Численные методы Часть 3
..pdfМи н и стерство образования Российской Ф едерации
Пермский государственный технический университет
М. Г. Б оярш инов
Численные методы
Часть 3
Рекомендовано УМО по образованию в области ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ
для использования в качествеучебного пособия студентами высшихучебных заведений, обучающимися по направлению подготовки дипломированных специалистов «Прикладная математика»
Пермь 2002
УДК 681.3
Б86
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор Пермского государственного технического университета
С. А. Чернопазов
Кандидат технических наук, доцент Пермского государственного университета
В. Н. Терпугов
Бояршинов М. Г.
Б86 Численные методы: Учеб, пособие для студентов направления «Прикладная математика», Часть 3 / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2002. - 134 с.
ISBN 5-88151-313-4
Учебное пособие написано на основе курса, читаемого студентам специальности «Прикладная математика» (специализация «Математическое моделирование») в Пермском государственном техническом университете.
Определены основные способы аппроксимации кривых кусочно-непрерывными функциями с использованием процедуры Галеркина. Представлена классификация методов моментов (взвешенных невязок) и, как частные случаи, рассмотрены методы потоков, наименьших квадратов, коллокаций, конечных разностей, конечных и граничных элементов. Основное внимание уделено вопросам построения разрешающих соотношений для краевых задач с использованием идей метода Галеркина. Приведены примеры построения решений для задач теплопроводности, упругого и пластического деформирования, течения жидкости.
Предназначено для студентов и аспирантов вузов, специалистов, занимающихся вопросами построения математических моделей систем и процессов.
|
УДК 681.3 |
ISBN 5-88151-313-4 |
© Пермский государственный |
|
технический университет, 2002 |
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ........................................................................................................................ |
5 |
1. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК............................ |
7 |
Частные случаи метода взвешенных невязок....................................................... |
11 |
Метод моментов..................................................................................................... |
12 |
Метод коллокаций.................................................................................................. |
13 |
Метод подобластей................................................................................................. |
14 |
Метод наименьших квадратов............................................................................. |
15 |
Метод конечных разностей................................................................................... |
17 |
Контрольные вопросы и задания......................................................................... |
17 |
2. АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ........................................................................... |
19 |
Функции одной переменной |
19 |
Кусочно-постоянные функции.............................................................. .............. |
19 |
Кусочно-линейные функции................................................................................ |
21 |
Функции высших степеней................................................................................... |
24 |
Иерархические многочлены.................................................................................. |
27 |
Функции двух переменных....................................................................................... |
30 |
Треугольные конечные элементы. Линейная аппроксимация...................... |
30 |
Квадратичная аппроксимация................................................................. |
32 |
Четырехугольные конечные элементы............................................................... |
36 |
Функции трех переменных......................................................................................... |
37 |
Контрольные вопросы и задания......................................................................... |
39 |
3. ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ......................................................................... |
40 |
Уравнение стационарной теплопроводности........................................................ |
40 |
Аппроксимация решения кусочно-линейными функциями........................... |
41 |
Процедура ансамблирования конечных элементов......................................... |
43 |
Аппроксимация решения кусочно-квадратичными функциями................... |
48 |
Использование иерархических многочленов.................................................... |
51 |
Уравнение нестационарной теплопроводности.................................................... |
53 |
Контрольные вопросы и задания......................................................................... |
56 |
4. ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА................. |
58 |
Постановка задачи....................................................................................................... |
58 |
Разрешающие соотношения метода Галеркина.................................................... |
59 |
Уравнение равновесия............................................................................................ |
59 |
Физические уравнения........................................................................................... |
61 |
Геометрические уравнения................................................................................... |
63 |
Ансамблирование конечных элементов............................................................. |
64 |
Плоско-деформированное состояние...................................................................... |
65 |
Плоско-напряженное состояние............................................................................... |
77 |
Осесимметричное напряженно-деформированное состояние........................... |
78 |
Решение задач упругопластичности......................................................................... |
83 |
Метод переменных параметров упругости......................................................... |
84 |
Метод дополнительных нагрузок......................................................................... |
85 |
Контрольные вопросы и задания.......................................................................... |
88 |
5. ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ....................................................................... |
89 |
Уравнения движения в переменных «функция тока - вихрь скорости».......... |
90 |
Граничные условия:..................................................................................................... |
92 |
Граничные условия для функции тока................................................................ |
92 |
Граничные условия для функции завихренности............................................. |
93 |
Соотношения метода взвешенных невязок............................................................. |
93 |
Разрешающие соотношения для функции тока................................................ |
94 |
Разрешающие соотношения для функции завихренности.............................. |
95 |
Разрешающие соотношения для поля давления............................................... |
96 |
Алгоритм решения задачи...................................................................................... |
97 |
Контрольные вопросы и задания........................................................................ |
101 |
6. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ................................................................... |
102 |
Фундаментальное решение...................................................................................... |
104 |
Построение фундаментального решения.............................................................. |
113 |
Контрольные вопросы и задания........................................................................ |
117 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 5-функция Дирака........................................................................ |
118 |
Расширение понятия функции............................................................................ |
118 |
Пространство основных функций....................................................................... |
119 |
Обобщенные функции........................................................................................... |
119 |
Дифференцирование обобщенных функций.................................................... |
120 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Сходимость метода взвешенных невязок............................... |
122 |
Основные понятия и определения........................................... |
|
Обобщенное решение дифференциального уравнения................................. |
124 |
Сходимость метода конечных элементов.......................................................... |
127 |
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Фундаментальные решения для некоторых |
|
дифференциальных уравнений..................................................................... |
|
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК......................................................................... |
131 |
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.................................................................................... |
132 |
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время для решения обширного класса научных, инженерных и конструкторских проблем получил широкое распространение метод моментов (взвешенных невязок), частными случаями которого оказываются многие известные методы решения задач математической физики, например методы Галеркина, наименьших квадратов, подобластей, потоков и целый ряд других.
Метод конечных элементов, разработанный в работах О. Зенкевича1, Р. Галлагера, К. Моргана, Д. Норри и Ж. Де Фриза, П. Роуча, К. Флетчера, является, по-видимому, одним из наиболее распространенных способов решения прикладных задач при выполнении прочностных расчетов, изучении тепловых и газодинамических процессов, исследовании упругого, вязкого и пластического состояния твердых деформируемых тел, в горной и строительной механике и многих других случаях. Наглядность метода, простота геометрического описания конструкций, элементов деталей машин и механизмов, имеющих сложные формы, универсальность учета граничных условий сделали его весьма популярным среди широкого круга специалистов, занятых решением инженерных задач. На основе метода конечных элементов созданы многие прикладные программные комплексы для решения конструкторских задач, возникающих в машиностроительной, авиационной, судостроительной, автомобильной промышленности.
Метод граничных элементов появился как результат развития идей, лежащих в основе метода конечных элементов. Он базируется на понятии фундаментального решения краевой задачи, в которой точечный источник задается с помощью 8-функции Дирака. В этом случае конечные элементы используются для аппроксимации границы области, а аппарат классических интегральных уравнений применяется для отыскания решения внутри рассматриваемой области. В настоящее время аппарат метода граничных элементов хорошо изучен и представлен в работах К. Бреббиа2, Дж. Коннора, С.
1 Зенкевич Ольгерд Сесил, [р. 18.05.1921] - английский ученый-механик, один из авторов метода конечных элементов (1967) В 1943 году защитил диссертацию на степень бакалавра в Имперском колледже, на степень доктора философии - в 1945 году. В 1965 году получил почетную степень доктора наук Лондонского университета. Преподавал в Эдинбургском университете в период с 1949 по 1957 год. Профессор кафедры гражданской техники Северо-западного университета штата Иллинойс с 1957 по 1961 год, заведующий кафедрой гражданского строительства университета Уэльса с 1961 по 1988 год, является почетным профессором с 1988 года. Почетный доктор наук университетов Лиссабона (1972), Шотландии (1987), Вены (1993).
2 Бреббиа Карлос Альберто [р. 13.12.1948] - английский ученый-механик, один из основоположников метода граничных элементов. В 1972 году защитил диссертацию на степень доктора философии в Саутгемптонском университете. С 1994 года является почетным доктором наук Бухарестского университета. Преподавал в Саутгемптонском университете в период с 1970 по 1975 год. Профессор Принстонского университета с 1975 по 1979 год, профессор Калифорнийского университета с 1979 по 1981 год, с 1981 года по настоящее время - директор технологического института в Уэссексе.
Крауча, А. Г Угодчикова, Н. М. Хуторянского и других ученых. Этот метод широко применяется для решения задач механики жидкостей и газа, упругости, вязкоупругости и пластичности и в целом ряде других научных и технических проблем. Применение указанных методов в механике деформируемого твердого тела позволило найти решения сложнейших инженерных задач.
Первая глава пособия посвящена классификации методов моментов (взвешенных невязок), введению основных понятий и определений, частным вариантам методов галеркинского типа.
Во второй главе изучаются вопросы аппроксимации функциональных зависимостей кусочно-непрерывными пробными функциями, системы иерархических многочленов. Рассмотрены способы построения пробных функций, применяемых при решении одно-, двух- и трехмерных задач.
Построение разрешающих соотношений для одномерных стационарных и нестационарных задач на основе метода Галеркина с использованием конечно элементной аппроксимации подробно рассмотрено в третьей глава на примере задачи теплопроводности.
Подходы к решению задач теории упругости (плоскодеформированное, плосконапряженное и осесимметричное напряженные состояния), а также способы решения упругопластических задач (методы переменных параметров упругости и дополнительных нагрузок) изучаются в четвертой главе. Рассмотрена процедура ансамблирования конечных элементов и способ учета кинематических граничных условий. Подробно рассматривается процедура численного решения тестовой задачи об осадке длинной полосы между гладкими горизонтальными плитами.
В пятой главе ставится задача исследования движения вязкой жидкости с использованием функции тока и функции завихренности. С помощью метода Галеркина строится система разрешающих алгебраических уравнений, рассмотрена процедура ее решения. Алгоритм реализован на примере численного решения задачи о течении жидкости в замкнутой полости с подвижной крышкой.
В последней, шестой, главе приведены основные соотношения метода граничных элементов, описан алгоритм построения фундаментального решения для линейной краевой задачи.
Считаю своим долгом искренне поблагодарить студентов и выпускников специальности «Математическое моделирование» Пермского государственного технического университета Наталью Шабрыкину, Владимира Кочурова (ММ94), Ирину Унчанскую, Михаила Додкина (ММ-95), Инну Гитман (ММ-96), Евгения Баженова, Андрея Петрова (ММ-97), а также всех тех, кто принимал активное участие в обсуждении текста рукописи, в разработке алгоритмов и программ для персональных компьютеров, в проведении вычислительных экспериментов.
1. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ ВЗВЕШЕННЫХ НЕВЯЗОК
Классификация методов взвешенных невязок рассматривается на примере уравнения Пуассона
< |
и |
с граничными условиями
JCEQ
(1.1)
|
и = £/, |
х е Т и, |
(1.2) |
|
|
ди |
_ |
хеГд, |
(1.3) |
|
- = |
е . |
||
|
дп |
|
|
|
где Г = Г^ +Ге - |
граница области Q (в общем случае Q - |
часть трехмерного |
||
пространства, х - |
радиус-вектор произвольной точки этой |
области). Решение |
||
задачи (1.1) - (1.3) разыскивается в виде конечной суммы |
|
|||
|
Мт = 2 > /Ф /М |
О 4) |
||
|
|
*=1 |
|
|
с использованием пробных |
функций cpf (JC), /' = 1,2,...; ai7 i = \7т |
|||
коэффициенты, подлежащие определению. Пусть функции (p,{jt) выбраны таким образом, что решение, представленное в форме (1.4), точно удовлетворяет
граничным условиям (1.2) и (1.3). В этом случае коэффициенты а,, / = 1,тя
должны быть найдены из условия удовлетворения решения (1.4) исходному дифференциальному уравнению1
Поскольку разложение (1.4) строится с использованием конечной системы пробных функций, решение итполучается приближенным и при подстановке в исходное дифференциальное уравнение (1.1) образует невязку
ея = Дит - / * 0 ,
распределенную в области £1 Выбирается система взвешивающих функций Ц1к, к = 1,/и, с помощью которой невязка взвешивается в области Q, и при этом
требуется выполнение условия ортогональности |
|
Jemv(/t dQ = 0,*: = l,ffi, |
|
Q |
|
откуда следует |
|
J(Aura- / ) 4 v t o = 0,A: = l,m |
(1.5) |
Q |
|
Если система взвешивающих функций обладает свойством полноты, то из |
|
ортогональности невязки еш ко всем функциям vp* следует, что еш— |
>0 |
1Такой метод построения решения условно называется внутренним.
Если кроме этого система пробных функций ср/(х) обладает свойством
замкнутости, то имеет место сходимость ||ит —и|| |
приближенного |
решения итк точному решению и задачи (1.1). |
|
Пусть пробные функции <p,(x) выбраны так, что не удовлетворяют точно граничным условиям (1.2) и (1.3) на границах Ги и Tg. Взвесим невязки
% = и т *-(У, xeT v , |
SQ |
ди |
X *TQ |
||
на указанных границах области, |
|
|
|
\ t QVkdT= \ [ Q - ^ \ y kdT |
|
|
Го |
Го 4 |
Теперь, как и в предыдущем случае, можно потребовать выполнения условий ортогональности невязок ец и EQ соответствующим функциям:
dVjjr* dT = 0, |
(1.6) |
дп |
|
= 0 |
(1.7) |
и решать совместно систему уравнений (1.5) - (1.7) для поиска коэффициентов а, разложения (1.4) искомого решения. Однако целесообразно объединить соотношения (1.5) и (1.6), (1.7).
Для дальнейших выкладок воспользуемся теоремой Грина1 [9]
J VQda+ M^dQ. = |
(18) |
оа г
Первоначально положим £ = v|/Л, С,= ит , то есть (1.8) принимает вид
J Vv)/* • VuJCl+ J y kAumdQ. = JV* |
on |
||
a |
n |
T |
|
С учетом этого соотношение (1.5) преобразуется к выражению
| V* |
- J Vum• VVi r f n- |
= |
°, |
1Грин Джордж [14.7.1793 - 31.3.1841]- английский математик и физик. Математику изучал самостоятельно, и поэтому лишь в 1837 году окончил Кембриджский университет. Ввел понятие и термин потенциал, развил теорию электричества и магнетизма. Выполнил работу по исследованию отражения и преломления света в кристаллических средах, в которой вывел основные уравнения теории упругости.
К |
^ |
Л + К ^ d |
r |
- JVnm V i ^ a - J.ftvkdn = i0. |
|
|
Га |
|
Гр |
|
G |
Q |
|
Согласно (1.7), |
|
|
|
|
|
|
|
|
J V t^ |
d |
r = J(2v*dr, |
|
|
|
|
Гс |
|
Гр |
|
|
откуда следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
J e v ^ - J v a . - V |
^ d n - J ^ d n - O . |
(19) |
||
Га |
т |
Гр |
Q |
|
О |
|
Основной результат выполненного преобразования заключается в понижении порядка производной искомой функции, входящей в получаемое соотношение. Иными словами, можно ослабить1 требования к пробным
функциям, а именно, требовать, чтобы |
cpi еС 1(П) |
вместо |
<р, e C 2(ft), как это |
||||||
требуется для решения уравнения (1.1). |
|
|
|
|
|||||
|
Вновь воспользуемся выражением (1.8), полагая теперь £ = ит, ^ = \|/*, |
||||||||
|
|
|
f Vum - V v t/^ + J umAxvkdn = \u m^ dr |
||||||
|
|
|
Q |
|
Q |
|
? |
СП |
|
|
Подставляя полученное соотношение в (1.9), получаем |
|
|||||||
|
1Ч,* |
^ !’йГ+ l ^ v'‘d r ~ lu”^ ' dr + |
|
|
J .A M ^ = 0 > |
||||
|
Га |
|
Гр |
|
Г |
О |
|
|
О |
f Wk |
+ fQ 'M T - |
ju m |
- J um ^ d T |
+ |
- $fyikdCl = 0 |
||||
r„ |
an |
Tg |
|
vu |
Tg |
0” |
|
a |
Q |
|
Поскольку, согласно (1.6), |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 и |
|
lu |
|
|
|
послепреобразований приходим к выражению |
|
|
|
||||||
Jv|/4% d r + J g 4 » ^ - J c / ^ ^ - J ^ % |
d T + J v \ V»dn-J> V *< «= 0 -0 -10) |
||||||||
Га |
т |
Гр |
Га |
т |
Гр |
™ |
О |
|
О |
Следует обратить внимание, что в полученном выражении искомая функция вынесена из-под дифференциального оператора2 В то же время под
1Полученное соотношение называют слабой формулировкой исходной задачи.
2 В этом случае полученное выражение носит название обратной формулировки задачи.
9
знаком оператора Лапласа1 находятся взвешивающие функции, что ужесточает предъявляемые к ним требования.
Методы (ф/ = М/у): |
Методы (ф, ф vj//): |
> |
Обобщенная слабая |
|
|
|
формулировка |
> Граничных интегральных уравнений
Рис. 1.1. Классификация методов взвешенных невязок
Если взвешивающие функции подобраны так, что они удовлетворяют уравнению
А\ук = 0, к = 1,т,
1 Лаплас Пьер Симон [23.3.1749 - 5.3.1827] - французский астроном, математик, физик. Участвовал в реорганизации системы высшего образования во Франции, в создании Нормальной и Политехнической школ. В 1790 году был назначен председателем Палаты мер и весов, руководил введением метрической системы мер. В 1785 году избран членом Парижской академии наук, в 1802 году - почетным членом Петербургской академии наук, в 1816 - членом Французской академии. Научное наследие относится к области небесной механики, математики и математической физики. Выполнены фундаментальные исследования в теории дифференциальных уравнений, интегрировании уравнений в частных производных. В теории вероятностей развил теорию ошибок и способ наименьших квадратов, позволяющие находить наиболее вероятные значения измеренных величин и
степень достоверности этих расчетов.