Численные методы Часть 3
..pdfПоскольку модуль упругости стали Е = 2x1011 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,3, площадь конечного элемента Si = 0,5, коэффициенты матрицы
жесткости принимают следующие числовые значения: |
|
||||
0,4 |
0 |
0 |
-0,4 |
-0,4 |
0,4 " |
0 |
1,4 |
-0,6 |
0 |
0,6 |
-1,4 |
0 |
-0,6 |
1,4 |
0 |
-1,4 |
0,6 |
-0,4 |
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
-0,4 |
-0,4 |
0,6 |
-1,4 |
0,4 |
1,8 |
-1 |
0,4 |
-1,4 |
0,6 |
-0,4 |
-1 |
1,8 _ |
Для упрощения принято, что массовые силы и температурные нагрузки отсутствуют, то есть для обоих элементов {р£\} и {р^} равны нулю.
Для подсчета значений {F\} вся граница первого конечного элемента представляется в виде суммы Г = Г] + Г2 + Г3 , при этом считается, что вдоль каждой границы конечного элемента поверхностные нагрузки постоянны. На
границе Гi касательная нагрузка ^ = 0 |
в силу симметрии расчетной схемы; на |
||
границе Г2 усилие |
F / = 0 вследствие |
отсутствия трения между плитой и |
|
полосой. Подсчитываются интегралы, содержащие функцию <pj = 1 - у , |
|||
|
|
j ^ V T |
+ J ^ V r |
Г |
Г, |
г5 |
Г3 |
Вычисляются значения каждого из интегралов в этом выражении, |
|||
J F&dT = F 'J ( l-y)dy = F 'j2 , |
J F ^ d T = F /j ( l -l)dy = 0 |
|||
г, |
о |
|
ra |
0 |
На наклонной границе удобнее перейти к локальным координатам и |
||||
вычислить интеграл: |
|
|
|
|
|
J F ^ d T = F* jj^l - j ^ d k = FXV 2/2 . |
|||
Суммированием полученных выражений определяется значение всего |
||||
интеграла на всей границе Г, |
|
|
|
|
|
| F ^ 1dT = F c,/2 + FJ3V2/2. |
|||
|
г |
|
|
|
Для вертикальной составляющей поверхностных сил интеграл вычисляется |
||||
аналогично, |
|
|
|
|
J F ^ d T = J F>,<fT + J Fy\ d T |
+ J Fy\ d T , |
|||
г |
Г, |
г, |
|
г, |
J FfadT = 0j(l - y)dy =0, |
J F„V*F = F ^ d x = 0, |
||
Г, |
o |
Г, |
0 |
J |
= F ; | ( I - |
|
= F ,V 2 / 2 . |
Для всего интеграла получается значение
J FytyxdT = F y j l / l .
г
Вычисляются интегралы, содержащие функцию ф3 = х,
fF ^d T = J F&3dT + f Fx% dT + J FfadT = ^ jo rfy + |
|
= Fx3 Л / 2 , |
||||||
Г |
Г, |
Г2 |
Г, |
|
0 |
|
0 v z |
|
J ^ d T = f f > 3^ |
I j F ^ a T + { F fadT = F,2j w |
F{ |
\ ^ |
^ F ill+ f;3V2/ 2, |
||||
г |
Г, |
г, |
г, |
о |
|
о |
|
|
и функцию ср4 = у - х 9 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
I |
|
V2 |
|
/д хф4йг = j F > 4dT+ j F > 4dT + J F > |
4<*T = F ‘\ydy+F3x J<k£ = F j/2 , |
|||||||
г |
г, |
г2 |
Г3 |
|
0 |
|
0 |
|
J Fy%dT = \F'y^ d T + J F > 4dT + J F > 4rfT = F*J ( l |
- |
+ F / jo < ^ = ^ . |
||||||
Г |
г, |
г7 |
г, |
|
о |
|
о |
^ |
Для первого конечного элемента построен вектор поверхностных нагрузок
\FI +F 'X4 I 1
Fv3V2
F /V 2
►
Fy2 + F;V 2
и сформирована система алгебраических уравнений |
{ |
|
|
|
||||||
|
'0 ,4 |
0 |
0 |
-0 ,4 |
-0 ,4 |
|
■> |
|
|
|
|
0,4 ■ «1 |
'F!+FX4 2 |
|
|||||||
|
0 |
1,4 |
-0,6 |
0 |
0,6 |
-1,4 |
v. |
F /V 2 |
|
|
F |
0 |
-0 ,6 |
1,4 |
0 |
-1,4 |
0,6 |
мэ |
F ,4 2 |
|
|
1,04 |
-0 ,4 |
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
-0 ,4 |
уз |
F ; + |
F ;V 2 |
' |
|
-0,4 |
0,6 |
-1,4 |
0,4 |
1,8 |
-1 |
М4 |
|
F,1 |
|
|
0,4 |
-1,4 |
0,6 |
-0 ,4 |
-1 |
1,8 . |
Л . |
. |
F> |
. |
Для второго треугольного элемента (рис. 4.4) пробные функции имеют вид
Ф( = 1 -* , Ф2=Х~У> Фз =У
Матрица жесткости для второго конечного элемента имеет представление
|
|
l - 2v |
0 |
0 2v - l |
v - l |
l - 2v |
|
|
|
0 |
2- 2v |
- 2v |
0 |
2 |
|
|
|
v |
2v -2 |
||||
|
|
0 - 2v 2- 2v |
|
2 |
|||
[ * М — - — |
0 2v -2 2v |
||||||
|
|
|
l - v |
|
£ 1. |
||
1 |
J ^ 2(l+ v)(l-2v) v - l |
0 |
0 |
|
|
||
|
|
2 |
2 |
l - 2v 2v - l |
|||
|
|
2v - l |
2v |
2v -2 l - v |
3-4v |
-1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
l - 2v 2v-2 2v |
2v - l |
-1 3-4v |
|||
Подстановка значений модуля упругости Е = 2x1011 Пуассона v = 0,3 и площади конечного элемента S2 =0,5 дает
|
'1 ,4 |
0 |
-1,4 |
0,6 |
0 |
- 0,6 |
|
0 |
0,4 |
0,4 |
-0,4 |
-0,4 |
0 |
E |
-1,4 |
0,4 |
1,8 |
-1 |
-0,4 |
0,6 |
№ = :2,08 |
0,6 |
-0,4 |
-1 |
1,8 |
0,4 |
-1,4 |
|
0 |
-0,4 |
-0,4 |
0,4 |
0,4 |
0 |
|
- 0,6 |
0 |
0,6 |
-1,4 |
0 |
1,4 |
Для подсчета значений {F2}, как и в предыдущем случае, вся граница второго конечного элемента представляется в виде суммы Г = Г3+ Г4+ Г\. Предполагается, что вдоль соответствующих границ поверхностные нагрузки постоянны, при этом на свободной поверхности Г4нагрузки F* = 0, Fх4= 0, на
границе Г5усилие Fx5= 0вследствие симметрии расчетной схемы.
Вычисляются интегралы, содержащие функцию ф, = 1 - х ,
г |
г, |
|
г4 |
г5 |
о ч |
V1 ' |
Г |
Г, |
г4 |
г, |
|
(Л |
о |
функцию Ф2 = Х - у ,
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
j Fxq>2dT = - J F fadT + J F > 2rfT+ \F*q>2dT = -F x3 { 0 ^ = 0, |
|||||
|
|
|
|
V2 |
|
|
f F ^ 2dT = J F fadT + J F > 2dT + J F fadT = -F,3 J 0dy + |
= F / / 2 , |
|||||
функцию Фз = У, |
|
|
|
|
|
|
|
f F/fcdT = J F > 3rfT + J Fx\ d T |
+ J F > 3dT = -F x31 |
- | ^ |
= - F,3 V2/ 2, |
||
|
|
|
|
V2 |
|
|
J F |
^ d r = FJ |
> 3dT+ J F > 3dT + J F , V r = -Fy3 J ^ + |
F |
, 5J ( H -*F=yV 2 /2 . |
||
г |
Г, |
г4 |
г, |
о |
|
о |
Вектор 1раничных нагрузок для второго конечного элемента (рис. 4.4) имеет вид
- F ,V 2 '
F t - F i j i
“> >
W 2 |
О
FУ5
- F} J I
- F U I
Система алгебраических уравнений для второго конечного элемента
|
1,4 |
0 |
-1,4 |
0,6 |
0 |
-0,6" |
и, |
' - F 3V2 ' |
|
|
0 |
0,4 |
0,4 |
-0,4 |
-0 ,4 |
0 |
vi |
F 5- F 3V2 |
|
Е |
-1,4 |
0,4 |
|
-1 |
|
|
У |
У v |
|
1.8 |
-0 ,4 |
0,6 |
иг |
|
0 |
||||
1,04 |
0,6 |
-0 ,4 |
-1 |
1.8 |
0,4 |
-1,4 |
V2 |
|
|
|
0 |
-0 ,4 |
-0,4 |
0,4 |
0,4 |
0 |
“з |
-F ,S /2 |
|
|
-0,6 |
0 |
0,6 |
-1,4 |
0 |
м . |
Л . |
- F ;V 2 |
|
Для выполнения ансамблирования системы алгебраических уравнений для каждого из элементов расширяются за счег добавления неизвестных величин узловых перемещений. В первую систему уравнений добавляются w2,v2, во вторую - неизвестные ы4, v4. Теперь системы уравнений принимают вид
" 0,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
-0,4 |
-0,4 |
0,4 ' |
V |
X ' + F .V T |
||||
|
0 |
1.4 |
0 |
0 |
-0,6 |
||||||||
|
0 |
0,6 |
-1,4 |
V1 |
|
F ;> /2 |
|
||||||
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
М2 |
|
0 |
|
Е |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
V2 |
|
0 |
|
1,04 |
0 |
-0,6 |
0 |
0 |
1,4 |
0 |
-1,4 |
0,6 |
“ з |
|
F .V 2 |
’ |
|
|
-0,4 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,4 |
0,4 |
-0,4 |
V3 |
Fy + Fy-y/2 |
|||
|
-0,4 |
0,6 |
0 |
0 |
-1,4 |
0,4 |
1,8 |
- 1 |
|
“4 |
|
Ft |
|
. |
°>4 |
-1,4 |
0 |
0 |
0,6 |
-0,4 |
-1 |
13 |
. . V |
l |
F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|||||
' |
1,4 |
0 |
-1,4 |
0,6 |
0 |
-0,6 |
0 |
0' |
V |
' |
- F ;V 2 |
' |
|
|
0 |
0,4 |
0,4 |
-0,4 |
-0,4 |
0 |
0 |
0 |
V1 |
F / - F / V |
2 |
||
|
-1.4 |
0,4 |
1,8 |
-1 |
-0,4 |
0,6 |
0 |
0 |
иг |
|
0 |
|
|
Е |
0,6 |
-0,4 |
-1 |
|
-1,8 |
0,4 |
-1,4 |
0 |
0 |
V2 |
|
ру |
|
1,04 |
0 |
-0,4 |
-0,4 |
0,4 |
0,4 |
0 |
0 |
0 |
мз |
|
- F r3V2 |
|
|
|
-0,6 |
0 |
0,6 |
-1,4 |
0 |
1,4 |
0 |
0 |
V 3 |
|
- F y - J l |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
«4 |
|
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 0 |
Л . |
|
0 |
|
|
Почленное сложение левых и правых частей обеих расширенных систем уравнений позволяет избавиться от внутренних усилий F*, F*, действующих на
внутренней границе Г3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' 1,8 |
0 |
-1,4 |
0,6 |
0 |
-1 |
-0,4 |
0 ,4 ' |
V |
'Fl' |
0 |
1,8 |
0,4 |
-0,4 |
-1 |
0 |
0,6 |
-1,4 |
V1 |
Fy |
-1,4 |
0,4 |
1,8 |
-1 |
-0,4 |
0,6 |
0 |
0 |
M2 |
0 |
0,6 |
-0,4 |
-1 |
-1,8 |
0,4 |
-1,4 |
0 |
0 |
V2 |
FУ5 |
0 |
-1 |
-0,4 |
0,4 |
1,8 |
0 |
-1,4 |
0,6 |
M3 |
0 |
-1 |
0 |
0,6 |
-1,4 |
0 |
1,8 |
0,4 |
-0,4 |
^3 |
К |
-0,4 |
0,6 |
0 |
0 |
-1,4 |
0,4 |
1,8 |
-1 |
«4 |
Fl |
0,4 |
-1,4 |
0 |
0 |
0,6 |
-0,4 |
-1 |
1,8 . |
.V |
Л2. |
Полученная система, содержащая восемь уравнений, имеет определитель, равный нулю. В этом легко убедиться, поскольку сумма элементов в каждой строке и каждом столбце матрицы коэффициентов равна нулю, что свидетельствует о линейной зависимости полученных уравнений.
Для получения корректного решения следует изменить граничные условия рассматриваемой задачи: необходимо поставить условия закрепления
выделенного фрагмента рассматриваемой области. Из условия симметрии следует (рис. 4.3, б), что и{= 0, =0, v2 = 0, и4=0. При заданных
перемещениях плит
v3 = -A, v4 = - А ,
где А - величина заданного перемещения. В результате оказываются неизвестными и подлежат определению лишь узловые перемещения м2,м3. Из полученной системы восьми уравнений выбираются уравнения, не содержащие неизвестные усилия F^F^.F^ на границе,
- 1,4MJ + 0,4v1+1,8и 2 - lv2 - 0,4w3 + 0,6v3 + 0w4 + 0v4 = 0,
Owj -lvj -0 ,4 W2 + 0,4V2 +1,8W3 +0v3 -1,4M4 + 0,6v4 =0.
Подстановка указанных кинематических граничных условий приводит к системе двух уравнений относительно двух неизвестных,
1,8м2 - 0,4м3 = 0,6А,
-0 ,4 W2 +1,8W3 =0,6А.
Отсюда следует
и2 ~ иъ= ЗА/7
Теперь, используя заданные и найденные перемещения, из оставшихся уравнений системы определяются усилия, действующие на границе области. Из первого уравнения следует
К = |
+ Ovj - 1,4м2 + 0,6v2 + 0м3 - lv3 - 0,4ы4 + 0,4v4) = |
||
|
= — [-1 ,4 — + Д -0 ,4 д 1 = 0. |
||
|
l M |
7 |
J |
Второе уравнение дает
Ру = Ш ^°И‘ +1,8v’ + 0 ’4" 2 ~ ° ’4v2 _1“з + 0 v 3 + 0,6и4 - 1,4V4) =
=lM MT - f +1'44)=H A”219780
Из шестого уравнения системы получается
Fy = ^ ( - 1м, + оV, + 0,6м2 -1 ,4 v2 + 0м3 +1,8v3 + 0,4и4 - 0,4v4)=
Е 0 ,6 у -1 ,8 Д + 0,4Д |
— Д *-219780 (МПа). |
1,04 |
|
Знак минус в последнем результате показывает, что усилие F действует в
направлении, противоположном указанному на рис. 4.4.
Для оценки точности полученные значения сравниваются с аналитическим решением той же задачи, приведенным в [13]. Перемещение плиты А связано с величиной развиваемого плитами давления Р соотношением
A = ( \- V2)P/E
Перемещение U боковой стенки полосы определяется давлением Р,
U = v(l + v)P/£
Исключение Р из этих выражений дает
Р = ЕА/(1 -v 2), |
U = v ( l - у)д/(1-у2). |
Для взятых значений Е и v получаются |
|
и = 0,3 4,3 А = |
Р = Е А = |
1-0,09 |
1-0,09 |
Это означает, что численное решение рассмотренной задачи, полученное с помощью метода взвешенных невязок, оказалось точным.
Плоско-напряженное состояние
В плоско-напряженном состоянии находятся тела, имеющие пренебрежимо малый размер в одном из направлений: пластины, оболочки, мембраны и тому подобные. В этом случае напряженное состояние в указанном направлении (на
рис. 4.5 - вдоль оси z) практически не |
изменяется по толщине (при равных |
давлениях с внешних сторон напряжение |
по модулю равно этому давлению). |
Рис. 4.5. Расчетная схема плосконапряженного состояния
очередь, означает, что при анализе напряженно-деформированного состояния можно рассматривать не все тело, а только его сечение в плоскости Orz.
I
Рис. 4.6. Расчетная схема осесимметричного напряженно-деформированного состояния
Установим зависимость между компонентами тензоров напряжения и деформации согласно (4.15),
= (X+2G ) E „ |
+ Xew + |
- v>„ +ve*, +vsJ , |
" « |
' (l + v )^ -2 v )(vE" + ^ ~ V>E|10 +У£д)> |
|
Эти выражения позволяют записать связь компонентов тензоров напряжения и деформации в матричной форме (4.16), где обозначено
(°rr)m
|
(°ee)w |
J |
и |
k.}=- (°zz)m |
t |
||
|
|
||
|
(Prz)m. |
|
|
|
|
"1 - |
v |
[D]= |
Б |
v |
|
(l + vX l-2v) |
v |
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
t o . |
|
|
r |
|
; |
W - ® 1 - |
1 |
||
Г |
||||
(Om |
^ |
l-2v |
||
farz)m. |
|
|
0 |
|
v |
v |
|
О |
|
1 -v |
v |
|
О |
|
v |
1 -v |
|
О |
|
0 |
0 |
(l-2v)/2 |
||
Обратимся к системе разрешающих соотношений (4.11). Для цилиндрической системы координат коэффициенты Ляме равны Нг = 15Я0 = г, Иz = 1 Ковариантпые производные, согласно [11], определяются
выражениями
V a ' = — |
+ Г У |
|
1 |
dXj |
* |
В цилиндрической системе координат символы Кристоффеля, отличные от нуля, принимают значения
г г - - г Г8 - Г 0 - - |
|
1 00 ” |
1 6г ~ 1 /6 “ Г |
Подстановка этих формул в соотношения (4.11) приводит к выражению (в физических компонентах тензоров и векторов)
f | ( О |
п | ; ( фЛ |
+ (ггЛ |
; |
^ ( ф Д + г.г; (Ф^Д |
+ (о « )» ^ (ф Д + |
||||||||
+ W , |
1д ( ф Д г I,А^9 ( ф Д |
+ М т |
д ( ф Д |
, г |
|
Э ( ф Д |
|||||||
дг г |
|
|
|
эе г |
■ > д |
dz г |
|||||||
|
+ |
( О |
- | ;(Ф |
,Х М+ |
я ; ~ |
( |
ф ,) г + |
( о |
Д ^ ( Ф |
, ) ж| л > = |
|||
= f |
|
Д |
+ Г в(Ф Д |
+ |
|
|
|
|
+ |
J р [* Г(Ф Д + ф* ,(>Ф) 'Д} К +1 . |
|||
Векторная функция Ф ,, согласно (4.6), имеет компоненты |
|||||||||||||
|
|
|
( Ф . ! = Ф .. |
(Ф .)в = 0 , |
( Ф Д = 0 , |
|
|||||||
и предыдущее выражение приводится к уравнению |
|
|
|||||||||||
|
д |
, |
ч 1 |
д |
|
/ |
|
ч д |
Ф| + (°М)п |
|
|
||
nL |
|
|
' |
^ |
|
|
|
1/4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
г - |
|
|||||
Для векторных функций Ф2 и Ф3 уравнения соответственно имеют вид |
|||||||||||||
j |
(0» Д |
^ ^ + (ств |
Д |
з ^ |
|
^ |
5фГ |
|
|
|
|||
+ (а < Д - ^ d n ^ F ^ d r + J p g ^ d n , |
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Э |
|
г |
Q |
J ( О ^ Ф . + С О ^ ^ + М ™ ^ d n - j F ^ d T + J p ^ d Q , |
|||||||||||||
итак далее для всех прочих функций Ф*, |
£ = 4 ,5 ,... |
|
|||||||||||