Численные методы Часть 3
..pdfФ*(*> У)• Рассмотрим процедуру построения кусочно-линейной пробной функции, определенной на этом элементе, в виде
Ф((дс,>')=а, + р ^ + у,у.
Удобно для практических приложений сконструировать эту функцию таким образом, чтобы в своем узле эта функция была равна 1, а в двух других обращалась в 0. Это будет означать, что коэффициенты разложения какой-либо функции fix, у) по этой системе функций ср,{х, у)> <р/х, у) и ср*(х, у) будут аппроксимировать значение f i x , у) в соответствующих узлах, как это было в предыдущем случае для функции одной переменной. Система уравнений относительно коэффициентов а„ р, и у,• имеет вид
Я>|(*/»л)=а/ +ЭЛ +У1У1 =1. ' Ф#(гу»»)= а , +Э,*У+У/Уу =0,
.4> 1(**.л )= а( +Р а +У#Л = ° -
Рис. 2.11. Кусочно-линейная пробная функция ф, на двумерном конечном элементе
Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений
соответственно равны |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
*/ |
Уi |
|
|
|
|
|
|
|
А = 1 |
X J |
yj = * ,6 'j ~yi)+ Х](Ук |
хк(у, - У; )> |
|
||||
|
|
|
1 |
** |
Ук |
|
|
|
|
|
|
1 |
У, |
* |
|
1 |
1 |
У, |
|
1 X, |
1 |
< |
II |
|
|
и |
О О |
2?С?II |
|
|
О О |
|
2? ^ |
II |
|
|
|
||||||
а |
о о |
HJ |
1 |
> к—»—»* |
£ 1 |
II <Г |
||||
|
Определитель А численно равен удвоенной площади рассматриваемого |
|||||||||
треугольного |
конечного |
элемента. Следует отметить, |
что Д >0 |
лишь в том |
||||||
случае, когда нумерация вершин треугольника производится в направлении, противоположном движению часовой стрелки. Искомые коэффициенты
а, = {xjyk- x kyj)/Д, Р, = {у ; - у к)/А, у, = {хк- ^ ) / А .
Таким же способом строятся еще две пробные функции, фу и фл, обладающие аналогичными свойствами,
yj = a.j+$jx +yjy, Ф*=а* + Р*х + уку,
Uj = (xky i - x tyk)/A, |
Ру = (у*->,)/Д, |
yJ = (xt - x k)/A, |
a* = {X, y j - Xjy,)/A> |
Р* = tv* - ^ ) / А- |
Ук = (*> " ^ ) /Д • |
Квадратичная аппроксимация
Для треугольного конечного элемента с |
шестью узловыми точками |
||
(рис. 2.12) квадратичные пробные функции конструируются в виде |
|||
Ф, = а,- + р,*+у,у + 8,дсу+ ^,х2 +q,y3, |
|
||
коэффициенты а„ (}„ у/5 8„ £ и £ |
определяются, как и в предыдущем случае, из |
||
условий |
|
|
|
%(хпУ,)~ а, + Р,*( + У,У>+ 8,xty, + %,х2 + ^y] -■1, |
|||
= o-i + Р Л |
+ У,У, + 8,Х/>/ + |
+ Ъ у ? = °> |
|
<фi ( w y ) = a , + Р-^ + у,yj + Р а д |
+ ^ х) + l ty) |
= о. |
|
<ь(Хт>Ут)=<*! + РА . + У,Ут + ХтУт + *»Х1 + |
= 0 > |
||
Фк(хк> У к )= а , + Р л |
+ У>Ук + Р а д * + |
= 0 , |
|
/ f c f o . y j * a ( + Р А |
+ ЪУп + 5 а д „ |
+ |
= 0- |
Рис. 2.12. Двумерный конечный элемент для квадратичной аппроксимации
Определители этой системы линейных алгебраических уравнений
А = к Т / - у ) + хА у , - У к )+ х,(ук - у ,)]2
Аа = {Х)Ук ~ ХкУЛХ.{Ук - yj )+ Xj(y, + Ук )-Х к{у, + |
, |
|||||
а р = к |
- у Л х*{Ук - y ]) +xjiy, +3y*)-*t(y, + 3 > J , |
|||||
Аг =(** |
|
|
-^ > )+ху(У| + Зл ) - * * к + ^ ) ] . |
|||
Ав = 4 (х * -* уХ у ,- л |
), A^=2(yy - ^ K |
\= 2 { XjXkf |
||||
позволяют вычислить искомые коэффициенты |
|
|
||||
_ (*/Л ~ хкУЛх,{ук- y j) +Xj(yt +yk) - x kк + ^ |
)] |
|||||
|
k |
к |
-У |)+ * УЫ -л)+ *#(у* - y j l 2 |
’ |
||
к |
~ уЛ */(у* |
+3yt ) - x t (y, + 3 y J |
|
|||
|
k |
k |
- л )+ *7(у>~Ук) + x, k |
- уj )J2 |
’ |
|
_ k |
~ хЛ Х‘(Ук-y^+ X jjy, +3yt ) - x t b , + y j |
|
||||
Y' |
k |
k |
-у<)+хМ -У к )+ х,{Ук-уЛ 2 |
’ |
||
«5 |
|
|
|
4 xk - xj b j - y k) |
|
|
|
k |
k |
- у ) +х](у>~Ук)+хЬ к - уА| j> |
|
||
|
k |
k |
- л ) + * у к - у Л +хЬ к - уЛ\2' |
|
||
^ |
|
|
|
2^ - хЛ |
|
|
|
к |
к |
- у ,)+х](у,-Ук)+x, к |
- У])J2 |
|
|
Ha рис. 2.13 показаны квадратичные пробные функции, определенные для треугольного конечного элемента, изображенного на рис. 2.12.
Рис. 2.13. Некоторые квадратичные пробные функции на треугольном конечном элементе
а, = k k -y,)+Xj(y, - Ук)+х,{ук ~ y j)\2’
*ХкУ'У)- b y k b i x j + X k Y y M . + X k j V t y l i ^ + X j )
1 |
k k - y , ) + Xj(y, -л)+jc»(y*- y j ) Y |
’ |
||||
'Ф Л 2*^* ~ xt (y, + Ук)]+хк[хк(у, + yj) - x,(y +jy)]| |
||||||
T/ |
k k -y,)+Xj(y, - % ) + - yj2 |
|
||||
|
|
|
~Л)+хк{2ук-у, -yj |
|
||
|
k k ->,)+*,k - л)+л«(у* -^)]2 |
|
||||
|
k k - И)+^O', - Ук)+X, (у* - yj )\2’ |
|
||||
|
k k - Ф+ |
- У к)+ Ф к |
- yj)\ 2’ |
|
||
(хкУ, ~уЛ**к +^)+*yk-^ M k +?J1 |
||||||
a ; = |
k f c - л )+*у(у/ - л ) + xi(y* - j'yF |
’ |
||||
|
||||||
p Су*- ц )к (зц )+*/?, -л)-*,к +3yt)] |
|
|||||
' |
[xkiy j-yJ+ X jly .-ykh xfa k -yj)J2 |
’ |
||||
(** ~*/)kk+3yt)+*y(yt |
+yj |
|
||||
Yy |
kk - и)+*у(й-y*)+*i(y* ->v)J2 |
’ |
||||
8, = |
|
|
M xt-X 'X yt-yt) |
|
|
|
k k - у>)+ xM |
- Ук)+*<k-yj)J2’ |
|
||||
|
k |
k |
- ^ ) + * y k - л ) + * , к |
- Уу)]2’ |
|
|
с - |
|
, |
2k ~ ^ ) 2 |
|
|
|
y |
k |
k |
_ л ) +ху к - л )+*/(у* - j'y)]2’ |
|
||
a „ = |
|
|
4 ( у у - у , Х х* У |- у * ) |
|
||
k |
k |
- л )+ * y k -Ук)+ * , k |
- >y)J2 ’ |
|
||
|
|
|||||
4yhyfcj |
+ **)]~4л к к |
+ xj)~ 2x,yj] |
к к |
- у>)+ XJк - уk)+x>( л |
- уj )J2 |
^ X jX ^ + x fjy j + yk)~ x[xk{yt + y^+Xjjy, +л)Ц
k |
k |
- y t)+xM - л ) + * / k |
- yi)\2 |
_ 4k k |
- y,)+ xjbk - у,)+х,{2У1 - ys - л )] |
||
k |
k |
-y i)+xj(y, - л ) + * (к |
- уЛ 2 |
E4k ~ ^ X y , ~ ^ )
кк - л ) + xh * ~ Ук)+х>{Ук - уЛ 2’
qm |
k k |
- y t)+xjiyi- л ) + * , к - y j)\2’ |
|
( y , - * л Ж к - yj)+ XM + yk) - x,(yj + |
|
||
|
к к |
- и )+ XJк - уt )+ *1 к - уj )]'2 |
’ |
„ _ к |
- у1 х*{у>- ъ ) +хА*У1+Ук)-фу^+уЛ |
|
|
|
к к |
- -0 + x& i - л ) + ■* , к - yj)\2 |
’ |
к |
~* » )к к ~У>)~х/(2У1+ У*)+*/(ty + Ук)] |
|
|
Ук |
к к |
~ у>)+* / к - л ) + х/ к - ^ ) J 2 |
|
s |
|
4к ~ * » ) к ~ и ) |
|
|
к к - л ) + - л ) + J t .k - |
|
|
*к к - У‘)+х/(у>~Ук)+х,{ук-уЛ
2k |
~ хУ |
*** к к - ^ ) + хМ |
~ Ук)+х<{ук-уЖ ’ |
4( у у - у Д у » - - у , / )
к к - у) +хАу!- л ) + * « к - ^ ) J 2’
4^ к к + * * ) - х к + * Д ~ 4л к к + *j)- 2х^ ]
к к - я ) + * Л л - л ) + * » к - ^ ) ] 2
4 {2 х Л У / + х } ( у < + У * )-* у к к + Уу)+*/к +лЖ
к к -у ,)+хМ - У к ) + хЬ к - уЛ 1
. 4[xi{ y i-y j)+xi f a - y j ) +xj f a y j - y i - y t i
к к
1 к к
s" к к
-y ,)+xM - y k ) +x,(yi, - уЛ 1
<г |
1 |
1 |
|
- у■)+xiк - уk)+xiк
4к-хДх^.-xJ
-у,)+х]{у>-Ук)+хЬк ~У])\2
Четырехугольные конечные элементы
Для четырехугольных конечных элементов билинейные пробные функции конструируются в виде
Ф, = a ,+ P ^ + Y^ + 5 ^ ,
причем коэффициенты сс„ (3„ у/ и 8, определяются из условий
ф/к>>,/ ) = а / + Р л + у,у, + b w , = 1,
ч > ,к .^ ) = а . + $ixj + у1У] + |
= о. |
Ф,кл) = а, + 0Л + УЛ + |
= °» |
ф , к . л ) = а, + Ра + У Л + 8,х„у„ = 0.
В частном случае (рис. 2.14), когда конечный элемент является прямоугольником со сторонами, параллельными координатным осям, пробные функции определяются выражениями
(p,= -(x-xt J y - y k)/hxhy , <PJ = (x -xnJ y - y n)/hIhy ,
Ф* = - ( * - * ,Ху -У /)/* Л > Фn^{x - xjJ y - y j) /hxhy
Рис. 2.14. Пробная функция ф„ на четырехугольном конечном элементе
Функции трех переменных
Для решения пространственных задач приходится строить пробные функции трех координатных переменных х, у и z. В простейшем случае конечный элемент представляет собой тетраэдральную фигуру с четырьмя узлами i,j, к Yin (рис. 2.15). Пробная функция, например ф„ имеет вид
9i(^ ,y )= a j + p(x+ Y ^ + 8(z
Ж Zk
Рис. 2.15. Тетраэдральный конечный элемент для аппроксимации трехмерных тел
Коэффициенты а,, р„ у, и 8„ как и в предыдущих случаях, определяются из системы уравнений
|
ф,(*, . х ^ ,) = а ,+ |
Эл |
+ У1У1 + М |
, = 1. |
|
|
|
|||||
|
Ф/{XJ ’У]>2к)=а 1+ Рi*j + УхУ] +8,Гу = 0 > |
|
||||||||||
|
Ф,(хк,У к,ч)= а* + Р Л + УхУк + 5.z* = 0. |
|
||||||||||
|
Ф,(хп>Уп^п)-а1+ Р,Ч + У/Л |
+ 8|ГН= 0. |
|
|||||||||
Главный и вспомогательные определители этой системы уравнений |
||||||||||||
соответственно равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
У, |
h |
|
|
1 |
ч |
Ух zl |
|
|
1 |
1 |
Ух ч |
А = 1 |
xi y j |
Ч , |
а , _ 0 |
XJ |
У} ZJ 9 |
A» = 1 |
0 |
У) ZJ 9 |
||||
1 |
Ч Ук ч |
|
|
0 |
ч |
Ук ч |
|
н |
1 |
0 |
Ук ч |
|
1 |
Ч Уп ч |
|
|
0 |
ч |
Уп ч |
|
|
1 |
0 |
Уп ч |
|
|
|
1 |
х, |
1 |
zi |
|
1 |
.х, |
Ух |
1 |
|
|
|
Ду |
= 1 |
Ч |
0 |
ZJ |
|
1 |
:XJ |
Ук |
0 |
|
|
|
1 |
Ч |
0 |
ч |
9 |
а 8 = 1 . |
Ук |
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
ч |
0 |
|
||||
|
|
1 |
Хп |
0 |
ч |
|
1 |
.ч |
Уп |
|
||
Искомые коэффициенты определяются выражениями
а = Да/Д , Р = Др/Д , Y = Д7/Д , 5 = Д6/Д .
Следует отметить, что набором тетраэдральных конечных элементов могут быть представлены области в виде параллелепипедов (рис. 2.16).
Рис. 2.16. Представление параллелепипеда (а) с помощью набора тетраэдральных конечных элементов (б)
Ух, Z* |
* г, У Гу z r |
Рис. 2.17 Конечный элемент в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям
В случае (рис. 2.17), когда конечный элемент является параллелепипедом со сторонами, параллельными координатным осям (hx, hy и, hz - размеры сторон параллелепипеда), пробные функции определяются выражениями
Ф,= - ( * - JC,Ху - У„iz - zp )/hxhyhz ,
Фj = (х - х,Ху - Упiz - Zp)/hzhyhz,
ф* = ~(х - ъ Ь * - y , t z ~ 2P)/hA |
hr . |
ф- = (* - XJ \ y - y > t 2 ~ zP )lhA |
hz . |
Фр = (x ~xj Х у ~ УпX z - )/hA hz.
<Pq=-(x-xih '- y n X z - z l)/hxhyhz,
Фг = (х -х,Ъ '~ у, - Z,)/hxhyhz ,
Ф, =-(■*-Xj\y ~ У,\2~ z,)!KKK
Контрольные вопросы и задания
♦Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-постоянных пробных функций.
♦Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-линейных пробных функций.
♦Опишите процедуру аппроксимации заданной функции с использованием набора кусочно-квадратичных пробных функций.
♦Какой смысл имеют коэффициенты разложения заданной функции по системе пробных функций?
♦Какая система пробных функций носит название иерархической?
♦В чем преимущество иерархической системы полиномов перед обычными пробными функциями?
♦Установите смысл коэффициентов разложения заданной функции по иерархической системе полиномов (по выбору).
♦Проверьте ортогональность (в указанном смысле) полиномов Лежандра
для приведенной системы функций ср^, i = 0,..., 5
♦ Постройте, используя указанную процедуру, дополнительные полиномы Лежандра cpf, z = 6,...,10.
