоское армирование под углом ±45° к оси Ох. Видно, что с ростом времени эксплуатации системы уменьшается доля арматуры, расположенной по плоской схеме армирования S4, и растет доля арматуры для пространственных схем армирования Si и S2. При срав­ нении результатов оптимизации и использования плоского и простран­ ственного армирования при одинаковых временах эксплуатации видно (см. табл.), что масса пластинки почти та же, но во втором случае имеем выигрыш в арматуре (Va, см3) примерно! на 22%.

Надо отметить, что в оптимальных проектах рост прогиба всегда имеет незатухающий характер.