Численные методы Часть 3
..pdf
Основные понятия и определения
Основные понятия и определения вводятся в соответствии с [19].
Последовательность |
{хп} а Х |
называется фундаментальной, если |
V e > 0 3N = N(z), ч т о |
V n> N |
и любых натуральных р выполняется |
неравенство jxn+p—JC„|| < е . |
|
|
Нормированное пространство X вложено в нормированное пространство
X , если всюду на X задана линейная функция J(x) со значениями в X , причем существует постоянная р > 0 такая, что
И * )Ь * рМ* *хеХ
Прямой суммой двух линейных пространств Z = X + Y и называется совокупность пар z = (х, у), для которых операции сложения пар и умножения пары на число определяются следующим образом: если zx= (хь у{), z2 = (х2, у2) и oti, а2- скаляры, то
a]z]+ a 2z2 = (а,х, + a 2x2, a }y}+ a 2y2).
Линейное многообразие L, лежащее в нормированном пространстве Е {LC:E), называется плотным в Е, если V х е Е, V в > 0 найдется элемент и е L
такой, что ||х - «Ц < s
Нормированное пространство называется полным, если в нем всякая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство называется банаховым.
Пусть X - банахово |
пространство, |
а R - вещественная ось, Sf(XyR) - |
|||||
банахово пространство линейных ограниченных функционалов, заданных на X. |
|||||||
Это пространство называется сопряженным к Х и обозначается |
X * = 2?{X,R). |
||||||
Значение линейного функционала / еХ* m x s X |
обозначается (* ,/) . |
||||||
Пусть |
{xw}eAr |
Последовательность |
{хи} называется слабо сходящейся к |
||||
элементу |
х е X , если |
(* „,/) - » (х,/ ) |
V / е X * |
Если |
хп -> х |
слабо, то х |
|
называется |
слабым |
пределом {xw} |
В отличие от |
слабо |
сходящихся, |
||
последовательности, сходящиеся по норме пространства X, называются сильно сходящимися.
Множество М банахова пространства X называется слабо компактным, если из любой (бесконечной) последовательности его элементов можно выбрать слабо фундаментальную (в смысле слабой сходимости) последовательность.
Нормированное пространство X называется сепарабельным, если в нем существует счетное множество, плотное в X.
Согласно |
определению |
[19]t пространства |
2^{a,b) |
существуют функции |
|
и М е . а 'М |
и w(x)e: 9^{a,b) такие, что |
|
|
|
|
|
им{*) |
т- ^ ->Ц( 4 «,(*)■ |
^ |
М |
* ) |
в среднем. Пусть {um(x)}eHl(a,b), тогда в Э^{а,Ь) определены элемент и(х) с представителем {ит(х)} и элемент w(x) с представителем \игт(х)}. Элемент w(x) называется обобщенной производной (в смысле Соболева) от и(х).
Пространство |
H l(a,b) |
является |
пополнением |
в |
метрике |
|
Ы|2 |
= \Ьи'2(x)dx |
линейного |
пространства непрерывно дифференцируемых |
|||
" "Н'(о,Ь) |
Ja |
|
|
|
|
|
функций, принимающих на границе значения, равные нулю. Hl(a,b) является
гильбертовым |
пространством |
со |
скалярным |
произведением |
(M,V)= [V(x)v'(x)<ft |
|
|
|
|
Ja |
|
|
|
|
Обобщенноерешение дифференциального уравнения |
|
|||
Рассматривается уравнение |
|
|
|
|
|
Лх = у 9 |
|
|
(П.3) |
где А - линейный оператор, действующий из плотной в вещественном гильбертовом пространстве X области определения D(A) в то же самое пространство X. Скалярное произведение в X обозначается через (х, у), а соответствующая ему норма - через ||х||. Я - еще одно гильбертово
пространство со скалярным произведением [.х, у] и нормой |||х|||,
соответствующей этому скалярному произведению. Пусть выполнены следующие условия:
I. Я вложено в Д Я з 0(Л), причем в Я + Я определен билинейный ограниченный функционал а(х, у), то есть вещественнозначная функция, линейная по и при фиксированном v, линейная по v при фиксированном и, такая, что
K « ,v )s С III И Hi-Ill V|||, |
(п.4) |
при этом Vx е D{A) и Vv е Я |
|
a(x,v)=(Ax9v). |
(П.5) |
И. Найдется постоянная у > 0 такая, что Vw е Я выполняется неравенство
а{игУ)-У III UIII2 |
(П.6) |
Оператор, удовлетворяющий условиям I и II, называется Н-эллиптическим. х е Н - обобщенное решение уравнения (П.З) с Я-эллиптическим оператором А, если имеет место тождество
a(x,v)={y,v)- |
(П.7) |
Для доказательства существования и единственности обобщенного решения уравнения (П.3) испотзуется метод Галеркина. В Я выбирается координатная система ср(, i = l,«o. Пусть Рт - проектор Я на линейное
подпространство Нт, натянутое на первые т векторов этой системы. Элемент е Нт называется галеркинстм приближением обобщенного решения
уравнения (П.З), если Vvmе Нтимеет место тождество
а (*ТТ7>0= (y»Vm) |
(П.8) |
|
Лемма ILL Решение задачи (П.8) имеет вид |
|
|
Хт= |
т |
|
• |
(П.9) |
|
М
где коэффициенты bt, i = \,m определяются решением системы т линейных уравнений с т неизвестными,
1>(ф/>Ф/)!’<= (>'.фЛ ; = |
(П.10) |
/=1 |
|
Доказательство. Элемент х„ принадлежит Нти,значит; имеет вид (П.9). При |
|
подстановке в (П.8) представления (П.9) и выражения |
|
у» = £ суФ> |
(П.11) |
в силу билинейности а(и, v) и линейности скалярного произведения получается
Х ^ Ф /.Ф у ^ - Ё О '.Ф у Ь |
(П-12) |
|
»,У=»1 |
>1 |
|
Но vme H m произвольно, то |
есть Cj,j = \,m |
в (П.11) и (П.12) - |
произвольные постоянные. Следовательно, (П.8) и (П.12) эквивалентны, что и доказывает лемму.
Лемма П.2. Пусть оператор А является //-эллиптичным. Тогда для всякого т существует единственное галеркинскоеприближение хт обобщенного решения уравнения (П.З).
Доказательство. Воспользуемся условием П. Если tf(*m,O = 0 Vvmе Нт , то это верно и при vm= хт. Но тогда, в соответствии с (П.6),
откуда следует, что *т = 0. Поскольку однородная задача, получающаяся из (П.8) при у = О, имеет лишь тривиальное решение, то задача (П.10), а вместе с ней и (П.8) будут однозначно разрешимы.
Лемма П.З. Если ит----------слабо в Я, a vm—т_^ |
>v0 |
сильно в Я, то |
||||||
|
|
тп |
ш—►оо |
и |
? |
m |
т —ко |
w |
afcm .O |
■ |
>д(ц0. уо)- |
|
|
|
|
|
|
Вследствие билинейности |
|
|
|
|
|
|||
|
|
а(мш>О " «(«о>vo) = а(ип,,vm- v 0)+a(um- u 0,v0). |
(П.13) |
|||||
Так |
как |
последовательность |
\ит } |
сходится |
слабо, то |
согласно [19] она |
||
ограничена. Поэтому из неравенства (П.4) следует |
|
|
|
|||||
К "** V- “ V0) ^ СIII U m III • III Vm ~ V0III ^ |
>° • |
Поскольку v0 фиксировано, V U G H выражение |
a(u,v0) определяет в Я |
линейный ограниченный функционал. Но тогда, по теореме Рисса, найдется
элемент w0 e H такой, |
что a(u,v0) = |
[w,w0] V M G Я |
Согласно определению |
слабой сходимости \ит } |
к щ,имеет место |
|
|
а («т - «О>V0) = к , |
- «О > |
0 |
|
В (П.13) оба слагаемых в правой части равенства стремятся к нулю, что и доказывает утверждение леммы.
Теорема ELI. Пусть пространство Я сепарабельно и оператор А является Я-эллиптичным, тогда:
1)для всякого т галеркинское приближение хт обобщенного решения уравнения (П.З) существует и единственно;
2)обобщенное решение уравнения (П.З) существует и единственно;
3)хт— >-*о слабо; при этом справедлива оценка
1 1 К - * о Р с у ', 1№ -*111 |
(П.14) |
Доказательство. Утверждение 1) теоремы верно в силу леммы П.2 Для доказательства утверждения 2) используется сепарабельность пространства Я.
Пусть, |
как и ранее, |
ср,, / = 1,оо |
- ортонормированный |
базис в |
Я. |
Уу е Я |
Pmv—----- >v , |
то есть ряд |
Фурье, построенный для |
элемента |
v, |
сходится к v. Рассматривается последовательность галеркинских приближений {xw} Полагая в (П.8) vm= хт и пользуясь неравенством (П.6), можно получить
УI lll2M*m>*J=k*J^IHkl|.
Но Я вложено в X, и поскольку хт е Я , то найдется постоянная к> 0 такая,
что !*т ! й к HI хтHI при т = 1,2, Следовательно,
Y II|JUII2£*III*JIIW >
откуда
\\\xm\W<kfl\\y\\.
Значит, последовательность галеркинских приближений {xw} ограничена в
Н, и тогда она слабо компактна. Пусть |
- ее |
подпоследовательность, |
|
сходящаяся в Я слабо к некоторому элементу х0е Н |
Фиксируя произвольный |
||
элемент v e H |
в соответствии с (П.8), получаем, что |
a(xm.,Pm.v)= (y,Pm-v). При |
|
этом Pm.v |
>v сильно, а хт.—тг ^ -»х0 |
слабо. По леммеП.З и свойству |
|
непрерывности скалярного произведения имеет место a(x0,v)=(y,v). Из произвольности v е Я следует, что х0 - обобщенное решение уравнения (П.З).
Пусть х0, х'0 - два обобщенных решения. Для произвольного v е Я
a f o . v b U v ) , |
afc,v)=(y,v). |
|
Вычитание второго тождества из первого дает выражение а(х0 -x'0,v)=0 |
||
Полагая v = х0 - х’0 и используя (П.6), находим |
|
|
О = а(х0 - ,х0 - |
х’0)Z у ||] хй- х'01||2, |
|
и, следовательно, х0= х'0. |
|
|
Полагая в (П.7) v = vmи вычитая его из (П.8), получаем |
||
я (* л ,- * .О =0 VVmе |
■ |
|
В частности, а(хт- х ,х т)=а(хт-х,Рпх)=0. Но тогда по условию П
УIII хи -*111^ о{хя -х ,х т-х)= -а(хт-х,х)=
= а(хт- х, Ртх - х)<с HI xm- х HI • HI Pmx - x HI. Отсюда следует оценка (П.14).
Сходимость метода конечных элементов
Рассматривается дифференциальное уравнение
|
|
51.15) |
с п .и гш ы м и у и о .м м » |
4 о М 1 Ь о |
(П.,6) |
Коэффициент a(t) считается непрерывно дифференцируемым на [0, 1], а коэффициенты c(f) иХО - непрерывными на [0,1]. Пусть на отрезке [0,1]
g(t)>a>0, с(0>Р> 0 . |
(П-17) |
Обобщенным решением задачи (П.15) - |
(П.16) называется функция |
x (t)e ffl(ОД), удовлетворяющая тождеству (П.7) для всех v(t)eH (0,l), где в
данном случае |
; |
а(х, v) = J |
+ 1c(t)x(t)v(t)dt, |
(y.v)“
о
Иными словами, тождество (П.7) получается в результате скалярного
умножения в «2^(0Д) уравнения (П.15) на произвольную функцию у ^ е Я ^ О Д )
и интегрирования по частям. Это позволяет понизить требования гладкости к функции x(t), одновременно повысив требования дифференцируемости
функции v(t). В качестве координатной |
системы в |
Нт<z Я 1(0,l) выбирается |
||
система функций (рис. П.1) |
|
|
|
|
(\-m t, f е[0, |
\/т], |
|
||
Фо(0 = |
|
l]; |
|
|
[О, te fy m , |
|
|||
1 - i + mt, fe [(/ - l)/m , |
i/m\, |
|||
Ф|(0 = *1 + / - mt, |
|
(*+l ) /4 |
||
0, |
te[(i-i)/m, |
(i + l ) / 4 i = \,m -\, |
||
JO, |
/e[0, |
1 - 1 / 4 |
|
|
[и -1 + /я*, |
<е[1-1/тя, |
l]. |
||
Рис. П.1. Вид функции ср, координатной системы
Для задачи '(П.15) -. (П.16) показано [19], что ее обобщенное решение в действительности принадлежит С 2[0Д]. Там же получена оценка, показывающая, что для всякой функции x(t)e Я 2(0,1) при т -» оо
1Х " Р « 4 # ( 0 . 1 ) =
где Рт.—проектор.в Нх{0; 1) на^подпространство кусочно-линейных функций, натянутое на ф„./ = 1,тя. Таким образом, из оценки теоремы П.1 следует сходимость галеркинских аппроксимаций Хщк точному решению задачи.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Фундаментальные решения для некоторых дифференциальных уравнений |2|
Уравнение Лапласа
Уравнение Гельмгольца
Волновое уравнение
Уравнение диффузии
Уравнение конвекции (распада)
Уравнение Лапласа
Уравнение Гельмгольца
Уравнение Дарси (случай ортотропии)
Тип уравнения Фундаментальное решение Одномерные уравнения, г = X
f+ 5 W . o
+А2и + 8(х) = 0
dx
2 д2и |
д2и |
_/ |
w |
|
ч . |
с2— г-------- + б(х)8 |
(t) =0 |
||||
дх2 |
dt2 |
к |
|
|
' |
д2и |
1 ди |
w |
ч |
_ |
|
а ? ~ 1 & + а д 8 ( ,) ' °
^ - + v^ + pw + S(x)5(,) = o
г
и = — 2
и = — — sm(A.r)
2Х v '
Tf |
Л(0 p-r’Ato |
|
л/47сЛГ |
1/ = - e Hlr/v5f / - —)
V. у)
|
|
Двумерные уравнения, г = л]х2 + у2 |
|
|
|
|
д2и |
8ги |
, ч |
и = ~ Ь л (г) |
|
|
|
^ |
V |
+ 8 W ' ° |
|
2к |
|
|
0 |
+ Л |
+ л + а д . „ |
и = ± -М 2\\ г ) |
|
|
|
|
|
|
и = |
1 |
, |
(х 2 |
|
|
|
------- f = = to |
— +т— |
||
|
|
|
|
4Kyjkxky |
|
l^x |
ю
VD
Волновое уравнение
Уравнение для пластины
Уравнение Лапласа
Уравнение Гельмгольца
Уравнение Дарси (случай ортотропии)
Волновое уравнение
Тип уравнения |
|
Фундаментальное решение |
1 |
|
|
Двумерные уравнения, г - |
^Jx2 + у2 |
|
|
с2(д 2и |
д2и - |
0 + S(r)5(O = 0 |
A (cr-r) |
|
2nc{c2t2 - г2) |
|
|||
^дх2 + ду2, |
ot |
|
||
|
|
|
\ |
|
^ - - ц |
24Ди + б(г)5(/) = 0 |
u - ^ s { r |
|
|
дх |
|
|
2тц1 1,4ц/ ) |
|
Трехмерные уравнения, г = ^ х 2 + у2 +z2
д2и |
д2и |
д2и |
/ |
ч |
|
—Г + —Г + — г + 5(г) = 0 |
|
||||
дх2 |
ду2 |
dz2 |
v |
' |
|
д2и |
д2и |
д2и |
- 2 |
\ |
« |
Т Т + Т Т + Т Т + ^ “ + 8(г) - ° |
|||||
дх |
ду |
dz |
|
|
|
. д2и |
. |
д2и |
д2и / |
ч п |
|
к* -ГТ + ку Т Т +к*T T + SW = 0 |
|||||
дх |
' |
ду |
dz |
|
|
1 и = -----
2пг
и = — - e -ftr
2%г
1
и = -----
4 % М А
с2 |
гд2и д2и> |
8(/ - г/с) |
И = —-----— |
||
|
- f f + s W ) = 0 |
4пг |
' X2 |
у 2 |
Z2 V ^ |
— + — + — |
||
кх |
ку |
кг) |
Обозначения: h(x) - функция Хевисайда; Н ^\х ) - функция Ханкеля; £7'(х) = - J S^ j —dt - интегральный синус.