Численные методы Часть 3

Решение сформированной системы линейных алгебраических уравнений позволяет определить величины тепловых потоков qJy j = \,Nl +N2 на обеих границах П и Г2, а также найти распределение поля температуры внутри рассматриваемой области,

/VfWVj

7=1

Для определения поля температуры внутри области взяты 19 точек, расположенных равномерно вдоль горизонтального радиуса цилиндра. Для проверки сходимости последовательности получаемых численных решений к точному решению указанной задачи выполнен ряд вычислительных экспериментов при различных числах N = N\ + N2 граничных элементов, аппроксимирующих границу расчетной области.

Поскольку форма цилиндра и граничные условия осесимметричны, температура в стенке будет функцией только радиуса г [17],

Т{г)=Т, (т^т2) 1п(г/Д,).

Ц е д )

Для оценки сходимости численных результатов к этому точному решению использована чебышевская норма погрешности = шах |!Г(г*) - Тк\.

Д7\°С

Рис. 6.3. Отклонение численного решения задачи теплопроводности от точного при числе граничных элементов N = 16 ( - Д - ) иЛ^= 128 ( -0- )

На рис. 6.3 показаны погрешности А Т = Тк - Т ( г к) численного решения рассматриваемой задачи при ^ = М2= 8 и N}= N2= 128. На рис. 6.4 приведена зависимость погрешности численного решения задачи от общего числа N граничных элементов.

Рис. 6.4. Зависимость погрешности численного решения задачи теплопроводности от общего числа N граничных элементов

Построение фундаментального решения

Рассматривается линейное дифференциальное уравнение

1(и)=0.

Собственные функции ф„, удовлетворяющие оператору I, определяются

соотношением

где К - собственные значения.

Пример 6.5. Рассмотрим уравнение и" - 0. Собственными функциями для

Для того же уравнения имеется другая система собственных функций,

\уп= ^ sin пх + Впcos пх, п = 1,2,...

ф» = - аУ sinnx-B„n2cos пх = -п 2ф„,

Кп = - п 2, и = 1,2,...

Рис. 6.5. Ряды Фурье для 8-функции при различныхр (обозначены на рисунках) вблизи точки х = О

С учетом этого уравнение (6.7) приводится к виду

£ р Л А ( * ) = Ё фД * * ) ф, ( 4

$=1 р =1

В силу независимости собственных функций фп, п - 1,оо имеет место

РЛ=Ф„(л), л=1,«>

Отсюда следует, что

и » 1 я

В различных вопросах математического анализа термин функция приходится понимать с различной степенью общности. Иногда рассматриваются непрерывные функции, в других случаях приходится иметь дело с многократно дифференцируемыми функциями. В ряде случаев классическое определение функции как правила, ставящего каждому значению х соответствующее значение fix) из области определения этой функции, оказывается недостаточным.

Например, распределение масс вдоль прямой удобно задавать плотностью этого распределения. Однако, если на прямой имеются отдельные точки, несущие сосредоточенную положительную массу, то плотность такого распределения не может быть описана никакой обычной функцией. Применение классического аппарата математического анализа для решения целого ряда задач приводит к невозможности выполнения некоторых операций, когда функцию, не имеющую производной, невозможно продифференцировать, если эту производную понимать в обычном смысле. Оказывается, что подобные затруднения можно преодолеть введением понятия обобщенной функции. В физике интуитивное понятие обобщенной 5-функции введено и используется достаточно давно, значительно раньше, чем была построена строгая математическая теория обобщенных функций.

Расширение понятия функции

Пусть / - фиксированная функция одной переменной, интегрируемая на каждом конечном интервале; ср - непрерывная функция, обращающаяся в нуль вне некоторого конечного интервала1 Каждой функции ср с помощью фиксированной функции/ можно сопоставить число

(П.1)

- 0 0

Иначе говоря, / можно рассматривать как линейный функционал на некотором пространстве финитных функций. Однако функционалами вида (П.1) не исчерпываются все функционалы, которые можно ввести на таком пространстве. Сопоставляя каждой функции ср ее значение в точке х = 0, можно получить функционал, не представимый в виде (П.1). Таким образом, функции/ естественным образом включаются в некоторое более широкое множество - совокупность всех линейных функционалов на финитных функциях.

1Такие функции называются финитными.

Пространство основных функций

Пусть К - совокупность всех финитных функций ср, имеющих непрерывные производные всех порядков. Вводится понятие сходимости: последовательность Ш элементов из К называется сходящейся к ср е Ку если существует интервал, вне которого все срп = 0 , и последовательность производных порядка к (к = 0, 1, 2, ...) сходится на этом интервале равномерно к ср^

Линейное пространство с такой сходимостью называется основным, а его элементы - основными функциями.

Обобщенные функции

Обобщенной функцией, заданной на прямой -оо <*<<», называется всякий непрерывный функционал Дер) на основном пространстве К. При этом непрерывность функционала понимается в том смысле, что Т(<р„)-> Т(ср), если последовательность срп сходится к ср в основном пространстве К.

Всякая интегрируемая на любом конечном интервале функция /порождает некоторую обобщенную функцию.

Выражение

(П.2)

есть непрерывный линейный функционал на К. Такие обобщенные функции называются регулярными, а все прочие, не представимые в виде (П.2), сингулярными. В качестве примера служит 8-функция, определяемая в виде

Т(ф)=ф(0)

и ставящая в соответствие функции ф ее значение в точке х = 0. Это непрерывный линейный функционал на К, то есть обобщенная функция, функционал обычно записывается в виде

причем под 5(х) понимается функция, равная нулю при всех х* 0 и обращающаяся в точке х = 0 в бесконечность, так что

Очевидно, если <р =1, то

(8,ф)= 15(х)1г& = (8,1)=1(°) - 1 •