2. Крегер А. Ф., Мелбардис Ю. Г Определение деформируемости пространственно

армированных композитов методом усреднения жесткостей. — Механика полимеров, 1978, № 1, с. 3—8.

3.Крегер А. Ф., Тетере Г А. Применение методов усреднения для определения

вязкоупругих свойств пространственно армированных композитов. — Механика ком­ позитных материалов, 1979, № 4, с. 617—624.

4.Зилауц А. Ф., Крегерс А. Ф., Лагздинь А. Ж., Тетере Г. А. Расчет упруго­

пластических деформаций при сложном нагружении. — Механика композитных мате­ риалов, 1981, № 6, с. 987—992.

5. Крегерс А. Ф. Неполиномиальные формы описания физической нелинейности

вязкоупругих материалов. — Механика композитных материалов, 1980, № 5,

с.783—792.

6.Моденов П. С. Аналитическая геометрия. М., 1955. 564 с.

7.Kreider К., Marciano М. Mechanical properties of borsic aluminium composites. —

Trans. Metallurg. Soc. AIME, 1969, vol. 245, p. 1279— 1286.

8. Крегерс А. Ф. Алгоритм отыскания экстремума функции многих переменных

методов спуска. — Алгоритмы и программы, 1974, № 2, с. 9.

пряжения от объемного содержания связующего V/ оказывается отлич­ ной от той, которая предсказывается формулой (1.1). Кроме того, про­ является заметная зависимость предельного напряжения сжатия от ме­ ханических свойств матрицы.

Промышленные волокна обладают относительно низким сопротивле­ нием сжатию. Это особенно относится к органическим волокнам фибрил­ лярной структуры, которые имеют низкую прочность и жесткость при сдвиге. Разрушение большинства технических композитов при сжатии сопровождается изломом волокон, а конечная картина разрушения (рис. 1—б) похожа на то, что мы наблюдаем при испытании деревян­ ных кубиков на сжатие вдоль волокон. Поверхность скалывания может составлять с направлением нагрузки различные углы в зависимости от свойств композита. Часто наблюдают скалывание под углами порядка 45°. В других случаях разрушение сопровождается сильным расслоением волокон и даже расщеплением образцов по вертикальным плоскостям (рис. 1—в). Разрушающее напряжение сжатия при этих типах разруше­ ния в первом приближении можно оценить по «правилу смеси»:

(Em/Ef)]~Vjd*f.

Здесь о*/ — предельное напряжение сжатия для волокон; Ет — модуль Юнга матрицы. При этом предполагают, что как волокна, так и мат­ рица остаются упругими вплоть до разрушения, а предельные деформа­ ции матрицы достаточно велики. Кроме того, принимают, что £ m/£/<Cl.

Экспериментальные данные испытаний на сжатие обнаруживают до­ вольно значительный разброс. Обычно это объясняют несовершенством методов испытаний, стремясь разработать такие методы, при которых разброс был бы минимальным [6—8]. Остается открытым вопрос о том, какая доля разброса должна быть отнесена за счет несовершенства ме­ тода испытаний, а какая доля органически присуща явлению разруше­ ния композитов при сжатии. Поскольку при испытаниях на сжатие об­ наруживается также и масштабный эффект (исследованный, правда, в очень узком диапазоне размеров), то это еще раз подчеркивает необ­ ходимость теоретического анализа механизмов повреждения и разруше­ ния композитов при сжатии с применением вероятностных моделей.

Сжатые элементы конструкций имеют обычно достаточно большую гибкость, так что для них вопрос о прочности композита при сжатии, как правило, является второстепенным. Этот вопрос более важен для изгибаемых элементов, поскольку низкое сопротивление в сжатой зоне может лимитировать несущую способность элемента при изгибе. Уже при достаточно низких уровнях нагрузки в сжатой зоне могут возникать нарушения сплошности, трещины и т. п. повреждения, приводящие к нарушениям герметичности, снижению жесткости при поперечном сдвиге и другим нежелательным явлениям. Основным источником этих повреждений служат врожденные технологические дефекты, к числу ко­ торых в первую очередь относятся отклонения волокон от идеальной прямолинейной формы. По мере роста нагрузки эти отклонения растут, вместе с ними растут напряжения сдвига в матрице, которые при до­ стижении определенного уровня приводят к разрушению материала матрицы или границы матрица—волокно. Для суждения об уровне сплошности композита нужно иметь представление о том, какую часть общей длины волокон составляют участки волокон с нарушенной гра­ ницей. Необходимо уметь оценивать максимально возможные при дан­ ном уровне нагрузки длины расслоений, чтобы их можно было сравнить с некоторыми предельно допустимыми или критическими размерами. Представляет интерес также оценить плотность изломов волокон, начи­ ная с которой можно ожидать разрушения образцов со скалыванием по некоторым наклонным поверхностям.

Сформулированные задачи достаточно сложны, хотя их можно рас­ членить на отдельные задачи, допускающие строгую постановку, анали­ тическое или численное решение. В данной статье эти вопросы рассмат-

рйваются на физическом урбвне строгости. Аналогичный подход был применен ранее к анализу разрушения однонаправленных композитов при растяжении [9]. В основу положена модель композита, которая рас­ сматривалась в [10] в связи с задачей об оценке влияния начальных неправильностей на эффективные упругие постоянные слоистых компо­ зитов (см. также книгу [11]). Небольшое видоизменение модели позво­ ляет применить ее к волокнистым композитам с погрешностью, имею­ щей порядок погрешности соотношения

Большинство приводимых ниже соотношений дает лишь оценку порядка величин, позволяя сделать выводы качественного характера.

2.Рассмотрим однонаправленный волокнистый композит со слегка

искривленными волокнами (рис. 2). Примем, что отклонения оси каж­ дого волокна от идеальной формы представляют собой реализации слу­ чайной функции координаты лс, отсчитываемой вдоль оси. Будем счи­ тать, что соседние или близкие волокна искривлены почти эквидистантно; это означает, что отклонения Wo, вообще говоря, зависят также от по­ перечных координат у и z. Поэтому поле искривлений будем описывать при помощи функции Wo(x,y>z), полагая, что по отношению к аргумен­ там у и z эта функция изменяется достаточно медленно по сравнению с ее изменением вдоль оси волокон. При рассмотрении локальных явле­ ний будем трактовать у и z как параметры, опуская, как правило, знак функциональной зависимости от этих аргументов. Материал волокон бу­

дем считать линейно-упругим с модулем Юнга £/ вплоть до разрушения, а материал матрицы — идеальным упругопластическим с модулем сдвига Gm и предельным напряжением сдвига х*т. Последнее можно трактовать как предел текучести материала матрицы, как предельное напряжение на границе матрица—волокно, как напряжение трения или, наконец, как некоторое.предельное напряжение, характеризующее взаи­ модействие матрицы и волокна. В начальном состоянии сцепление между волокнами и матрицей будем считать идеальным, полагая, что малые трещины и дефекты уже учтены в макроскопической характеристике т*т . Ограничим рассмотрение такими композитами, для которых выполнено условие (1.3), а также Gm<^Ef. Тогда при качественных оценках можно не делать различия между номинальными напряжениями в волокнах и номинальным напряжением сжатия в композите.

Будем считать функцию w0(x) однородной с математическим ожида­ нием, равным нулю, и допускающей представление в виде стохастиче­ ского интеграла Фурье

Здесь Wo(k) — обобщенная случайная функция вещественного пара­ метра k (волнового числа). Эта функция связана со спектральной плот­ ностью SWo (k) функции Wo(x) соотношением

где угловые скобки обозначают операцию взятия математического ожи­ дания, а звездочка — переход к комплексно сопряженной величине. Мы предполагаем, что функция Wo(x) по крайней мере дважды дифферен­ цируемая, так что интегралы

существуют. Первый из них имеет смысл среднего квадрата угла на­ клона оси волокна к оси Ох, второй — среднего квадрата кривизны оси. Отношение Яю= лфо/х0 имеет смысл характерной длины полуволны на­ чальных неправильностей. При сделанных допущениях дополнительные перемещения оси рассматриваемого волокна после приложения нагрузки мы можем также рассматривать как реализацию однородной случайной функции w(x). Представим эту функцию также в виде (2.1)

оо

—оо

Если перемещения малы, то между функциями W(k) и Wo{k) имеет место линейное соотношение

Вид функции Н (k) зависит от выбранной модели композита. Возьмем простейшую модель, аналогичную модели слоистого композита со слу­ чайными начальными неправильностями [10]. При этом

где г — радиус волокон; а — номинальные сжимающие напряжения в волокнах. Первый член в знаменателе формулы (2.6) учитывает изгибную жесткость волокна, второй — сопротивление матрицы сдвигу, тре­ тий — влияние сжимающих напряжений на изгиб волокна. Условие ло­ кальной потери устойчивости волокна получим, полагая H(k)-+-оо. Тогда критическое напряжение

очень длинным волнам, т. е. практически сдвиговой форме потери устой­ чивости волокон. Отсюда приходим к известной оценке (1.1).

3. Используя соотношения (2.1) —(2.7), вычислим приближенные значения вероятностных характеристик поля касательных напряжений х(х) на границе матрица—волокно. Имеет место оценка для характер­ ного касательного напряжения т ~ (1 —Vf)~lGmdw/dx. Отсюда х(х) — однородная случайная функция координаты х. Представим эту функцию

в виде

оо

T (X) = J r (k)eihxdk.

—оо

Для обобщенной случайной функции Т (к) получаем выражение

Т (k) &ik{ 1 - 1 » /)GmH (k)Wo(k),

где использовано обозначение (2.6). Отсюда, используя соотношение типа (2.2) для функции T{k), найдем спектральную плотность Sx(k) функции х(х):

Если использовать обозначения для критических напряжений (1.1), то формула (3.1) примет вид

Выражение в квадратных скобках характеризует вклад начальных неправильностей различной длины в величину касательных напряжений. Это выражение достигает максимального значения при £2 = 4(а*° —а)/ l(r2VfEf). В терминах длин полуволн K = n/k эта формула записывается так:

Здесь Хс — параметр, имеющий порядок характерной длины краевого эффекта в композите [1] или характерной длины передачи [2, 3]

Из формулы (3.3) следует вывод, что при малых a<Cicr*0 наиболее опасными с точки зрения нарушения связи между волокнами и матри­ цей являются такие неправильности, характерная длина полуволны ко­ торых имеет порядок Хе (разрушение волокон до сих пор не вводилось в рассмотрение). С увеличением а наиболее неблагоприятные размеры неправильностей увеличиваются, неограниченно возрастая, когда напря­ жение приближается к критическому напряжению а*0, соответствую­ щему чисто сдвиговой форме потери устойчивости. В этом смысле корот­ коволновые неправильности могут приводить к повышению прочности при сжатии, если обеспечена достаточная прочность на сдвиг материала матрицы и границы матрица—волокно.

Среднеквадратичное значение касательного напряжения sx и средне­ квадратичное значение si первой производной от функции х(х) даются формулами типа (2.3):

Эти формулы имеют смысл при а<сг*0. Исключением будет случай, когда спектр начальных неправильностей таков, что SWQ (k)==0 при

\k\ >k0, где k0 — некоторое положительное число. Тогда область при­ менения формул будет a<a*(£o). Если все неправильности сосредото­ чены в достаточно узком диапазоне волновых чисел вблизи \k \ =А0, так что функция SWo(k) — быстро изменяющаяся по сравнению с осталь­

ными функциями под знаком интегралов, то имеют место оценки

где ф0 определяем по первой формуле (2.3), а Х0 — характерная длина полуволны начальных неправильностей. Выводы из полученных оценок достаточно очевидны, и мы на них не останавливаемся.

В дальнейшем понадобятся аналогичные оценки для напряжений в волокнах, рассматриваемых как сжато-изогнутые стержни. Обозначим характерное нормальное напряжение в волокне через о\. Для этого на­

В отличие от случая касательных напряжений, выражение в квадратных скобках формулы (3.7) монотонно растет с увеличением k, приближаясь к асимптотическому значению, зависящему от уровня номинальных на­ пряжений а. Как и следовало ожидать, с точки зрения прочности воло­ кон наиболее опасны коротковолновые искривления волокон. В дальней-

шем понадобятся формулы типа (3.5) для среднеквадратичного значения s CTi флюктуационной составляющей 0 \ — а, а также среднеквадратичного

значения ее первой производной. Выпишем оценочные формулы для случая, когда спектр начальных неправильностей сосредоточен в узкой окрестности волнового числа \k\= k0 = n/ko'-

до некоторого значения. При этом в композите возникают и растут струк­ турные напряжения, в частности, характерные касательные напряже­ ния х(х) в матрице и характерные нормальные напряжения 0 \ (х) в во­ локнах. Рассмотрим вначале случай, когда свойства композита таковы, что прочность волокон обеспечена. 'Будем считать отрезок матрицы по­ врежденным, если характерное напряжение х(х) на этом отрезке до­ стигло предельного значения х*т. Пока доля таких отрезков невелика, для получения приближенных оценок можно определять прогибы воло­ кон и напряжения в матрице по выведенным выше формулам, получен­ ным в предположении, что матрица деформируется упруго. За меру повреждения матрицы фт примем отношение суммы длин отрезков во­

ность случайного события.

Если положить, что значения функций начальных неправильностей Wo(x) распределены нормально, то значения касательных напряжений т(л:), линейно связанных с функцией w0(x)y также будут распределены нормально. Соответствующая плотность вероятности имеет вид

где способ вычисления параметра sx дается формулами (3.2) и (3.5), а также (в частных случаях) формулой (3.6). Для меры повреждения матрицы имеем оценку

этого типа является величина средней длины поврежденных отрезков. Чтобы вычислить эту характеристику, найдем вначале математическое ожидание числа выбросов функции т(х) из полосы |т |< т т , отнесенное к единице длины волокна [12, 13]

Способ вычисления характерной длины Ят был указан выше. Для сред­ ней длины отдельных поврежденных отрезков имеем оценку </>~i|WvT, где <•) — знак математического ожидания. Отсюда

Формула (4.1) имеет смысл только при достаточно малой плотности повреждений. Поэтому ее целесообразно упростить, используя асимпто­

График зависимости меры повреждений фт от отношения а/а*° при различных значениях ф0 приведен на рис. 4. Штриховые линии соответ­ ствуют формуле (4.5). При этом принято, что спектр начальных непра­ вильностей удовлетворяет условиям, при которых применимы формулы (3.6), причем a* (k0) « а*0, т*т /о'*°= 10-2, фО=10~2 (кривая /), 2-10-2 (2) и 5-10“2(5). На рис. 5 представлен график для (1)/Хо, построенный по формуле (4.4) при тех же данных и тех же значениях ф0.

Чтобы применить эти характеристики для оценки надежности, нужно иметь нормативные (предельно допустимые) значения для фт и </>. При детерминистически заданных нагрузках обе характеристики — детерми­ нистические. Тогда понятие надежности трактуется в смысле обычной методики коэффициентов запаса.

5. Сформулируем один из возможных подходов к оценке вероятност­ ной надежности при сжатии. Будем называть отказом сжатого элемента из композита такое состояние, при котором в элементе появится хотя бы одно повреждение матрицы, длина I которого достигает предельного зна­ чения /*. Последнее может быть интерпретировано, например, как кри­ тический размер продольной трещины при других расчетных сочетаниях

нагрузок. Таким образом, показатель надежности R сжатого элемента вводится через вероятность

где V — объем элемента. Определение показателя надежности в форме (5.1) вводит в рассмотрение как неоднородность поля начальных не­ правильностей, так и неоднородность поля номинальных напряжений. Необходимо, чтобы рассматриваемый объем V мог быть разбит на под­ объемы Д1/, в пределах каждого из которых поле допустимо аппрокси­ мировать при помощи куска однородного ноля (см. рис. 2).

Для вычисления вероятности в формуле (5.1) найдем распределение длин выбросов функции х(х) из полосы |т| <т*т . Используем извест­ ный результат теории выбросов нормальных случайных процессов [13]. При высоких уровнях т*т для плотности вероятности pi (/) длин выбро­ сов функции х(х) получаем приближенное выражение

Отсюда видно, что длины редких выбросов асимптотически следуют рас­ пределению Рэлея. Соответствующая функция распределения имеет вид

Математическое ожидание числа выбросов на единицу длины из по­ лосы |т |< т ж дается формулой (4.3). Из этого числа доля выбросов, длина которых превышает /*, равна 1 —Fi(U). С учетом формулы (5.2) получаем, что математическое ожидание числа выбросов, длина кото­ рых превышает /*, приближенно определяется как

круглых скобках только второй член. Параметр vi обладает свойством аддитивности по длинам волокон. Если поля номинальных напряжений и начальных неправильностей однородны в некотором объеме V, содер­ жащем волокна с общей длиной L, то математическое ожидание числа повреждений в этом объеме, длина которых превышает /*, будет viL.

Для высоконадежных систем нарушение неравенства /</* является редким событием. Естественно принять, что эти нарушения удовлетво­ рительно описываются вероятностной моделью Пуассона. Тогда для по­

При.этом длина отрезков волокон AL в объеме AV<CV (рис. 2) вычис­ лена как ALttVjAV/(nr2), после чего проведен переход к пределу [12].

Дополнение до единицы показателя надежности R, рассматриваемое как функция номинального напряжения а, есть функция распределения опасного напряжения Е0(о). Если спектр начальных неправильностей не

ограничен по модулю снизу, то это опасное напряжение всегда удовлет­ воряет условию а<сг*°, где а*0 — критическое напряжение (1.1).

6. До сих пор рассматривался случай, когда разрушение волокон ис­ ключено. Теперь рассмотрим противоположный случай. Пусть повреж­ дения матрицы отсутствуют, а композит повреждается исключительно из-за хрупкого излома сжато-изогнутых волокон. Обозначим предельное напряжение сжатия для волокон через а*/, полагая его пока заданной детерминистической величиной. При этом номинальное напряжение о;< <а*/. Число изломов на единицу длины характеризуется математиче­ ским ожиданием va числа пересечений функцией аДл:) снизу вверх уровня а*/. (Аналогично можно учесть разрушения волокон в растяну­ той зоне, что особенно важно для волокон, плохо работающих на растя­ жение.) Используя известные методы [12, 13], найдем, что

где Aai =nsajs a i. Если трактовать любой такой излом как отказ, то в

предположении применимости модели Пуассона получим формулу для показателя надежности типа формулы (5.4):

Оценка (6.2) является чрезмерно осторожной: в композите мы можем допустить определенный уровень повреждений волокон, не приводящий к нарушению целостности. В качестве меры повреждения волокон ф/ введем отношение удвоенной длины передачи к среднему расстоянию между двумя соседними по волокну изломами:

При ф/=1 целостность композита, очевидно, полностью утрачивается. Чтобы была обеспечена целостность, необходимо, чтобы мера ф/ была достаточно мала. Мера (6.3) напоминает аналогичную меру для одно­ направленных композитов, подвергаемых растяжению [9]. Прочность волокон при сжатии, как и при растяжении, имеет статистический раз­ брос. Поэтому предельное напряжение а*/ тоже следовало бы рассмат­ ривать как случайную функцию х. Тогда характеристика типа (6.1) бу­

дет определяться из условия пересечения случайных функций ai (х) и a*f (x).

В действительности в композитах, подвергаемых сжатию, повреждаются как матрица, так и волокна. Чтобы качественно описать это явле­ ние, заметим, что матрица в основном повреждается там, где ось воло­ кон имеет наибольшие углы наклона к направлению номинальных на­ пряжений, в то время как волокна повреждаются прежде всего там, где максимальна кривизна оси. Таким образом, места повреждения матрицы и волокон на ранних стадиях не совпадают (см. рис. 3). Это позволяет подойти к оценке суммарного повреждения, рассматривая эти механизмы как слабо взаимодействующие. Доля общей длины волокон в композите, выходящих из строя вследствие повреждения матрицы, составляет фт , а доля общей длины волокон, выключающихся из работы из-за изломов, есть ф/. С учетом (4.1) и (6.3) получаем формулу

(о*/ —<т)2 2s<j,2 ]•

которая учитывает как повреждение матрицы, так и излом волокон.