Механика композитных материалов 4 1982

2. Моделирование на ЭВМ непосредственно накопления поврежде­ ний в материале требует учета также процессов перераспределения на­ пряжений при разрушении отдельных элементов и их групп.

Согласно разработанным алгоритмам напряжения с разрушившихся элементов о, снимались и перераспределялись на шесть соседних с не­ которым коэффициентом Kf таким образом, что напряжения в элемен­ тах, соседних с разрушившимися (Т>, получают приращение и принимают

Если среди элементов, соседних с разрушившимися, также оказывались разрушенные элементы, то нагрузка KjOi ими не воспринималась и вновь перераспределялась на соседние с тем же коэффициентом, т. е. волокна, соседствующие с разрушенными, получают еще дополнительное прира­ щение напряжений Kfoi [8]. Этот алгоритм повторяется неоднократно, пока напряжения, попадающие на разрушенные элементы, не оказыва­ ются меньше некоторого заданного уровня (учитывая, что /С/<1), опре­ деляемого принятой точностью.

При реализации данного алгоритма все микрообъемы, соседствую­ щие с разрушившимися элементами и их ансамблями, оказываются перегруженными. Перегрузка этих микрообъемов возрастает по мере укрупнения дефектов и зависит от их конфигурации.

Коэффициент Kf -отражает особенности перераспределения напряже­ ний в конкретных материалах, которые отличаются остротой образую­ щихся трещин и релаксационной способностью при различных темпера­ турах. В данной работе не рассматриваются вопросы микромеханики и получения обоснованных значений коэффициентов перегрузки как, на­ пример, в [9]. Заметим, что при /С/= 0 нагрузка с разрушившихся эле­ ментов равномерно перераспределяется на все неразрушенные элементы сечения, и моделируется процесс накопления повреждений в материале при отсутствии взаимодействия между структурными элементами. При Kf= 1/6 нагрузка, перераспределяемая с разрушившихся элементов, пол­ ностью воспринимается соседними. При 0</С/<7б часть нагрузки пере­ распределяется на соседние согласно (7), а часть — равномерно на все оставшиеся элементы. Возможна имитация и более значительных кон­ центраций напряжений (/С/>7б), но в этом случае при перераспределе­ нии напряжений часть элементов, удаленных от очагов разрушения, не­ сколько разгружается. Связано это с тем обстоятельством, что во всех рассмотренных вариантах несущая способность моделируемого сечения сохраняется постоянной, т. е. моделируется испытание материала на дли­ тельную прочность при постоянной растягивающей нагрузке.

3. Моделирование процесса разрушения на ЭВМ начинается с зада­ ния приложенной растягивающей силы. В первоначальный момент вре­ мени во всех микрообъемах действуют одинаковые растягивающие на­ пряжения, из которых формируется двухмерный массив чисел (3 на рис. 2). Локальные значения прочности микрообъемов аВг сравниваются с напряжениями в них аг-, и, если срабатывает силовой критерий (4), то микрообъемы считаются разрушенными. Напряжения с разрушенных элементов а снимаются и перераспределяются (10 на рис. 2). После пе­ рераспределения напряжений вторично проверяется силовой критерий (9, 3, 4 на рис. 2), и так до тех пор, пока прочность всех оставшихся эле­ ментов не окажется выше напряжений в них.

Далее из случайных значений /*, которые вычисляются по (3), в па­ мяти ЭВМ формируется двухмерный массив (5 на рис. 2). Осуществля­ ется поиск элемента с наименьшим временем до разрушения (7 на рис. 2), и при данном фиксированном времени вновь производятся пере­ распределение напряжений с разрушившегося элемента, проверка сило­ вого критерия и т. д. После завершения описанного выше алгоритма формируется новый массив значений tu в связи с тем, что изменились локальные'значения а*. Если среди вновь полученных t\ имеются значе­

ния, меньшие данного фиксированного, то эти элементы также счита­ ются разрушенными к данному моменту испытания (6 на рис. 2). После того, как процесс накопления повреждений при некотором фиксирован­ ном времени заканчивается, из оставшихся элементов снова находится микрообъем с очередным наименьшим временем до разрушения и опи­ санная последовательность операций воспроизводится уже при новом фиксированном времени.

Таким образом, моделируется развитие процесса накопления повреж­ дений в материале как во времени, так и при некоторых фиксированных моментах времени в результате перераспределения напряжений. Моде­ лируемый процесс плавного накопления повреждений на микроуровне, т. е. процесс образования отдельных дефектов, их слияния, образования ансамблей дефектов, как правило, заканчивается лавинным накоплением повреждений, характеризующим или окончательное разрушение мате­ риала, или выход процесса на макроструктурный уровень.

Информация о кинетике разрушения выводится на печать в виде как имитации моделируемого сечения с обозначенными на нем разрушен­ ными элементами, так и в виде данных о количестве разрушенных эле­ ментов, об их концентрации, о количестве и концентрации различных ансамблей дефектов. Для получения информации об ансамблях дефек­ тов в программу был введен блок обсчета дефектов (8 на рис. 2), что позволяет проследить кинетику накопления дефектов разных размеров, выявить закономерности укрупнения ансамблей дефектов как путем под­ растания, так и путем слияния взаимодействующих микротрещин. Про­ грамма NPTT-2.3, моделирующая накопление повреждений в твердых телах, была составлена на языке ФОРТРАН-IV и реализована на ЭВМ БЭСМ-6. Ниже анализируются некоторые закономерности развития раз­ рушения, полученные при моделировании'участка сечения образца, со­ держащего 400 (20X20) элементов.

4. Образование крупных ансамблей дефектов или макротрещин в материале может происходить двумя путями. Первая возможность за­ ключается в подрастании трещины, развивающейся из одного эпицентра. Второй путь состоит в слиянии различных ансамблей дефектов, разви­ вающихся из разных эпицентров. В силу этого при построении кинети­ ческих вероятностных моделей разрушения принципиальное значение имеет качественная и количественная оценки роли таких эффектов, как подрастание микропор, с одной стороны, и, с другой стороны, их слия­ ние в процессе возникновения крупных ансамблей дефектов. Предлагае­ мый подход позволяет сделать такие оценки.

В качестве исследуемого материала была выбрана сталь 1Х2М, тер­ моактивационные параметры которой были получены путем обработки кривых ползучести и длительной прочности в интервале температур 400—550°С [10]. Время окончательного разрушения материала соответ­ ствовало моменту перехода от этапа плавного накопления повреждений к лавинному процессу разрушения элементов на моделируемом участке сечения образца. Результаты моделирования удовлетворительно совпа­ дают с экспериментальными данными по длительной прочности.

На рис. 3 представлена характерная зависимость изменения вели­ чины максимального дефекта в моделируемом сечении (Lmax/^i) по мере накопления повреждений W, т. е. увеличения относительного числа раз­ рушенных элементов. Горизонтальные участки этой зависимости соот­ ветствуют накоплению повреждений без увеличения максимального раз­ мера дефектов и отражают развитие рассеянного или диффузного разрушения. Наклонные участки кривой отвечают накоплению повреж­ дений, вызванному развитием максимального дефекта, и отражают ло­ кализацию процесса разрушения, развитие магистрального дефекта. На приведенной зависимости имеются также вертикальные участки, соот­ ветствующие скачкообразному увеличению размера максимального де­ фекта без роста уровня повреждений. Именно вертикальные участки ха­ рактеризуют процессы слияния микротрещин, растущих из разных эпи­

центров, т. е. возникновения крупных ансамблей дефектов в сечении пу­ тем слияния более мелких.

Анализируя с этих позиций приведенную зависимость (см. рис. 3), можно выделить также определенные стадии развития разрушения. На первой стадии происходит равномерное накопление одиночных дефек­ тов; возникают и более крупные, но исключительно за счет подрастания. Затем наступает стадия, когда развитие максимального дефекта осуще­ ствляется, как правило, за счет слияния ансамблей дефектов, развиваю­ щихся из разных эпицентров. На заключительной стадии процесса про­ исходит рост уже сформировавшегося магистрального дефекта. Таким образом, наличие актов слияния ансамблей дефектов оказывает сущест­ венную роль при переходе от рассеянного разрушения к локализован­ ному. Но эта роль может быть различной в зависимости от таких факто­ ров, как например, степень кооперативности возникающих дефектов или наличия взаимодействия между ними, а также от уровня нагрузки, при которой испытывается материал. На рис. 4 приведены зависимости раз­ мера максимального дефекта от общего уровня повреждений для двух режимов испытаний при относительно высокой (кривая 1) и относи­ тельно низкой нагрузках (кривая 2). Нетрудно заметить, что согласно первой кривой стадия рассеянного разрушения довольно быстро перехо­ дит в стадию развития магистрального дефекта. Связано это с сущест­ венной концентрацией напряжений в микрообъемах, соседних с разру­ шившимися (принимался /С/= 1/6), которая при наличии достаточно высокого уровня нагрузки приводит к тому, что наряду с процессом на­ копления повреждений практически сразу начинается и развитие магист­ рального дефекта. Роль слияния отдельных ансамблей дефектов в этом случае несущественна. Другая картина наблюдается при низком уровне нагрузки. Согласно второй кривой переход от рассеянного разрушения к локализованному осуществляется посредством слияния ансамблей де­ фектов. Заметим, что в случае отсутствия взаимодействия между эле­ ментами, т. е. когда не учитывается концентрация напряжений на эле­ ментах, соседних с разрушившимися, а нагрузка равномерно перераспре­ деляется на оставшееся сечение (/С/= 0), характер зависимости Lmax/^i от W аналогичен кривой 2 на рис. 4 и не зависит от уровня нагрузки, при которой проводится испытание.

Результаты работы с предложенной моделью позволяют дать и чет­ кие количественные оценки влияния процессов слияния различных ан­ самблей дефектов на развитие разрушения. Например, разрушение лишь 12—15% микрообъемов , в моделируемом сечении приводит к слиянию различных ансамблей дефектов. Но, как указывалось, роль этих про­ цессов в возникновении и развитии магистрального дефекта может быть значительно большей. Так, при отсутствии взаимодействия возникающих дефектов вклад процессов слияния в образование максимального

3. Тамуж В. П., Куксенко В. С. Микромеханика разрушения полимерных материа­

лов. Рига, 1978. 294 с.

4. Журков С. Н., Куксенко В. С., Слуцкер А. И. Образование микроскопических

трещин в полимерах под нагрузкой. — Физика твердого тела, 1969, т. 11, № 2,

с.296—307.

5.Бетехтин В. И., Савельев В. И., Слуцкер А. И. Особенности рассеяния рентге­

новских лучей под малыми углами в поверхностных слоях деформированных метал­ лов. — Физика металлов и металловедение, 1974, т. 37, № 1, с. 224—227.

6. Петров В. А. О механизме и кинетике макроразрушеиия. — Физика твердого

тела, 1979, т. 21, № 12, с. 3681—3686.

7.Копьев И. М., Овчинский А. С. Разрушение металлов, армированных волокнами.

М, 1977. 240 с.

8.Овчинский А. С., Немцова С. А., Копьев И. М. Математическое моделирование

процессов разрушения композитных материалов, армированных хрупкими волокнами. — Механика полимеров, 1976, № 5, с. 800—808.

9.Овчинский А. С., Копьев И. М., Сахарова Е. Н., Москвитин В. В. Распределе­

ние напряжений при разрыве хрупких волокон в металлических композиционных мате­ риалах. — Механика полимеров, 1977, № 1, с. 19—29.

10.Иванова В. С. Разрушение металлов. М., 1979. 168 с.

УДК 539.4:678.067

М, И. Гандельсман, В. П. Будтов

КОНЦЕНТРАЦИЯ ТЕРМИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИИ НА ВКЛЮЧЕНИЯХ В МАТРИЧНЫХ КОМПОЗИТАХ

При изучении деформационных свойств композитных материалов возникает необходимость решения двух основных типов задач: во-пер­ вых, предсказание их эффективных макроскопических характеристик исходя из свойств компонентов, и, во-вторых, определение локальных пара­ метров полей напряжения и деформации [1, 2]. В данной работе рассмат­ ривается двухфазный матричный композит, обе фазы которого — ли­ нейно-упругие материалы. Одна из фаз («матрица») образует связное тело, а вторая распределена в виде «вкрапленных» в матрицу локализо­ ванных включений. Предполагается, что количество включений макро­ скопически велико, и они распределены в матрице случайным образом, так, что отсутствует дальний порядок. Будем считать, что все включения одинаковы, имеют эллипсоидальную форму, а на границах включений имеется прочный контакт между фазами, вследствие чего поле вектора перемещения непрерывно всюду в объеме материала. Вычислению эф­ фективного тензора модулей упругости подобных композитов в рамках метода самосогласованного поля посвящены работы [3—6]. В [7] опреде­ лена концентрация напряжения на включениях в композите со стохасти­ ческой структурой, возникающая при нагружении, причем приложенное напряжение считалось однородным. Подчеркнем, что полученный в [7] тензорный коэффициент концентрации напряжения у поверхности вы­ бранного включения следует рассматривать как результат усреднения по всем возможным положениям и ориентациям всех остальных включений.

Как правило, фазы различаются не только модулями упругости, но и коэффициентами теплового расширения (в общем случае тензорными). Поэтому концентрация напряжения на включениях может возникать и в отсутствие внешних сил, за счет изменения температуры. В данной ра­ боте вычисляется концентрация термических напряжений на включе­ ниях, обусловленная изменением температуры композитной среды. Ис­ пользуемый для этой цели вариант метода самосогласованного поля по существу аналогичен тому, который применяется при выводе известной формулы Клаузиуса—Моссотти в электростатике диэлектриков [6, 8].

1.Пусть в бесконечной упругой матрице расположены эллипсоидаль­

ные включения, занимающие области v\, V2, .. , VN- Обозначим через С — тензор модулей упругости матрицы, а через Сх — включений. Тен­ зор модулей упругости среды:

Аналогично пусть а = (ац) — тензорный коэффициент теплового рас­ ширения матрицы, <xi= (ocuj) — включений, и

где

Viihi=^-t>ii6hr, Dijki=— ( 8iit8ji+6ubjh—— 6ij6ft()

2. Рассмотрим одиночное эллипсоидальное включение, занимающее область v в бесконечной матрице. В дальнейшем предполагается, что деформация е0(х)= е0 — однородна. Интегральное уравнение (6) для одиночного включения приобретает следующий вид:

(«)

Проинтегрируем обе части (11) по объему v. Меняя порядок интегриро­ вания и применяя теорему Эшелби, получим, что деформация е+(х) = = е+ однородна внутри включения и равна

единичный четырехвалентный тензор.

Пусть хедо — точка на поверхности включения dv и п — единич­ ный вектор нормали к dv в этой точке. Обозначим через е~(п) и а~(п) =

=Се~(п) предельные извне значения деформации и напряжения в точке

х.Из уравнения (11) следует

ный с приложенным напряжением сто, определяет концентрацию терми­ ческих напряжений на одиночном включении.

3. Рассмотрим макроскопическую область М композитного мате­ риала, в которой равномерно распределены эллипсоидальные включения

vu V2,--- , VN с центрами масс в точках х ь х2, . . . , X JV. Структура компо­ зита описывается бинарной корреляционной функцией Т(г, соо,<о), где г — радиус-вектор, соединяющий центры масс пары включений; <оо, со — совокупности эйлеровых углов, определяющих ориентацию включений относительно выбранной системы координат. При этом в некоторой ок­ рестности Ш7(<о0) Данного включения с ориентацией со0 Ч; = 0, так как включения изолированы друг от друга. Будем считать, что область

объему композита, и корреляция по ориентациям отсутствует. Тем са­ мым вне Wo

где / (со) — одночастичная функция распределения включений по ориен­

тациям*.

Усреднение по ориентациям с функцией распределения /(<о) будем отмечать угловыми скобками О » а усреднение по объему включения —

горизонтальной чертой над символом.

Пусть In — вектор, соединяющий центр масс п-го включения с про­ извольной точкой внутри него. В рамках метода самосогласованного поля реальные деформации внутри включений заменяются эффектив­ ными деформациями е+(хп+г§п, о)п), усредненными по всем возможным положениям и ориентациям всех остальных включений [5]. При этом предполагается, что выполнены условия статистической квазиоднород­ ности, т. е. эффективная деформация е+(хп-Ь§п, о)п) не зависит от поло­ жения центра масс п-то включения в объеме композита и от номера включения, а определяется лишь ориентацией включения и выбором точки ^ внутри него. Тем самым

Кроме того, деформация е(х) в данной точке композита х, усредненная по всем возможным положениям и ориентациям всех включений, заме­ няется средней по объему композита деформацией е. Таким образом, рассматриваются лишь однородные, с макроскопической точки зрения, поля напряжений и деформаций. Более общий случай макроскопически неоднородной деформации при ДГ = 0 рассмотрен в [6].

Пусть W — эллипсоидальная область с объемом, значительно мень­ шим М, но содержащая макроскопическое количество включений, хеИ^. Вычислим вклад е'(х) в общую деформацию в точке х от включений, на­ ходящихся внутри W, усредненный по всем возможным положениям и ориентациям этих включений. Предполагается, что область W удалена от границ рассматриваемого объема М композитного материала на рас­ стояние, существенно превышающее ее размеры. Тогда при расчете вклада от данной области в общую деформацию может использоваться функция Грина бесконечной среды. Согласно (6) соответствующий

вклад равен:

р

e'(x) = I j J 0 (х - х 4-1,){[С]в+(х1+ ?1|(в,)-С 1[а]Д Г } ^ . (21)

г= к {vj

Суммирование в (21) производится по всем включениям, распределен­ ным внутри W. Подставим (20) в (21) и произведем усреднение по поло­ жениям центров масс и ориентациям всех включений. Переходя к непре­ рывному распределению по положениям и ориентациям, получим

где у(<о) — область, занимаемая включением с ориентацией о. Меняя в (22) порядок интегрирования, имеем

Здесь f — объемная доля включений, а <е+> — усредненная по объему включения и ориентации деформация е+(|, со). Отметим, что деформа­

* Можно показать что псе результаты работы оказываются справедливыми пои существенно более слабых предположениях относительно корреляционной функции Д о ­ статочно предположить, что при фиксированных о)0 и со функция V ( r Z S = c o n s t ( r )