Учитывая, что для осесимметричного напряженно-деформированного

Для установления кинематических соотношений, как и ранее, вектор перемещений представляется в виде

1к<р(

/-1

{«„}= т

][/,ф /

I i=

Для цилиндрической системы координат (с учетом осевой симметрии напряженно-деформированного состояния) связи компонентов тензора деформации и вектора перемещений устанавливаются формулами

которые в матричной записи имеют вид

Последовательная подстановка (4.16) и последнего выражения в соотношение (4.22) приводит к системе алгебраических уравнений метода взвешенных невязок для осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела, совпадающей по виду с выражением (4.19),

Подынтегральные выражения содержат интегралы по области Q, занимаемой конечным элементом. Для цилиндрических координат это соответствует

J /(r,0,z)rfO = J f(r,Q,z)rdrdQdz = 2л J f(r,Q,z)rdrdz.

При определении коэффициентов матрицы жесткости конечного элемента приходится вычислять значения интегралов вида

и другие. Даже при аппроксимации решения линейными пробными функциями Ф,(г,г) это представляет значительные трудности.

Практика использования метода взвешенных невязок показывает, что с приемлемой точностью такого вида интегралы можно заменять выражениями

J /(г , z)rdrdz * f(r, z)f J drdz = f(r, z)rSp,

где r, z. - координаты центра тяжести конечного элемента, Sp - как и ранее,

площадь конечного элемента. Очевидно, что точность такого приближения повышается с уменьшением размеров конечных элементов.

Решение задач упругопластичности

Рассматривается частный случай связи напряжений и деформаций в теории малых упругопластических деформаций' Г Генки, определяющей пропорциональность девиаторов тензоров напряжений и деформаций:

где с = О]j + оjj + ГТ33. С помощью соотношения (4.23) устанавливается связь интенсивности деформации е, (второго инварианта тензора деформации) с интенсивностью напряжения оу (вторым инвариантом тензора напряжений),

Принимая гипотезу единой кривой и учитывая условие пластического течения ст* = а т(е,), параметр у в соотношении (4.23) может быть определен в виде

1 А. А. Ильюшиным установлено, что закон малых упругопластических деформаций справедлив, по крайней мере, в тех случаях, когда процесс нагружения является простым. В частности, это имеет место, если внешние нагрузки изменяются пропорционально одному параметру. В этом случае для простого нагружения достаточно, чтобы ст, и е, были связаны степенным соотношением вида а, = Ае“

Ильюшин Алексей Антонович [1911 - 31.05.1998] - выдающийся ученый-механик. В 1933 году окончил механико-математический факультет МГУ В 1937 защитил кандидатскую, а в 1938 году - докторскую диссертации. С 1938 года являлся профессором МГУ, с 1946 года до конца жизни заведовал кафедрой теории упругости Московского университета. Он был председателем совета Академии наук по проблемам прочности и пластичности, членом президиума ВАК, Национального комитета по теоретической и прикладной механике, Генеральной ассамблеи международного союза по теоретической и прикладной механике (ШТАМ), руководил работой научно-исследовательских институтов.

Научная деятельность А. А. Ильюшина посвящена механике сплошных сред, теории пластичности, вязкопластичности, вязкоупругости, проблемам прочности конструкций и изделий, механике полимерных и композиционных материалов, аэродинамике сверхзвуковых скоростей, статическим и динамическим испытаниям материалов и конструкций. Он ввел понятие упругопластического процесса, постулат изотропии, принцип запаздывания. Им был предложен эффективный метод упругих решений, который в различных модификациях широко используется в практике инженерных расчетов.

Метод переменных параметров упругости

С помощью соотношения (4.23) устанавливается связь компонентов тензоров напряжений и деформаций,

физические уравнения теории малых упругопластических деформаций принимают форму

1 в а Е у - ( l- 2 v )

<5» - ^ E' + s ' e i F ^ > T '

Полученное выражение может быть представлено в форме, аналогичной записи закона Гука для упругого деформирования (4.15),

Теперь соотношения теории малых упругопластических деформаций записаны в форме, аналогичной соотношениям теории упругости, что позволяет записать разрешающие соотношения метода взвешенных невязок в форме

эквивалентной выражению (4.19), полученному для случая упругого деформирования материала.

ст* F*, и так далее. Итерационная процедура выполняется до тех пор,

пока, как и в предыдущем методе переменных параметров упругости, для двух соседних итераций выполняется условие (4.27).

Геометрическая интерпретация метода дополнительных нагрузок приведена на рис. 4.8.

Контрольные вопросы и задания

♦Обоснуйте принцип построения системы пробных функций для пространственных (трехмерных) задач.

♦Покажите, что система пробных функций (4.6) для пространственных задач является полной и замкнутой.

♦Воспроизведите построение разрешающих соотношений метода Галеркина для уравнений равновесия деформируемого твердого тела с использованием конечно-элементной аппроксимации.

♦Сформулируйте основные гипотезы плоско-деформированного состояния.

♦Сформулируйте основные гипотезы плоско-напряженного состояния.

♦Сформулируйте основные гипотезы осесимметричного напряженнодеформированного состояния.

♦Обоснуйте процедуру ансамблирования конечных элементов. Каким образом учитываются кинематические и силовые граничные условия при получении системы линейных алгебраических уравнений методом Галеркина?

♦Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода Галеркина при моделировании плоско-напряженного и плоскодеформированного состояний твердого тела.

♦Укажите различия в системах разрешающих соотношений метода

♦Сформулируйте гипотезу единой кривой, используемую в теории малых упругопластических деформаций.

♦Сформулируйте условие пластического нагружения деформируемого материала.

♦Сформулируйте условия простого нагружения материала при упругопластическом деформировании.

♦Опишите идею метода переменных параметров упругости. Приведите схему этого метода.

♦Опишите идею метода дополнительных нагрузок. Приведите схему этого метода.

Рассматривается система уравнений Навье - Стокса в безразмерной форме [10], описывающих движение вязкой несжимаемой жидкости,

Здесь обозначено: x ,y - координаты произвольной точки рассматриваемой области, t - время, Р - давление, Re = LF/v - число Рейнольдса, L, V -

характерные размер области и скорость течения, v - вязкость жидкости. Для функции тока уравнение несжимаемости

выполняется тождественно. Дифференцирование уравнения (5.4) по переменной у, уравнения (5.5) —по переменной х приводят к выражениям

С использованием уравнения несжимаемости (5.6) и определения (5.3) функции завихренности со предыдущее соотношение принимает вид дифференциального уравнения