Численные методы Часть 3
..pdfиз выражения (1.10) следует соотношение, связывающие лишь граничные значения искомой функции ити ее производной дит/дп,
\ y k^ d T - |
\u m^ d T |
- \ u -d^ d T |
+ \Q y kdr = |
к = йп (1.11) |
ги т |
ге т |
Ти т |
rQ |
о |
Полученные соотношения являются основой граничных методов для решения уравнений в частных производных, например, метода граничных элементов, метода граничных интегральных уравнений, метода Треффца и ряда других. На рис. 1.1 приведена схема классификации методов взвешенных невязок, предложенная в монографии [2].
Частные случаи метода взвешенных невязок
Многие хорошо известные численные методы, используемые при решении задач математической физики, могут интерпретироваться как частные случаи метода взвешенных невязок.
Рассматривается дифференциальное уравнение |
|
ы"+м+л = 0 |
(1.12) |
с граничными условиями |
|
«(0)=0, м(1)= 0, |
(1.13) |
имеющее точное решение (рис. 1.2), |
|
и = sin(x)/sin(l)- х . |
(1.14) |
С помощью различных численных методов построим приближенные решения этого уравнения в виде
"„(*)= *0 - *Х®0 + «I* + а2х2 +•••)»
удовлетворяющем граничным условиям (1.13). Для упрощения будем удерживать только два слагаемых в разложении решения по степеням
аргумента х\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и,(д:)=л(1-д:Ха0 + а 1л:). |
|
|
|
(1.15) |
||||
Погрешность получаемого приближенного решения будем оценивать с |
||||||||||
помощью точного решения (1.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Невязка уравнения (1.12) на приближенном решении |
|
|||||||||
в, = и”х+их+х = а 0( - * 2 + х-2)+ а1(-х3 +х2- 6 х + 2)+*. |
(1-16) |
|||||||||
В соответствии с идеей метода потребуем равенства нулю от взвешенной |
||||||||||
по всей области интегрирования невязки вь |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
J |
0,= |
к = 0,т, |
|
|
|
|
(1.17) |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
где щ 9 к = 0 ,1 ,2, |
- полная система взвешивающих функций. |
|
||||||||
Метод моментов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выберем последовательность 1, х, х2, |
|
в |
качестве взвешивающих |
|||||||
функций у*. В соответствии с (1.17) получим выражения: |
|
|||||||||
Je,l<& = a 0J(-x 2 + * -2 )it+ a 1J(-.x3 +х2 -6 * + 2рх + J xdx = 0, |
||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
о |
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|в 1л ^ |
= а 0|( - х 2 +x-2)x^bc + a 1j(--jc3 + х2- 6 ^ + 2)xdx + Jx 2dfr = 0. |
|||||||||
О |
о |
|
|
|
о |
|
|
|
О |
|
Интегрирование приводит к системе двух ари’вбраических уравнений |
||||||||||
относительно неизвестных коэффициентов осо и аь |
|
|
|
|||||||
|
|
|
11 |
|
11 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
— а 0 |
Н---- Cti = |
— |
|
|
|
||
|
|
|
6 |
0 |
12 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
19 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
— а 0 |
20 |
= |
— |
|
|
|
|
|
|
|
.12 |
0 |
1 |
3 ‘ |
|
|
|
|
Решение этой системы: а 0 = 122/649 « 0,1879, |
сЧ = 110/649 » 0,1695. |
|||||||||
На рис. |
1.3 |
показана |
погрешность |
Е = |
^ |
решения, |
полученного |
|||
методом моментов, по сравнению с точным решение^ (1-14). |
|
|||||||||
О |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,5 |
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
* |
Рис. 1.3. Погрешность метода моментов
Метод коллокаций
В качестве взвешивающих функций ц/* выбираются 8-функции Дирака. В частности,
Ч/0 = 8 ( х - * 0), = 5(дг—JCJ),
где х0 и - произвольные точки отрезка [0, 1]. Подсчитаем выражения (1.17) ДДя этого случая:
1 |
1 |
J е,8(х - х0 )dx = е(х0)= 0 , |
J е,8(х - х, )dx = e(x, ) = 0 |
о |
о |
Иными словами, в этом методе требуеюя удовлетворение невязки не в среднем по всей области интегрирования, а в конечном числе точек отрезка,
а 0(- х02 + х0 - 2)+ а, (- |
+ А ~ 6*о + 2)+ х0 = 0 > |
|||||
а 0(- х2 + х, - 2)+ а ,( - х,3 + х2 - |
6JC, + 2)+ х, = 0. |
|||||
Выбирая в качестве таких точек |
хо = 1А |
и Х\ = |
приходим к системе |
|||
Алгебраических уравнений |
|
|
|
|
|
|
29 |
|
35 |
|
1_ |
|
|
--- ап |
----- а, |
1 |
4 ’ |
|
||
16 |
0 |
64 |
|
|||
7 |
|
7 |
|
1 |
|
|
—ССл + —а. = — |
|
|
||||
.4 |
0 |
8 |
1 |
2 |
|
|
Метод подобластей
Пусть рассматриваемая область разделена на т подобластей Q,, которые могут перекрывать друг друга. Взвешивающие функции, которые в этом случае можно назвать индикаторными, определяются следующим образом:
|
|
|
|
|
х е П к, |
|
|
|
|
|
0, |
x&Q.k. |
|
Для задачи (1.12) - |
(1.13) в качестве подобластей рассмотрим Q0 = [0,1/2] |
|||||
и Ц = [0,1]. Теперь соотношения (1.17) имеют вид |
||||||
I |
1/2 |
1/2 |
|
|
1/2 |
У2 |
|е,у0<& = j z ldx = a 0 \ { - х 2 + x - l ) f o + a i \ { - x l +х2 -6x + l)dx+ J*rfr=0, |
||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
о |
о |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
! |
| Z\\yxdx= J z{dx = а 0|( - х2 + х -2)xdx+а, j( - x 3 +х2-6х+ 2)xdx+j x2dx=0. |
||||||
0 |
0 |
0 |
|
|
о |
о |
Интегрирование приводит к системе уравнений |
||||||
|
|
Ги |
|
53 |
_ 1 |
|
|
|
---а о |
н------ос. |
|
||
|
|
12 |
0 |
192 1” 8 |
||
|
|
11 |
|
11 |
а, = |
1 |
|
|
— а 0 |
н— |
|
||
|
|
[б |
0 |
12 |
1 '2 ' |
|
Метод наименьших квадратов
Построим функционал
I
Ф, =ф(их) =Jefafr,
о
минимум которого, равный нулю, достигается при е, = 0 Поскольку ^=Ф(а0,а ]), условия экстремума функционала, согласно теореме Лагранжа,
молено представить в виде
^ - = 2 fe |- ^ - & = 0,
5а0 о
да, { Яа,
Последнее выражение можно трактовать как вариант метода взвешенных невязок с весовыми функциями
де, дг1 dety да,
В соответствии с (1.15) определяются весовые функции
Метод конечных разностей
В соответствии с идеей метода конечных разностей строится локальная аппроксимация решения (для трех соседних узлов разностной сетки с номерами i j и к соответственно) в виде
4» = ^<Pl+«/Py+4t<P*>
где ^ ^ — (x -X k ix -X jl q>k = --^:(x -x ijx - X j\ yJ =~i (x -x l\ x - x k) -
квадратичные функции, принимающие значения 1 в своем (одноименном) узле и 0 в соседних узлах. Невязка дифференциального уравнения (1.12) на таком приближении решения для всего отрезка [х„ xj\ длиной h имеет вид
|
4 |
8 |
4 |
и, + ^ Ф |+ « /р > + « » ф * ]+ * - |
|
8m- Um+Um+X = ТТU, |
—Uv + —у |
||||
|
А2 1 |
h2 к |
h |
J |
|
В качестве |
взвешивающей |
возьмем 5-функцию |
Дирака, \у = Ь(х-хк). |
||
Тогда выражение (1.17) метода взвешенных невязок приводится к виду |
|||||
Г |
- хк)dx = ет(хк) = ^ |
[м( - |
2ик + иJ + |
щ + хк = 0, |
|
О |
|
" |
|
|
|
щ - 2ик+ Uj
+ “* + * *= 0 .
(АхУ
где Ах = А/2 - расстояние между двумя соседними узлами, то есть шаг сетки. Последнее выражение является конечно-разностной аппроксимацией уравнения (1.12), применяемой в сеточных методах.
Контрольные вопросы и задания
♦Сформулируйте идею метода взвешенных невязок.
♦Сформулируйте требования к пробным функциям, используемым в методе взвешенных невязок, и обоснуйте их необходимость.
♦Сформулируйте требования к взвешивающим функциям, используемым в методе взвешенных невязок, и обоснуйте их необходимость.
♦Какой смысл вкладывается в название слабая формулировка задачи?
♦Что представляет собой слабое решение задачи?
♦Какой смысл вкладывается в название обратная формулировка задачи?
♦При каком условии метод взвешивающих невязок приводит к поиску решения дифференциальной задачи только на границе?
♦Приведите классификацию методы взвешенных невязок.
♦При каких условиях метод моментов оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
♦При каких условиях метод Галеркина оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
♦При каких условиях метод наименьших квадратов оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
♦При каких условиях метод коллокаций оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
♦При каких условиях метод подобластей оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
♦При каких условиях метод конечных разностей оказывается частным случаем метода взвешенных невязок?
2.АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
Вклассе рассматриваемых методов применяются специальные процедуры аппроксимации функций, основанные на разложении в ряды по системам кусочно-гладких функций.
Функции одной переменной
Первоначально рассматриваются способы и алгоритмы аппроксимации функций с помощью кусочно-постоянных, кусочно-линейных и кусочно квадратичных функций.
Кусочно-постоянные функции
Для определенности рассмотрим аппроксимацию функции f(x)= х1 на
отрезке G = [0,1]. Представим этот отрезок объединением G = Gl[jG2UG3 UG4,
где G, = [0,1/4\ G2= [l/4,1/2], |
G3 = [l/2, 3/4], |
GA= [3/4, l]. На каждом из этих |
|||||||
интервалов (рис. 2.1) определим кусочно-постоянные пробные функции |
|
||||||||
|
|
|
|
IX x e G t, |
|
|
|
||
|
|
|
%(*)= [О, |
jegG,. |
|
|
|
||
1 - |
<piOO |
|
|
1 - |
|
Фг(*) |
|
||
0 --------- |
1-------- |
1-------- |
1-------- |
|
о --------- |
1-------- |
1-------- |
1-------- |
|
О |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
х |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
х |
|
|
а |
|
|
|
|
б |
|
|
|
Фз(х) |
■■ |
|
1 - |
|
ф4(х) |
|
||
-------- |
1------- |
1------- |
1------- |
|
о -------- |
1------- |
1------- |
1------- |
|
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
х |
0 |
0,25 |
0,5 |
0,75 |
х |
|
|
в |
|
|
|
|
г |
|
|
|
Рис. 2.1. Пробные кусочно-постоянные функции |
|
|
||||||
Представим заданную функцию.Дх) в виде разложения |
|
|
|||||||
|
|
/(* )* /« (* )= E^V PiM . |
|
|
|
(21) |
|||
ы
/( • * ) -
/=1
представления функции в области G, используя в качестве взвешивающих те же
самые функции ср*,
i |
i |
‘ |
т |
___ |
j / - £ < V P »
Потребуем равенства нулю всех взвешенных на рассматриваемом отрезке погрешностей,
1 |
т |
___ |
(2.2) |
|
|
к -\,т |
О'-1 о
Эти равенства представляют собой систему четырех линейных
алгебраических уравнений относительно четырех искомых |
коэффициентов |
||||
а/9 / = 1,4 разложения (2.1). В соответствии |
с выражением |
(2.2) подсчитаем |
|||
значения интегралов |
|
|
|
|
|
1 1 / |
4 |
1 |
1 |
1 |
|
j(p,q>tdx = |к & = 1/4, |
|ф 2ф ,^ т - |ф 3ф1аЬс-|ф 4ф1йЬ:-0, |
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
1 |
1/4 |
3 f 4 |
|
|
|
//ф ]Л = J * 2^ |
= — |
=1/192. |
|
|
|
0 |
0 |
“Чо |
|
|
Аналогично вычисляются остальные интегралы. Подстановка их значений в выражение (2.2) приводит к системе четырех линейных алгебраических уравнений
а^/4 + 0а2+ 0аъ+ 0а4 = 1/192,
0^7j + а2/4 + 0а3+ 0а4 = 7/192,
(2.3)
0я, + 0я2 + я3/4 + 0д4 = 19/192,
0а1+ 0я2 + (Ц + а4/4 =37/192. Искомые коэффициенты разложения
а, =1/48, а2 =7/48, а3 =19/48, а4 =37/48.
Аппроксимация функции f(x) = x2 на отрезке [0, 1] с помощью представления (2.1) показана на рис. 2.2.